變化率問題教學設(shè)計及思考

摘 要：如何才能做到在高中數(shù)學課常上“在實踐上構(gòu)建中學數(shù)學核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系，開發(fā)中學數(shù)學核心概念和思想方法”的教學設(shè)計案例呢？本文結(jié)合《變化率問題教學設(shè)計及思考》給予說明.

關(guān)鍵詞：變化率問題；教學設(shè)計；教學思考

[?] 教學內(nèi)容解析

函數(shù)是高中數(shù)學的主干內(nèi)容，導數(shù)作為選修內(nèi)容進入新課程，為研究函數(shù)提供了有力的工具，使函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題都得到了有效而徹底的解決. 用導數(shù)方法研究函數(shù)問題是數(shù)學學習的必然也是高考命題的方向. 而本節(jié)課是學習導數(shù)的第一課時，俗話說，萬事開頭難，這個頭開好了，能為今后的深入學習和探究打下良好的知識基礎(chǔ)和心理基礎(chǔ). 本小節(jié)的核心概念是平均變化率，通過本小節(jié)探究學習引導學生經(jīng)歷由平均變化率到瞬間變化率的過程，從而為認識和理解導數(shù)概念奠定基礎(chǔ).

[?] 目標和目標解析

1. 知識方面：了解導數(shù)的實際背景，理解平均變化率的概念.

2. 能力方面：體會平均變化率的思想及內(nèi)涵，分清所求平均變化率類型（即求什么對象的平均變化率），兩種處理手段：圖形，計算.

3. 情感方面：使學生擁有豁達的科學態(tài)度，互相合作的風格，勇于探究、積極思考的學習精神.

4. 思想方法方面：數(shù)形結(jié)合思想，特殊到一般思想.

[?] 教學問題診斷

本節(jié)課重點是平均變化率的概念，函數(shù)在某點處的附近的變化率；難點是平均變化率概念. 為了突破以上難點，筆者用了很大的篇幅，設(shè)計了“平均變化率”概念的形成過程. 通過生活實例，引導學生在合作交流、自主探究的過程中，逐步找出刻畫變量變化快慢的數(shù)學方法，有了生活的體驗和對數(shù)學的理解，自然而然得出“平均變化率”概念. 為強化概念理解，引導學生從“數(shù)”和“形”兩方面理解，并以相配套的例題、習題加以強化.

[?] 教學支持條件分析

1. 學生認知基礎(chǔ)：有一定生活經(jīng)驗，掌握了相關(guān)學科知識，有一定的數(shù)學儲備知識如直線的斜率公式；但學生把生活經(jīng)驗抽象為數(shù)學問題有一定困難，升華為數(shù)學概念有一定困難，對概念理解有一定困難. 筆者采取“探究”與“接受” 相結(jié)合的教學方法，循序漸進引出概念. 注重“過程”與“結(jié)果”相結(jié)合.

2. 教學設(shè)備：多媒體與板演相結(jié)合.

[?] 教學設(shè)計

（一） 情景設(shè)計，引出課題

1. 引言（章頭語和章頭圖）

設(shè)計意圖：讓學生了解函數(shù)和微積分的關(guān)系，微積分的研究對象就是函數(shù)，正是對函數(shù)的深入研究導致了微積分的產(chǎn)生；其次，了解微積分的創(chuàng)立史以及它在數(shù)學和科學發(fā)展中的地位，第三，了解本章的學習內(nèi)容. 從而激發(fā)學生學習本章節(jié)內(nèi)容的興趣.

2. 從學生熟悉的問題出發(fā)，引出課題.

觀察下圖：當時間從1秒變到24秒，從24秒變到34秒時，速度變化哪個快？

學生回答后，教師指出如何來量化曲線的“陡峭”程度呢？這是我們這節(jié)課研究的問題——變化率問題. （板書）

（二）通過實際的問題，抽象出數(shù)學概念

教師：為了弄清“平均變化率”的概念，我們先來研究上面這個實際問題：

[O][s（m）][t（s）][2.5][8][16][A（1，2.5）][B（24，8）][C（34，16）][24][34]

圖1

結(jié)合圖形設(shè)計四個循序漸進的問題.

（1）A，B，C三點坐標表示什么意識？

（2）當時間從1秒變到24秒，從24秒變到34秒時，速度變化哪個快？為什么？

（3）平均變化率這個比值我們是怎么計算的？

（4）你能給出函數(shù)f（x）從x到x的平均變化率定義嗎？

說明：

1.上述問題中的變化率可用式子表示， 稱為函數(shù)f（x）從x1到x2的平均變化率. （板書）

2. 若設(shè)Δx=x2-x1，Δf=f（x2）-f（x1） （這里Δx看做是對于x1的一個“增量”，可用x1+Δx代替x1，同樣Δf=Δy=f（x2）-f（x1）），

則平均變化率為===. （板書）

3. 學生對于問題（2）從“數(shù)”、“形”兩方面給出合理的解釋. 教師指出比值叫做從1秒到24秒的速度平均變化率. 比值叫做從24秒到34秒的速度平均變化率. 從而引出問題（3）

設(shè)計意圖：通過實際問題抽象出數(shù)學概念，培養(yǎng)學生探究、概括交流、歸納問題的能力.

（三）平均變化率的幾何意義

教師：提問平均變化率的幾何意義？（結(jié)合課本P4思考）

學生：探究聯(lián)想發(fā)現(xiàn)結(jié)論.

設(shè)計意圖：引導學生通過聯(lián)想，理解“平均變化率”的幾何意義.

（四）概念的應(yīng)用

分實際應(yīng)用和數(shù)學中的應(yīng)用例1～例5.

問題1 氣球膨脹率

氣球的體積V（單位：L）與半徑r（單位：dm）之間的函數(shù)關(guān)系是V（r）=πr3.

如果將半徑r表示為體積V的函數(shù)，那么r（V）=.

提問1 當V從0增加到1時，氣球半徑的平均變化率是多少？

當V從0增加到1時，氣球半徑增加了r（1）-r（0）≈0.62（dm），

氣球半徑的平均變化率為≈0.62（dm/L）.

提問2 當V從1增加到2時，氣球半徑的平均變化率是多少？

當V從1增加到2時，氣球半徑增加了r（2）-r（1）≈0.16（dm），

氣球半徑的平均變化率的為≈0.16（dm/L）.

可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的氣球半徑的平均變化率逐漸變小了.

3. 我們都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加越來越慢. 從數(shù)學角度，如何描述這種現(xiàn)象呢？

4. 當空氣容量從V1增加到V2時，氣球半徑平均變化率是多少？

問題2 高臺跳水

在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h（t）=-4.9t2+6.5t+10. 如何用運動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運動狀態(tài)？

[t][h][O]

圖2

思考計算：0≤t≤0.5和1≤t≤2的平均速度，

在0≤t≤0.5這段時間里，==4.05（m/s）；

在1≤t≤2這段時間里，==-8.2（m/s）.

探究：計算運動員在0≤t≤這段時間里的平均速度，并思考以下問題：

（1）運動員在這段時間內(nèi)是靜止的嗎？

（2）你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？

探究過程：如圖是函數(shù)h（t）=-4.9t2+6.5t+10的圖象，結(jié)合圖形可知，h

=h（0），

所以==0（s/m），

雖然運動員在0≤t≤這段時間里的平均速度為0（s/m），但實際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài).

問題3 國家環(huán)?？偩謱﹂L期超標準排放污物，污染嚴重而又未進行治理的單位，規(guī)定出一定期限，強令在此期限內(nèi)完成排污治理，圖3是國家環(huán)保總局在規(guī)定的排污達標日期前，對甲、乙兩家企業(yè)連續(xù)檢測的結(jié)果（W表示排污量），哪個企業(yè)治理的效率比較高？為什么？

[V][t][t。][O][W1（t）][W2（t）]

圖3

學生從“數(shù)”和“形”兩方面分析得到甲企業(yè)治污效果要比乙企業(yè)治污效果好一些.

問題4 已知函數(shù)f（x）=2x+1，g（x）= -2x，分別計算f（x）及g（x） 從-3到2，從0到5的平均變化率.

探究：y=kx+b（k≠0）從m到n（m

問題5 已知函數(shù)f（x）=x2，分別計算f（x）從x1到x2的平均變化率，

（1）x1=1，x2=3；（2）x1=1，x2=2；（3）x1=1，x2=1.01；（4）x1=1，x2=1.001；（5）x1=1，x2=1+Δx.

探究：從上面的計算結(jié)果你發(fā)現(xiàn)了什么？

學生得出當Δx→0，平均變化率→2，教師指出，為什么平均變化率→2？這當然有它的特定的意義. 這是我們下一節(jié)要和大家研究的問題.

設(shè)計意圖：通過5道有目的、有層次的例題訓練，“平均變化率”概念的應(yīng)用得到了強化. 充分放手讓學生參與，自主探究，合作交流. 掌握從“數(shù)”和“形”兩個角度分析“平均變化率”.

（5）小結(jié)

從知識、能力、思想方法三方面小結(jié)；師生共同小結(jié).

（5）作業(yè)

1. 課本P10A組T1.

2. 寫一篇數(shù)學小論文，參考題目：《平均變化率的應(yīng)用》、《數(shù)學來源于生活》、《生活中的平均變化率問題》.

3. 已知函數(shù)f（x）=x2-x從1到t的平均變化率為2，求t的值.

4. 探究：平均變化率越大，變量變化越快嗎？

復習，鞏固，強化應(yīng)用. 體現(xiàn)了分層，有梯度.

[?] 幾點思考

1. 應(yīng)重視章頭語和章頭圖的作用. 本節(jié)課的教學中，可以充分利用章頭語中提示的微積分史料，引導學生探尋微積分發(fā)展的線索，體會微積分的創(chuàng)立與人類科技發(fā)展之間的密切聯(lián)系，認識導數(shù)和定積分在研究和處理實際問題中的作用，從而激發(fā)他們學習本章內(nèi)容的興趣. 教科書中以章頭圖貫穿全章，也應(yīng)引起重視.

2. 在教材的處理上如何做到“尊重”與“超越”的平衡. 新教材要求教師打破舊的教材觀，從“教”教材轉(zhuǎn)化為用教材“教”. 本節(jié)課的主要內(nèi)容是平均變化率，在眾多的變化率問題中，教科書選擇了氣球膨脹率問題和高臺跳水運動的速度問題，作為編者肯定是經(jīng)過深思熟慮的，但筆者在教學中發(fā)現(xiàn)學生如何從數(shù)學的角度描述吹氣球的過程中的現(xiàn)象“隨著氣球內(nèi)氣體容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢”，感到比較困難，考慮到學生實際，筆者設(shè)計了學生更容易接受的問題——溫度變化問題，通過循序漸進問題串的形式，自然而然引出“平均變化率”概念. 把課本上兩個變化率問題，作為例題與學生共同探究，達到了較好的效果.

3. 在教學中，如何做到“探究”與“接受”的平衡. 高中數(shù)學新課程強調(diào)：要倡導積極主動，勇于探索的學習方式，要使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程. 那什么是“探究”呢？“從無到有”才是探究，“從無到有”就是從不會到會，不懂到懂，不明白到明白的過程. 然而我們知道整個世界本身就處于矛盾之中，課堂教學創(chuàng)新與改革同樣也要處理好各種矛盾，其中“探究”如何保證課堂的效率，探究等同于低效率、小容量嗎？但是由于各方面原因，實際上每堂課都要搞探究是不可能的，一個學期能有幾節(jié)探究課已屬不易，因此探究還要有針對性，對什么內(nèi)容進行探究，效果更佳，值得我們思考. 而接受性學習可以在較短的時間內(nèi)讓學生吸取更多的信息，其效率之高是其他學習方式所無法比擬的，但不利于培養(yǎng)學生探究、質(zhì)疑問題的能力. 接受性學習和探究學習作為兩種對立的學習方式，在實際的教學中，不能采取非此即彼，二元對立的方式看問題，盡可能做到兩者平衡，本節(jié)課筆者盡可能做到兩者的平衡. 如概念的得出，平均變化率的幾何意義在學生探究得到后，例題在學生探究后，筆者都是用規(guī)范的語言進行總結(jié)，對學生中存在的錯誤及時予以糾正，較好地做到“探究”與“接受”的平衡.