從圓的切點與切線談到圓錐曲線的極點與極線及其運用

摘 要：本文以圓的切點與切線為線索先探索圓的三類相伴的極點與極線，進(jìn)而因勢利導(dǎo)地介紹數(shù)學(xué)史中圓錐曲線的三類相伴的極點與極線，然后分門別類地例談極點與極線在高考題與競賽題中的應(yīng)用，展示數(shù)學(xué)史的現(xiàn)實價值.

關(guān)鍵詞：極點；極線；笛沙格；高屋建瓴

為了知識建構(gòu)和數(shù)學(xué)探究的循序漸進(jìn)，先讓我們來看一個引例.

引例 （1）以圓x2+y2=R2上任一點P（x0，y0）為切點，作該圓的切線l（如圖1），則切線方程是________；

[x][O][y][l][P（x0，y0）]

圖1

（2）過圓x2+y2=R2外任一點P（x0，y0）作該圓的兩條切線（如圖2），則兩個切點的連線l的方程是________；

[x][O][y][l][P（x0，y0）][A][B]

圖2

（3）過圓x2+y2=R2所在平面內(nèi)非圓心的一點P（x0，y0）任意作直線與該圓相交，再過兩個交點分別作該圓的切線，則這兩條切線的交點的軌跡是________.

探索：（1）先考慮切點，設(shè)所求的切線方程為A（x-x0）+B（y-y0）=0，其中x+y=R2.

當(dāng)AB≠0時，由于過切點的半徑與此切線垂直，則-1=·

-

，

則A∶B=x0∶y0，則切線方程可以化為

x0（x-x0）+y0（y-y0）=0，即x0x+y0y=R2；

當(dāng)AB=0時，則切點在坐標(biāo)軸上，驗知切線方程也為x0x+y0y=R2.

總之，以題設(shè)圓上的點P（x0，y0）為切點的切線方程是x0x+y0y=R2.

（2）設(shè)兩個切點分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則利用（1）的結(jié)論知兩條切線PA，PB的方程分別為x1x+y1y=R2，x2x+y2y=R2，代入點P（x0，y0）的坐標(biāo)得

x1x0+y1y0=R2，x2x0+y2y0=R2，

改寫成直線過兩點的形式為

x0x1+y0y1=R2，x0x2+y0y2=R2.

所以，符合題意的兩個切點的連線方程是x0x+y0y=R2.

（3）過題設(shè)一點P（x0，y0）任意作直線與圓x2+y2=R2相交，設(shè)兩個交點分別為A，B，再過這兩個交點作該圓的兩條切線相交于點M（x′，y′），則利用（2）的結(jié)論知連線AB的方程是x′x+y′y=R2. 又因為連線AB必過點P（x0，y0），則x′x0+y′y0=R2，改寫成動點M（x′，y′）在直線上的形式就是x0x′+y0y′=R2，所以符合題意的交點軌跡是直線x0x+y0y=R2（如圖3）.

回眸上述探索及結(jié)論，點P（x0，y0）雖然處于圓x2+y2=R2的不同位置，但都能推導(dǎo)出一條直線方程具有統(tǒng)一的形式x0x+y0y=R2. 于是可以順暢理解，在射影幾何上，把點P（x0，y0）與直線x0x+y0y=R2稱為關(guān)于圓x2+y2=R2的相伴的極點與極線.

同理，把點P（x0，y0）與直線+=1稱為關(guān)于橢圓+=1的相伴的極點與極線；把點P（x0，y0）與直線-=1稱為關(guān)于雙曲線-=1的相伴的極點與極線；把點P（x0，y0）與直線y0y=p（x+x0）稱為關(guān)于拋物線y2=2px的相伴的極點與極線.

極點與極線，是法國數(shù)學(xué)家笛沙格（G.Desargues，1591～1661）于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中提出來的，其幾何意義如下：（Ⅰ）二次曲線的切線與它的切點是該二次曲線的相伴的極線與極點；（Ⅱ）如果過一點P能作二次曲線的兩條切線，再過兩個切點作直線l，則點P與l是該二次曲線的相伴的極點與極線；（Ⅲ）如果過一點P能作一條直線與二次曲線相交，以這兩點為切點作曲線的兩條切線，這兩條切線的交點的軌跡是直線l，則點P與直線l是該二次曲線的相伴的極點與極線.

在近幾年的統(tǒng)測題、高考題、競賽題中，圓錐曲線的上述第（Ⅰ）（Ⅱ）類極點與極線已經(jīng)成為專家命題的熱點背景，而專家高屋建瓴地選用第（Ⅲ）類極點與極線作為命題背景也可窺見端倪.

例1 （2014年遼寧高考題）已知點A（-2，3）在拋物線C：y2=2px的準(zhǔn)線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為（ ）

A. B. C. D.

解：由已知得-=-2，則p=4，F(xiàn)（2，0），則拋物線方程是y2=8x，過點A作直線與拋物線C在第四象限相切于另一點D（如圖4），則經(jīng)過這兩個切點的連線BD的方程是3·y=4·（x-2）.

[x][O][y][F][A][B][C][D]

圖4

驗知焦點F（2，0）在此直線上，即3×0=4×（2-2），則kBF=kBD=，故選D.

補(bǔ)注：當(dāng)拋物線的極點在準(zhǔn)線上時，相應(yīng)的極線（過此極點所引拋物線的兩條切線的切點連線）必過焦點（還可推導(dǎo)出這兩條切線互相垂直）.

例2 （2014年清華大學(xué)等“華約”自主招生題）已知橢圓b2x2+a2y2=a2b2（其中a>b>0）與圓x2+y2=b2，過橢圓上一點M作圓的兩條切線，切點分別為P，Q，連線PQ與x軸、y軸分別交于點E，F(xiàn)，求△EOF面積的最小值.

解：如圖5，設(shè)M（x0，y0），

則b2x+a2y=a2b2，且兩切點連線PQ的方程是x0x+y0y=b2，其中x0y0≠0，則可求得兩個交點E

，0

，F(xiàn)（0，

，

則S△EOF=OE·OF=.

又因為a2b2=b2x+a2y≥2ab

x0y0

（其中當(dāng)b2x+a2y=時取等號），

則S△EOF≥=·=.

所以，△EOF面積的最小值為.

補(bǔ)注：在解答數(shù)學(xué)高考和競賽的綜合題時，考生可以根據(jù)第（Ⅰ）（Ⅱ）類極點直接寫出其相伴的極線方程，它們并不僅僅只是為檢驗所用.

例3 （2007年湖北競賽題）過Q（-1，-1）作直線l：y=x+1的平行線交雙曲線-y2=1于點M，N.

（1）證明：點Q是線段MN的中點；

（2）分別過點M，N作雙曲線的切線l1，l2，證明：三條直線l，l1，l2相交于一點；

（3）設(shè)點P是直線l上的一動點，過點P作雙曲線的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點，證明：點Q在直線AB上.

解：（1）聯(lián)立直線MN的方程x-4y=3與雙曲線的方程x2-4y2=4，消去y并整理得

3x2+6x-25=0.

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則由韋達(dá)定理得x1+x2=-2. 于是，線段MN的中點橫坐標(biāo)為

=-1=xQ，故點Q是線段MN的中點.

（2）由（1）已經(jīng)求得x1+x2=-2，

則y1+y2=

x1-

+

x2-

= -2，且兩條切線l1，l2的方程分別為-y2y=1，-y2y=1.

設(shè)l1與l2交于點D（x3，y3），

則x1x3-4y1y3=4，x2x3-4y2y3=4，

相加得（x1+x2）x3-4（y1+y2）y3=8.

代入得，（-2）x3-4（-2）y3=8，y3=x3+1，即l1與l2交于點D（x3，y3）在l上.

所以，三條直線l，l1，l2相交于一點.

[x][O][y][l2][l1][l][N][B][M][A][Q][P]

圖6

（3）設(shè)P（x0，y0），則題設(shè)兩切點A，B連線的方程為-y0y=1. 又因為y0=x0+1，則直線AB的方程為-

x0+1

y=1，即就是x0x-（x0+4）y-4=0.

因為點Q（-1，-1）的坐標(biāo)適合此方程即就是（-1）·x0-（x0+4）（-1）-4=0，則點Q在直線AB上.

補(bǔ)注：①定點Q（-1，-1）與定直線y=x+1是關(guān)于雙曲線-y2=1相伴的極點與極線，這是專家編擬本題的著眼點；

②回味本例第（1）小題的結(jié)論，可頓悟新猜想

——過圓錐曲線第（Ⅲ）類極點作弦使該弦所在的直線平行于相伴極線，則該極點是該弦的中點；

③回味本例第（2）（3）小題的結(jié)論，可頓悟出又一個新猜想——若點M與直線m是圓錐曲線相伴的極點與極線，則直線m上任一點關(guān)于該錐曲線的相伴極線必過原先的極點M.

最后指出，一般地，對于任意二次曲線

Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0

（其中A與C不同時為零），無論哪一類極點P（x0，y0），它對應(yīng)的極線總有統(tǒng)一的方程

Ax0x+Cy0y+D（x+x0）+E（y+y0）+F=0.