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    彰顯課改新理念 追求新穎顯特色

    2015-04-29 00:00:00崔緒春

    摘 要:重視創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的培養(yǎng),考查學(xué)生探究能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力,是進(jìn)一步深化數(shù)學(xué)高考改革的重要方面,所以在平時(shí)教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力,增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí),逐步學(xué)會(huì)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決新的數(shù)學(xué)問(wèn)題,學(xué)會(huì)將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題,并加以解決,加強(qiáng)解決創(chuàng)新型問(wèn)題、探索型問(wèn)題及其應(yīng)用型問(wèn)題能力.

    關(guān)鍵詞:試題;新課標(biāo);應(yīng)用題;評(píng)價(jià)

    2014年高考江蘇數(shù)學(xué)試卷的第18題是一個(gè)應(yīng)用性問(wèn)題,命題堅(jiān)持新課標(biāo)倡導(dǎo)的“源于生活,應(yīng)用數(shù)學(xué),既是應(yīng)用,又是數(shù)學(xué)”的原則,設(shè)計(jì)新穎,深入淺出,圖文并茂,通俗易懂,具有很好的教學(xué)引導(dǎo)性和命題示范性.

    [?] 考題再現(xiàn)與解答

    如圖1所示,為保護(hù)河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū),規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直,保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m,經(jīng)測(cè)量,點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60 m處,點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170 m處(OC為河岸),tan∠BCO=.

    (1)求新橋BC的長(zhǎng):

    (2)當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大?

    分析:(1)本題主要考查函數(shù)的建模及最值的應(yīng)用,涉及直線方程、交點(diǎn)坐標(biāo)、兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)到直線距離,綜合性較強(qiáng). 解決問(wèn)題首先要建立適當(dāng)坐標(biāo)系,然后寫(xiě)出直線AB,BC方程,即可求出B的坐標(biāo);(2)利用古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m,列出不等式組,求出OM長(zhǎng)的取值范圍,即可求出圓形保護(hù)區(qū)的面積最大值.

    解法一:

    (1)如圖2所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OC所在直線為x軸, 建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

    [東][北][C][A][B][O][M][60m][170m]

    圖2

    由條件知A(0,60),C(170,0),

    直線BC的斜率kBC=-tan∠BCO= -.

    又因?yàn)锳B⊥BC, 所以直線AB的斜率kAB=.

    設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b),

    則kBC==-,kAB==,

    解得a=80,b=120,

    所以BC==150. 因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m.

    (2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為r m,OM=d m(0≤d≤60).

    由條件知, 直線BC的方程為y=-·(x-170),

    即4x+3y-680=0. 由于圓M與直線BC相切,

    故點(diǎn)M(0,d)到直線BC的距離是r,

    即r==.

    因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m,

    所以r-d≥80,

    r-(60-d)≥80,

    -d≥80,

    -(60-d)≥80,

    解得10≤d≤35.

    故當(dāng)d=10時(shí),r=最大, 即圓面積最大,

    所以當(dāng)OM=10 m時(shí), 圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.

    [?] 考題品讀與評(píng)析

    1. 應(yīng)用情境的公平性

    由于古物是祖先留給我們的無(wú)價(jià)之寶,是金錢買不到的. 經(jīng)過(guò)多少年的風(fēng)風(fēng)雨雨,流傳至今的古物相對(duì)來(lái)說(shuō)已經(jīng)不多了,而且隨著時(shí)間的推移,能夠留傳于世的文物會(huì)越來(lái)越少,所以文物十分珍貴,我們也應(yīng)該愛(ài)護(hù)文物. 本題以“保護(hù)河上古橋”為應(yīng)用情境頗具時(shí)代氣息,為廣大考生所熟悉,從生產(chǎn)到生活,可以說(shuō)是家喻戶曉、老幼皆知的. 有著較好的現(xiàn)實(shí)性、普遍性、公平性和考生的可接受性.

    2. 題設(shè)條件的數(shù)學(xué)美

    考題以“保護(hù)河上古橋”為應(yīng)用情境,讓學(xué)生浮想聯(lián)翩:淫雨霏霏,小河灣處,古橋橫臥,流水環(huán)環(huán),舟楫鱗集……

    考題涉及圓、直線等解析幾何元素,與河上古橋相輔相成,相映成趣,組成一幅優(yōu)美的數(shù)學(xué)圖形,增加了數(shù)學(xué)應(yīng)用的美感和詩(shī)的意境美,這不僅可以培養(yǎng)考生審美能力,還可喚醒他們對(duì)數(shù)學(xué)的美好情感.

    3. 解題思路的靈活性

    從解題的角度審視,本題從不同的思維角度切入,可以得到不同的解題路徑,反映出不同的思維角度,引發(fā)各種不同的解法,展示考生各種能力,為考生創(chuàng)新思維的發(fā)揮提供了表現(xiàn)的舞臺(tái).

    [?] 考題解法與探究

    除了上述給出的解法以外,本題還可用以下方法進(jìn)行處理.

    解法二:(平面幾何法)

    (1)如圖3所示,過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F.

    因?yàn)閠an∠BCO=,

    設(shè)BC=5x,CE=3x,BE=4x,

    所以O(shè)E=AF=170-3x,EF=AO=60,BF=4x-60.

    又因?yàn)锳B⊥BC,且∠BAF+∠ABF=90°,∠CBE+∠BCO=90°,

    所以∠CBE+∠ABF=90°,

    所以∠BAF+∠BCO=90°.

    所以tan∠BAF===,

    所以x=30,BC=5x=150 m,

    所以新橋BC的長(zhǎng)為150 m.

    [東][北][C][A][B][O][M][60m][170m][F][E]

    圖3

    (2)下同解法一

    解法三:(三角函數(shù)定義法)

    (1)如圖4所示, 延長(zhǎng)OA,CB交于點(diǎn)F.

    [東][北][C][A][B][O][D][60m][170m][M][F]

    圖4

    因?yàn)閠an∠FCO=,所以sin∠FCO=, cos∠FCO=.

    因?yàn)镺A=60,OC=170,所以O(shè)F=OCtan∠FCO=,CF==,

    從而AF=OF-OA=.

    因?yàn)镺A⊥OC,

    所以cos∠AFB=sin∠FCO=.

    又因?yàn)锳B⊥BC,

    所以BF=AFcos∠AFB=,

    從而B(niǎo)C=CF-BF=150,因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m.

    (2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點(diǎn)為D,連接MD,則MD⊥BC,且MD是圓M的半徑,并設(shè)MD=r m,OM=d m(0≤d≤60).

    因?yàn)镺A⊥OC,

    所以sin∠CFO=cos∠FCO.

    故由(1)知sin∠CFO====,

    所以r=.

    因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m,

    所以r-d≥80,

    r-(60-d)≥80,

    -d≥80,

    -(60-d)≥80,

    解得10≤d≤35.

    故當(dāng)d=10時(shí),r=最大,即圓面積最大,

    所以當(dāng)OM=10 m時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.

    新課程改革注重理論與實(shí)踐結(jié)合、書(shū)本與生活結(jié)合,體現(xiàn)活生生情景設(shè)計(jì)問(wèn)題,要求學(xué)生能夠解決實(shí)際問(wèn)題. 本題關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題,較好地體現(xiàn)了現(xiàn)代社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)教育的需求,情境新穎、形態(tài)鮮活;本題采用“以能力立意”的命題思想,注重多種知識(shí)的交匯,集幾何、代數(shù)、三角、不等式于一體,著力考查知識(shí)和技能的應(yīng)用能力和遷移潛質(zhì),使新課標(biāo)所倡導(dǎo)“多樣性、交叉性、縱向不深、橫向拓寬” 的命題要求得以充分的體現(xiàn);本題突出高考的選拔功能,具有較好的準(zhǔn)確度、可信度、難易度和高考錄取的區(qū)分度,是一道難得的好試題.

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