實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)最值問題有效教學(xué)的策略分析

摘 要：最值問題是高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的重要內(nèi)容之一，本文從三個角度闡釋最值問題處理的有效方法與策略，旨在引起教師的進(jìn)一步關(guān)注與思考，希望能給讀者帶來一點(diǎn)幫助.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；最值問題；有效教學(xué)

高中數(shù)學(xué)中的最值問題一直是數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，同時(shí)也經(jīng)常出現(xiàn)在各級各類的高中數(shù)學(xué)考卷中，成為命題者青睞的重要內(nèi)容之一. 事實(shí)證明最值問題給不少學(xué)生帶來了困難，是高中數(shù)學(xué)的一個難點(diǎn)問題，這提醒一線的高中數(shù)學(xué)教師去不斷探索與思考：如何實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)最值問題的有效教學(xué)；筆者在從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)的歷程中總結(jié)與分析平時(shí)教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，在本文中以理論與實(shí)踐相結(jié)合的方式，將比較零散的最值問題的知識與處理方法串聯(lián)起來，形成針對高中數(shù)學(xué)最值問題有效教學(xué)的策略，以供讀者參考，希望讀者批評指正.

[?] 注重?cái)?shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)性，多維度地審視高中數(shù)學(xué)最值問題

根據(jù)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和課本教學(xué)編排就可以看出：高中數(shù)學(xué)各個模塊和專題之間都存在著密切的聯(lián)系，高中數(shù)學(xué)教師在平時(shí)的解題教學(xué)中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理的聯(lián)想，讓數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想與能力得以有效遷移，對于某一數(shù)學(xué)問題進(jìn)行多維度的思考，讓不同的數(shù)學(xué)知識之間產(chǎn)生有機(jī)聯(lián)系，從而感受數(shù)學(xué)學(xué)科中各個知識模塊之間的整體協(xié)調(diào)美，進(jìn)一步提升學(xué)生發(fā)散思維能力. 最值問題有機(jī)地融合在“三角、數(shù)列”等數(shù)學(xué)知識中，具體體現(xiàn)如下：

1. 三角與最值問題的“接觸”

例1 如圖1所示圓心角度為的扇形半徑為R，矩形CDEF為該扇形的內(nèi)接矩形，試求：內(nèi)接矩形CDEF面積的最大值？

[B][O][A][C][θ][F][E][D]

圖1

解析：由題意可得：CD=Rsinθ，在△OFC中，∠FOC=-θ，∠OFC=，根據(jù)正弦定理可以得到：=，即FC=Rsin

-θ

.

則：S矩形CDEF=FC·CD=·Rsin

-θ

×Rsinθ=R2cos

2θ-

-R2. 當(dāng)cos

2θ-

=1，即θ=時(shí)，S矩形CDEFmax=R2.

點(diǎn)評：本題是三角中典型的最值問題的求解，正弦定理、三角公式的變換和構(gòu)建三角函數(shù)模型是成功解題的關(guān)鍵.

2. 數(shù)列與最值問題的“碰撞”

例2 已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和，且滿足a1>0，S7=S13，試求：當(dāng)Sn取最大值時(shí)n的值.

[O][n][Sn]

圖2

解析：等差數(shù)列前n公式：Sn=n=n2+

a1-

n，由題意可知d<0且點(diǎn)（n，Sn）所在的拋物線過原點(diǎn)，開口向下，圖象的對稱軸在縱軸右側(cè)，由S7=S13得該拋物線的對稱軸n==10∈N+，此時(shí)Sn達(dá)到最大值.

點(diǎn)評：本題是數(shù)列中的最值問題，二次函數(shù)模型與數(shù)列知識相結(jié)合，解題關(guān)鍵在于構(gòu)造Sn與n的函數(shù)關(guān)系.

[?] 以學(xué)生的“興趣”為出發(fā)點(diǎn)，將最值問題有機(jī)融于教學(xué)之中，促使學(xué)生主動探索與研究

高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)明確指出：高中數(shù)學(xué)教學(xué)中必須以學(xué)生的活動和知識的構(gòu)建為基礎(chǔ)，讓學(xué)生在“經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索”的過程中實(shí)現(xiàn)親自動手實(shí)踐、自主探索與合作交流，愛因斯坦曾經(jīng)說過：“興趣是最好的老師”，在平時(shí)的教學(xué)中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該將數(shù)學(xué)的最值問題巧妙地設(shè)置成學(xué)生感興趣的話題，激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)積極性，從而引發(fā)學(xué)生主動參與最值問題的探索與研究.

1. 給高中學(xué)生適時(shí)創(chuàng)設(shè)發(fā)揮內(nèi)在潛能的良機(jī)

美國心理學(xué)家馬斯洛根據(jù)自身的理論研究指出：每個人都存在“自我實(shí)現(xiàn)的創(chuàng)造力”的內(nèi)在潛能，學(xué)生的能力結(jié)構(gòu)隨著教師科學(xué)、合理的教學(xué)方法與教學(xué)策略有效實(shí)施程度而改變；在平時(shí)的教學(xué)中，部分學(xué)生學(xué)業(yè)成績不理想，并不代表他們的智商能力差，在不同的方面每位學(xué)生都能研究出體現(xiàn)“自我創(chuàng)造力”的“新成果”，高中數(shù)學(xué)中最值問題的有效處理離不開學(xué)生具備主動探究與創(chuàng)造的潛能，作為一線的高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)該有意識地制造和創(chuàng)設(shè)時(shí)機(jī)與空間給學(xué)生自由發(fā)揮其內(nèi)在的潛能. 在實(shí)踐中，學(xué)生的積極主動、勇于創(chuàng)新的探索精神得以提升，同時(shí)數(shù)學(xué)教師可以根據(jù)高中學(xué)生的認(rèn)知水平與能力，有意識地創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生研究的好奇心與動機(jī)，采取正面表揚(yáng)與肯定的手段，讓學(xué)生體驗(yàn)成功后的喜悅心情，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所帶來的樂趣，從而樂于對數(shù)學(xué)問題的思考、探索與研究. 作為數(shù)學(xué)教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)該與學(xué)生保持地位的平等，對待每一位學(xué)生保持一顆平等與寬容的心態(tài)，創(chuàng)設(shè)開發(fā)、自由、活潑、有序的課堂教學(xué)氣氛，給學(xué)生提供敢說、敢問、敢做、自由表現(xiàn)、健康發(fā)展的環(huán)境，啟發(fā)學(xué)生的心智，將學(xué)生的內(nèi)在潛力發(fā)揮到極致狀態(tài).

2. 通過最值問題與實(shí)際問題的有機(jī)結(jié)合，揭示高中數(shù)學(xué)最值問題的內(nèi)在本質(zhì)

高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)一直強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中應(yīng)該注重學(xué)生應(yīng)用意識的培養(yǎng)，善于引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與規(guī)律去解決實(shí)際問題，讓學(xué)生真正體會數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值；最值問題經(jīng)常涉及日常生活中材料、成本最低和效益最高等實(shí)際問題，以此知識考查的數(shù)學(xué)應(yīng)用題在高考中也是經(jīng)常出現(xiàn)的題型，學(xué)生通過對這些問題的處理后發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識與我們的現(xiàn)實(shí)生活緊密聯(lián)系，最值問題的處理過程中經(jīng)常用到的函數(shù)模型、多種數(shù)學(xué)思想方法等都能較好地考查學(xué)生的創(chuàng)新意識和能力.

[?] 梳理重要的數(shù)學(xué)思想方法，巧妙運(yùn)用于最值問題的處理，提升課堂教學(xué)的效率

高中數(shù)學(xué)教師深知：高中數(shù)學(xué)知識之間存在密切的聯(lián)系和規(guī)律，然而數(shù)學(xué)思想方法是溝通數(shù)學(xué)知識之間本質(zhì)聯(lián)系的橋梁，在高中數(shù)學(xué)最值問題中聚集了多種數(shù)學(xué)思想方法，特別是數(shù)形結(jié)合和分類討論等思想方法. 實(shí)踐證明，在最值問題處理過程中合理滲透數(shù)學(xué)思想能夠有效降低問題處理的難度，有助于提升解題的效率.

1. 最值問題中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用

作為高中數(shù)學(xué)兩大研究對象的“數(shù)”與“形”之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，形的直觀性和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性相輔相成，辯證統(tǒng)一；在高中數(shù)學(xué)最值問題中，多數(shù)題目都是可以利用數(shù)形結(jié)合的重要思想進(jìn)行處理，而且效果不錯.

例3 已知x2+y2+5x≤0，若z=3x+4y，試求：zmax和zmin.

解析：令x2+y2+5x=0，即

x+

+y2=

，則滿足題意的點(diǎn)（x，y）在該圓周上或者圓內(nèi). 根據(jù)題設(shè)中z=3x+4y化簡為：y=-x+，即為斜率為-的平行直線系列，如圖3所示. 將y=-x+代入圓方程x2+y2+5x=0可得：25x2+（80-6z）2+z2=0，令Δ=（80-6z）x+z2=0，即zmax=z1=5，zmin=z2=-20.

點(diǎn)評：本題中利用圓與直線的關(guān)系來形象描述代數(shù)問題，省去了復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算求解問題，若用代數(shù)的方法進(jìn)行求解，則過程復(fù)雜且不易得正確的結(jié)論，但是通過幾何圖形的展現(xiàn)，比較清晰、方便地找到求解最值的突破口. 這體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法在處理最值問題中的實(shí)效性.

2. 最值問題中分類討論思想的運(yùn)用

分類討論是將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分解，采取“各個擊破”的方式解決難題，在高中數(shù)學(xué)最值問題的處理過程中，分類討論是能夠反映整體與局部辯證關(guān)系的普遍運(yùn)用的重要數(shù)學(xué)思想方法，將分類討論思想滲透于最值問題的解決過程中，有助于提升學(xué)生邏輯思維能力的嚴(yán)密性、全面性和條理性，進(jìn)而提升解決實(shí)際問題的能力.

例4 試求函數(shù)y=2-2acosx-sin2x的最值.

解析：y=2-2acosx-sin2x=（cosx-a）2+1-a2. 令t=cosx（-1≤t≤1），則f（t）=（t-a）2+1-a2，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可以進(jìn)行分類討論如下：

當(dāng)a<-1時(shí)，ymax=f（1）=2-2a，ymin=f（-1）=2+2a；

當(dāng)-1≤a<0時(shí)，ymax=f（1）=2-2a，ymin=f（a）=1-a2；

當(dāng)0≤a<1時(shí)，ymax=f（-1）=2+2a，ymin=f（a）=1-a2；

當(dāng)a≥1時(shí)，ymax=f（-1）=2+2a，ymin=f（1）=2-2a.

點(diǎn)評：本題是分類討論思想方法運(yùn)用于最值問題求解的典型案例，將原題進(jìn)行換元轉(zhuǎn)化成函數(shù)進(jìn)行探究是解決問題的關(guān)鍵. 這提醒一線教師在平時(shí)教學(xué)中應(yīng)該時(shí)常注重分類討論思想的滲透，讓學(xué)生形成善于利用數(shù)學(xué)思想解決問題的習(xí)慣和意識，對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)具有深刻的意義.

總之，對于高中數(shù)學(xué)最值問題的教學(xué)應(yīng)該從多角度進(jìn)行審視，讓學(xué)生體驗(yàn)最值問題融入高中數(shù)學(xué)的其他各個模塊，同時(shí)注重將實(shí)際問題與最值問題進(jìn)行整合，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理探究，激發(fā)學(xué)生內(nèi)在學(xué)習(xí)興趣與動力，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法在處理最值問題中的強(qiáng)大功能和魅力，進(jìn)而推動高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效益的最大化.