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    從一道原創(chuàng)試題談編題的嘗試

    2015-04-29 00:00:00徐雪娟曹慧

    摘 要:高中課程改革對(duì)教師的要求越來(lái)越高,傳統(tǒng)教學(xué)要求教師有著較強(qiáng)的解題基本功、較高的數(shù)學(xué)知識(shí)歸納能力、較好的教學(xué)基本功等等,但隨著教師專業(yè)化程度要求的提高,新課程要求教師能自主設(shè)計(jì)教學(xué)問(wèn)題,把握考題導(dǎo)向,編制原創(chuàng)試題,本文將做此嘗試并做探究思考.

    關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);原創(chuàng);試題;編題;數(shù)列;變題

    眾所周知,教師的專業(yè)化訴求在課程改革的今天越來(lái)越高,如今對(duì)數(shù)學(xué)教師的要求不能僅限于會(huì)教,還要會(huì)各種其他方面的專業(yè)訴求,如指導(dǎo)學(xué)生自主探求知識(shí)的能力、給予學(xué)生更多的興趣幫助、在高考導(dǎo)向下做出一些提升教師專業(yè)化成長(zhǎng)的幫助等等. 這些要求已經(jīng)大大提升了教師相比以往的專業(yè)化訴求,也是新時(shí)代教師需要更高水準(zhǔn)、更強(qiáng)能力的體現(xiàn).

    近年來(lái),江蘇省高考試題的研究工作非常得力,在導(dǎo)向基礎(chǔ)上立足創(chuàng)編各種新型模擬試題,既將教師自身的專業(yè)化水準(zhǔn)提升到新的高度,也將熱點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行了全新視角的開拓,有利于教學(xué)的針對(duì)性嘗試. 筆者從數(shù)列章節(jié)出發(fā),從一次原創(chuàng)試題的創(chuàng)編談?wù)剬?duì)試題編制的一些想法和思考,限于水平有限,不足之處懇請(qǐng)讀者批評(píng)指正.

    [?] 緣由

    觀摩近年來(lái)各地高考試卷,筆者發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)列問(wèn)題,尤其是證明數(shù)列相關(guān)內(nèi)容的考查成為熱點(diǎn),如(2013年江蘇)設(shè){an}是首項(xiàng)為a,公差為d的等差數(shù)列(d≠0),Sn是其前n項(xiàng)和. 記bn=,n∈N*,其中c為實(shí)數(shù).

    (1)若c=0,且b1,b2,b4成等比數(shù)列,證明:Snk=n2S(k,n∈N*);

    (2)若{bn}是等差數(shù)列,證明:c=0.

    再如2014年考查的H數(shù)列,考查了構(gòu)造和證明. 從以上試題中可以發(fā)現(xiàn),隨著一輪又一輪的新課改的進(jìn)行,命題組的專家對(duì)命題形式和命題要求的起點(diǎn)更高了,不單單是考查傳統(tǒng)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,而對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力、理性思維水平以及學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)有了更高的要求. 在這樣的大背景下,教師必須要自我修煉,提高自己解題、講題甚至編題的能力.筆者以證明為基本,創(chuàng)設(shè)了下列原創(chuàng)試題:

    [?] 創(chuàng)編

    (原創(chuàng))已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an},首項(xiàng)為a1,公比為q,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,并且滿足6S3,S9,3S6成等差數(shù)列,設(shè)bn=(an)3.

    (1)求q的值;

    (2)證明:{bn}中任意三項(xiàng)均不能成等差數(shù)列.

    設(shè)計(jì)理念:以考查數(shù)列的基本概念、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)為命題的出發(fā)點(diǎn),做到在基礎(chǔ)上求新,在變化中創(chuàng)新. 第(1)題的設(shè)計(jì)是為了讓絕大多數(shù)的學(xué)生能拿分,以檢測(cè)學(xué)生的基本功為主;而第(2)小題的意圖則是為了拉開差距,讓優(yōu)秀學(xué)生的能力得到充分發(fā)揮,對(duì)優(yōu)秀學(xué)生進(jìn)行區(qū)分和選拔.

    [?] 審題與析題

    仔細(xì)閱讀此題,可以發(fā)現(xiàn)此題的條件很明朗,根據(jù)題目中給出的三項(xiàng)成等差數(shù)列就可以得到一個(gè)等式,再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,就可以列式計(jì)算,求解q的值. 第(1)題主要是以檢測(cè)學(xué)生的基本功為主;而對(duì)于第(2)小題的證明,首先要解決bn的通項(xiàng)公式,這個(gè)并不困難. 而要證明{bn}中任意三項(xiàng)均不能成等差數(shù)列,直接從正面下手難度很大,用“反證法”證簡(jiǎn)單明了,不失一般性. 當(dāng)然,具體的證明還要看學(xué)生自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力.

    (1)根據(jù)6S3,S9,3S6成等差數(shù)列,可以馬上得到:S9=6S3+3S6,再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式Sn=na1(q=1),

    (q≠1),分兩種情況討論:

    (Ⅰ)當(dāng)q=1時(shí),9a1=18a1+18a1,得a1=0,得不成立(因?yàn)榈缺葦?shù)列的項(xiàng)中不會(huì)含0);

    (Ⅱ)當(dāng)q≠1時(shí),將求和公式代入上式,得:=6+3,令q3=t,化簡(jiǎn)得:t2-2t-8=0(t≠1),解得:t=4或t=-2(舍去),所以q3=4,即q=.

    (2)要證明第二小題,首先我們要解決bn的通項(xiàng)公式,由已知條件及第(1)題的結(jié)果可得:bn=(a1qn-1)3=a·(q3)n-1=a4n-1,要證明{bn}中任意三項(xiàng)均不能成等差數(shù)列,直接從正面證是很難下手的,顯然,用“反證法”簡(jiǎn)單明了,不失一般性. 所以,我們不妨設(shè)bm,bn,bt三項(xiàng)成等差數(shù)列(其中m>n>t≥1,m,n,t∈N*),則2bn=bm+bt,然后將bn的通項(xiàng)公式代入,化簡(jiǎn)得:2·4n=4m+4t(其中m>n>t≥1),關(guān)鍵是如何處理“2·4n=4m+4t”這個(gè)等式?

    我們可以發(fā)現(xiàn)在這個(gè)等式中包含了“m,n,t”三個(gè)未知數(shù),想要去求解,顯然是不可能的. 我們?cè)倏搭}干中的條件,似乎都已經(jīng)用到了,此時(shí)需要在2·4n=4m+4t式子本身下工夫. 那么怎么辦呢?我們可以這樣想,少掉一項(xiàng)是一項(xiàng),可以嘗試在兩邊同時(shí)除以其中一項(xiàng).

    方法1:兩邊同時(shí)除以4t得到:2·4n-t=4m-t+1(m>n>t≥1),因?yàn)閚-t,m-t∈N*,所以4n-t為偶數(shù),故左邊一定為偶數(shù). 同理4m-t也為偶數(shù),故右邊一定為奇數(shù),而奇偶必不相等. 因此上式不能成立.說(shuō)明假設(shè)不成立,也就證明了第(2)小題.

    方法2:兩邊同時(shí)除以4n得到:2=4m-n+4t-n,雖然m-n∈N*,但是t-n<0,即4t-n∈(0,1),此時(shí)再用奇偶性去證明,顯然已經(jīng)行不通. 所以,我們一定要另辟蹊徑. 仔細(xì)觀察一下,左邊是一個(gè)定值2,所以我們可以嘗試用范圍來(lái)解決. 由于m-n∈N*,故4m-n≥4,而4t-n>0,故等式的右邊顯然恒大于4,因此等式不可能成立.

    歸納說(shuō)明:方法1是通過(guò)數(shù)的奇偶性來(lái)完成的,而在方法2中則融入了函數(shù)的性質(zhì),簡(jiǎn)單中透著一種和諧美.還有,同學(xué)們要相信:方法是在不斷地嘗試中產(chǎn)生的,每一道題都是有裂縫的,只有打開裂縫,陽(yáng)光才能照進(jìn)來(lái).

    題后思考:如果兩邊同時(shí)除以4m,能不能證明,又該如何證?(請(qǐng)學(xué)生課后自行討論完成.)

    [?] 變題

    變式1:假設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,試證明:對(duì)?m,n,t∈N*,Tm,Tn,Tt均不能成等差數(shù)列.

    解析:因?yàn)閎n=a4n-1,所以T=,假設(shè)Tm,Tn,Tt成等差數(shù)列(其中m>n>t≥1),則2Tn=Tm+Tt,將求和公式代入得:2=+,化簡(jiǎn)得:2·4n=4m+4t,下面方法同上.

    變式2:設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,探究:是否存在數(shù)列{Tn}中的三項(xiàng)能成等差數(shù)列?

    設(shè)計(jì)題圖:讓學(xué)生自己去探究結(jié)果,旨在培養(yǎng)學(xué)生的探究、發(fā)現(xiàn)能力,為區(qū)分優(yōu)秀學(xué)生做準(zhǔn)備.

    [?] 思考

    對(duì)于數(shù)列題,首先要仔細(xì)審題,準(zhǔn)確理解題意,特別是要抓住題干中的關(guān)鍵條件. 一般來(lái)說(shuō),數(shù)列的第(1)小題,通常以考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技巧、通性通法等為主,試題難度往往不大,學(xué)生比較容易得分;但是第(2)題的證明往往有一定的難度,具有較強(qiáng)的綜合性,以考查學(xué)生的邏輯思維能力、推理能力,以及學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)為主. 雖然難度很大,但是也不是毫無(wú)依據(jù)的. 我們可以根據(jù)題意,確定證明的破題之法,例如反證法、分析法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等等,然后再結(jié)合數(shù)列自身的性質(zhì),利用函數(shù)、方程、不等式的性質(zhì)進(jìn)行求證,當(dāng)然,我們需要一定的勇氣,多方面地進(jìn)行嘗試,勇于突破難點(diǎn). 從本題問(wèn)題創(chuàng)編的嘗試,筆者也獲得了一些思考:

    (1)從初期目標(biāo)來(lái)說(shuō),教師對(duì)試題的創(chuàng)編依賴于對(duì)優(yōu)秀試題的改編工作,試題編寫能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的,依賴于模仿和改編,在模仿的基礎(chǔ)上對(duì)試題一點(diǎn)一滴的積累,有助于教師增加創(chuàng)編的經(jīng)驗(yàn)和能力.

    (2)從中期目標(biāo)來(lái)看,筆者認(rèn)為試題的創(chuàng)編是教師業(yè)務(wù)水平的一種體現(xiàn),每每參加各種地區(qū)的聯(lián)考,筆者認(rèn)為一份優(yōu)秀的試卷必定有少數(shù)試題來(lái)源于原創(chuàng),這樣的試卷才是有價(jià)值的、有意義的,所有的試題都來(lái)自其他試卷的拼湊是比較低效的一種考查,是缺乏教學(xué)思想和指導(dǎo)性的一種考查.

    (3)從遠(yuǎn)期目標(biāo)來(lái)看,原創(chuàng)試題的編制工作將大大提高教師自身的專業(yè)化水準(zhǔn),在與時(shí)俱進(jìn)的今天,教師不僅需要會(huì)解決問(wèn)題,更要會(huì)創(chuàng)造有價(jià)值的問(wèn)題,愛因斯坦在總結(jié)自己發(fā)現(xiàn)相對(duì)論時(shí)說(shuō)過(guò):提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更讓我激動(dòng),問(wèn)題就是這樣發(fā)現(xiàn)和積累的,最后得到結(jié)論. 因此,數(shù)學(xué)問(wèn)題的原創(chuàng)編制是在教師長(zhǎng)遠(yuǎn)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、導(dǎo)向把握、知識(shí)累積的基礎(chǔ)上形成的,久而久之嘗試自然能增加教師編制問(wèn)題的能力,也使得在試題研究的道路上越來(lái)越有開闊的前景.

    數(shù)列的世界是紛繁多變的,我們只有在平時(shí)做到“夯實(shí)基礎(chǔ),訓(xùn)練有素”,才能以不變應(yīng)萬(wàn)變. 數(shù)學(xué)的世界更是豐富多彩的,做到多嘗試、多積累、多編制、多學(xué)習(xí),使得教師在問(wèn)題研究和創(chuàng)編的道路上越走越寬. 本文以筆者愚見,引讀者之玉.

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