以公式的推導來發(fā)掘公式本質(zhì)

摘 要：數(shù)學公式是數(shù)學教學的一把鑰匙. 在高中階段，數(shù)學公式變得越發(fā)復雜，這成為數(shù)學解題的瓶頸. 因此，引導學生明了數(shù)學公式的推導過程，在公式的學習過程中進行解析推導，是高中階段學習數(shù)學公式的有效方法，本文以幾個典型的數(shù)學公式為例，談?wù)勅绾卧诠酵茖У倪^程中有效發(fā)掘公式的本質(zhì)問題，從而力促學生更為有效地理解數(shù)學公式.

關(guān)鍵詞：公式推導；距離公式；向量法；坐標公式

數(shù)學的學習總是會有很多的公式，特別是高中階段的學習，公式變得越來越復雜，很多學生也正是因為這些復雜的公式而害怕學習數(shù)學. 學習數(shù)學公式，不只是把公式記住，而是要明確公式的推導過程，只有領(lǐng)悟了推導過程才能深入掌握公式，同時掌握公式的形成過程中所包含的數(shù)學思想. 在公式的學習過程中進行公式推導，是高中階段學習數(shù)學公式的有效方法，公式的推導不僅能幫助學生們更好地理解公式，還可以從推導的過程中探求到公式的本質(zhì). 本文就是以幾個典型的數(shù)學公式為例，談?wù)勅绾卧诠酵茖У倪^程中發(fā)掘出公式的本質(zhì)，促使學生更好地理解數(shù)學公式.

學習公式就是要注重推理和論證的過程化，這樣學生們才能把公式靈活地運用于解決問題. 點到直線的距離公式和點關(guān)于直線對稱點的坐標公式是高中數(shù)學的兩個重要公式，同時也是在解析幾何中用途非常廣泛的兩個公式，本文將要通過統(tǒng)一論證來探究這兩個公式之間的聯(lián)系，揭示出這兩個公式的本質(zhì)，以此來感受在解析幾何中進行簡化運算的過程和魅力.

[?] 點到直線的距離公式的推導過程

公式的本質(zhì)是公式中各個字母或式子之間的內(nèi)在聯(lián)系，并不是靠機械的記憶就可以掌握的，而是要通過公式的推導過程深入理解. 熟悉公式的推導過程，可以幫助學生更牢固地掌握公式，靈活地運用公式.

如圖1所示，設(shè)點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+c=0的距離為d，且過點P作PQ⊥l，垂足為Q，設(shè)Q（a，b），由兩點間的距離公式可得：d=，從這個條件看來，是要先求出a與b的值，然后可以求出d的值. 實際上，我們可以將（x0-a），（y0-b）看成是兩個整體，那么就不需要單獨求出a與b的值，只需要求出（x0-a），（y0-b）這兩個整體的值分別是多少，就可以得到d. 從這個公式的幾何意義來看，就是分別過點P（x0，y0），Q（a，b）作x軸和y軸的平行線，把斜方向上的距離轉(zhuǎn)變?yōu)樗椒较蚝痛怪狈较虻木嚯x. 即QN′=x0-a，PN′=y0-b，得PQ=，這個是大家熟悉的兩點間距離的公式，也是初中階段所學的勾股定理的運用. 也就是說，這里所要求的PQ的長，實質(zhì)就是理解并推導出兩點間的距離公式，而不是僅僅記住或?qū)W會現(xiàn)成的公式. 數(shù)學學習的本質(zhì)就該是這樣，通過推理和探究獲得知識并形成知識的網(wǎng)絡(luò)，領(lǐng)悟每一個公式里面所蘊涵的關(guān)聯(lián)知識點或一些數(shù)學思想方法. 于是，解析幾何中的兩點間距離就轉(zhuǎn)化成水平方向和垂直方向的距離.

當A≠0，B≠0 時，直線PQ，l的斜率都存在，分別為，-. 因為PQ⊥l，所以·

-

=-1，即B（x0-a）-A（y0-b）=0. 因為點Q（a，b）在直線l上，所以Aa+Bb+C=0，將Aa+Bb+C=0變形為A（x0-a）+B（y0-b）=Ax0+By0+C， 綜合這兩點得：x0-a=，y0-b=.

所以，d==，當A=0或B=0時，容易驗證到這個公式也是成立的. 所以點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+c=0的距離公式為d=.

從兩點間的距離過渡到點到直線的距離，聯(lián)系原本所學的知識，這些公式就非常容易理解了，也讓學生更容易體會和理解到公式的本質(zhì).

[?] 向量法推導點到直線的距離公式

公式的推導實質(zhì)上就是一個思維過程，學生在這個推導的過程中體驗這種數(shù)學思維，再將這種數(shù)學思維運用到解決問題中. 點到直線的距離是高中階段一個非常重要的公式，除了上述的這種推導方法之外，我們還可以利用向量法來推導. 首先，我們可以復習一下相關(guān)的向量知識，這樣才能帶領(lǐng)學生更加順利地進行公式推導.

（1）a·b=

a

·

b

cosθ=

a

·（b在a上的投影）=

b

·（a在b上的投影）；

（2）點P（x0，y0）在直線l：ax+by+c=0上?ax0+by0+c=0；

（3）點P（x0，y0）不在直線l：ax+by+c=0上?ax0+by0+c≠0；

（4）點到直線的距離：過直線外一點P作直線l的垂線，Q為垂足，那么線段PQ的長度稱為點P到直線l的距離.

那么，我們來看看這樣的一個問題：已知點P（-2，-3），直線l：2x+y-3=0，求點P到直線l的距離.

分析：可以先過P作l的垂線，垂足為Q，求出Q的坐標，Q的坐標可以通過求直線PQ的方程，解方程組后求得Q的坐標. 這樣的方案也是可以的，但是步驟上還是比較繁雜的. 可以繼續(xù)啟發(fā)學生思考，尋求更加簡便易行的方法. 可以設(shè)Q′是直線l上任意一點，那么就可以利用PQ′與PQ之間的關(guān)系來思考. PQ剛好是PQ′在l的垂線上的投影，也就是PQ=PQ′cos∠Q′PQ ，可以把直線l與坐標軸的交點M（0，3），N

，0

作為Q′點. 這樣可以很容易求出線段PM的長度，同時利用線段PM與線段PQ的關(guān)系進一步思考，繼而求出cos∠MPQ的值.

當向量n與方向相同時，∠MPQ=θ，有cosθ=>0，此時·n>0；

當向量n與方向相反時，∠MPQ=π-θ

<θ≤π

，cos∠MPQ=-cosθ= ->0，此時，·n<0.

從前面的分析過程，就可以得出點到直線l的距離d.

d=

=

·cosθ=

·=，因為=（2，6），n=（2，1），所以·n=4+6=10，

n

=，d=2.

公式的導出：若P（x0，y0）是直線l：ax+by+c=0外的一點，求點P到直線l的距離.

[x][O][y][M][Q][P][l]

圖4

在直線l上任取一點M（x1，y1），因為=（x1-x0，y1-y0），n=（a，b），

所以d==.

又因為ax1+by1+c=0，即ax1+by1=-c，所以d= =.

這種推導方式是通過已知點與直線上一個特殊點的距離，找出與垂足之間的距離關(guān)系的思維過程. 在實際的課堂教學中，要注意切入點和引入的例子，分析要自然，這樣學生才能更容易接受. 利用向量的相關(guān)知識對公式進行推導，很好地提高了學生的向量的應用能力和對公式的進一步理解.

[?] 點關(guān)于直線對稱的坐標公式的推導過程

在我們所學習的與點和直線相關(guān)的公式中，還有點關(guān)于直線對稱的坐標公式，這個公式與點到直線間的距離有很大的相似之處，與點的坐標和直線的方程都有著緊密的聯(lián)系. 同樣，這個公式看起來非常復雜，但實際上越是復雜的公式所包含的信息量就越多，理解起來就越容易. 下面我們來看看這個公式的推導過程.

點關(guān)于直線對稱的坐標公式，如圖5，可以先設(shè)點P（x0，y0）關(guān)于直線l：Ax+By+c=0的對稱點為P′（x′，y′），那么，

x′=2a-x0=x0-2（x0-a）=x0-

，

y′=2b-y0=y0-2（y0-b）=y0-

，

當A=0或B=0時，這個公式也成立，所以，點P（x0，y0）關(guān)于直線l：Ax+By+c=0的對稱點的坐標為

x0-，y-

.

[x][O][y][Q][P][P′]

圖5

通過公式的推導過程，關(guān)于直線對稱的點的坐標就很好理解且易記了. 同樣的，在公式中，我們都運用到了直線的方程和點的坐標的相關(guān)知識，推導的過程都是從簡單的知識入手，通過知識之間的聯(lián)系和交匯，得到了我們所要的公式. 通過推導的過程，我們可以探究到公式的本源，促進學生對公式的本質(zhì)的理解.

[?] 兩個公式的聯(lián)系及本質(zhì)

從以上這兩個公式的變形和推導過程來看，在第一個公式的論證推導中，點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+c=0的距離可以說是終極目標，可能很多學生都認為要先求出垂足Q的坐標，求出a與b的值，但通過適當?shù)霓D(zhuǎn)化和變通，同樣圍繞這個終極目標，卻有了不一樣的方法，衍生出一個次目標，公式在形式上調(diào)整為將（x0-a），（y0-b）看成是兩個整體，直接求出這兩個整體. 而在推導點關(guān)于直線對稱點的坐標公式時，把關(guān)于直線對稱轉(zhuǎn)化為了關(guān)于點對稱，從而簡化了運算過程. 不論是第一個公式的推導還是第二個公式的推導，都可以將斜向的距離轉(zhuǎn)化為水平方向和豎直方向的疊加，然后結(jié)合直角三角形的特點，求出相應的距離. 這兩個公式從本質(zhì)上來說都是對斜方向距離的分解，利用投影的知識推導出來的. 只有在數(shù)學學習中不斷領(lǐng)悟和探索，才能從本質(zhì)上認識和掌握公式，并靈活運用于解決問題當中.