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    “轉(zhuǎn)化思想”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用及培養(yǎng)

    2022-06-07 08:10:06武漢城市職業(yè)學(xué)院初等教育學(xué)院黎靜芳
    成才 2022年10期
    關(guān)鍵詞:分率轉(zhuǎn)化思想運(yùn)算

    ■ 武漢城市職業(yè)學(xué)院初等教育學(xué)院 黎靜芳

    數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)在總體目標(biāo)中第一次提出了“四基”的理念和目標(biāo),特別重視數(shù)學(xué)思想及其具體實(shí)施。這對小學(xué)數(shù)學(xué)教師而言挑戰(zhàn)很大,他們除了數(shù)學(xué)思想方法的專業(yè)知識不足外,還有課堂教學(xué)中應(yīng)該具備的相關(guān)理念、策略也不足;基于以上原因,我們有必要研究數(shù)學(xué)思想方法的相關(guān)問題。

    數(shù)學(xué)思想方法有不同的分類,王永春教授把它們分成四類;本文探討與推理有關(guān)的“轉(zhuǎn)化思想”及其在教學(xué)中的運(yùn)用和培養(yǎng)。

    一、對轉(zhuǎn)化思想的理解

    “轉(zhuǎn)化思想,就是指把數(shù)學(xué)中不能解決或需要解決的問題,在頭腦中經(jīng)過重組和變化,與原有的知識經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系,化歸為之前已經(jīng)解決過的問題,最終使新問題獲得解決的一種手段和方法”這是張奠宙教授對轉(zhuǎn)化思想的定義。

    應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)就是將一個新問題轉(zhuǎn)化為舊問題、將一個繁雜的事物轉(zhuǎn)化為簡明的事物,從而揭示數(shù)學(xué)本質(zhì),最終達(dá)到優(yōu)化解題策略的過程。

    二、轉(zhuǎn)化思想在教材中的體現(xiàn)

    轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)知識的四大領(lǐng)域及“數(shù)學(xué)廣角”中都有體現(xiàn),分布在每冊教材里并不成體系,我們有必要將相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行梳理,幫助教師在教學(xué)時順利把轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用滲透給學(xué)生。

    1.在學(xué)習(xí)抽象的“數(shù)及運(yùn)算的意義”時運(yùn)用轉(zhuǎn)化

    表1對人教版教材中“數(shù)及運(yùn)算的意義”教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了梳理,我們發(fā)現(xiàn)將比較抽象的“數(shù)的意義”及“運(yùn)算的意義”運(yùn)用實(shí)物的操作或者直觀圖展示后,可以幫助小學(xué)生更好地理解這些概念,這種化抽象為具體的轉(zhuǎn)化策略需要教師不斷滲透,學(xué)生才能在解決問題的過程中慢慢領(lǐng)會這種思想方法。

    表1 人教版教材學(xué)習(xí)“數(shù)及運(yùn)算的意義”時轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用

    2.在學(xué)習(xí)四則運(yùn)算法則時,將新運(yùn)算轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的運(yùn)算

    表2對人教版教材中四則運(yùn)算法則的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整理,發(fā)現(xiàn)利用轉(zhuǎn)化就可以把新的運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)習(xí)過的相應(yīng)的法則來計算,這樣不僅優(yōu)化了解決問題的方法,也讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知過程中體會轉(zhuǎn)化思想方法的應(yīng)用。

    表2 人教版教材“四則運(yùn)算的意義和運(yùn)算法則”轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用

    3.在各種計算中利用運(yùn)算定律和性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化達(dá)到化繁為簡

    例1 三年級上冊,第2單元萬以內(nèi)的加減法

    ①兩位數(shù)加減兩位數(shù)的口算轉(zhuǎn)化:63-48=63-40-8=23-8=15;

    ②幾百幾十加減幾百幾十的筆算轉(zhuǎn)化:

    求550-380轉(zhuǎn)化為55-38=55-30-8=25-8=17,所以550-380=170;

    例2 四年級下冊,第23頁第9題,利用恒等變形把等式化簡:

    1+2+3+…+98+99+100=(1+99)+(2+98)+…(49+51)+100+50=100×50+50=5050

    例3 四年級下冊,第29頁例8,利用運(yùn)算定律進(jìn)行簡算:

    12×25=(3×4)×25=3×(4×25)=3×100=300

    或者12×25=(10+2)×25=10×25+2×25=250+50=300

    從這三個例子可以看出,我們將新的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的定律和性質(zhì)來計算,可以達(dá)到簡算和速算以及靈活運(yùn)用的目的。

    4.在多邊形內(nèi)角和、多邊形的面積與體積公式學(xué)習(xí)中應(yīng)用轉(zhuǎn)化

    以人教版為例,在圖形與幾何方面轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用如下:

    從表3我們可以看出,轉(zhuǎn)化思想在各冊教材的“圖形與幾何”這一部分基本都有體現(xiàn)。因此需要教師認(rèn)真領(lǐng)會教材,在教學(xué)中有目的、有組織地將所運(yùn)用到的轉(zhuǎn)化思想揭示給學(xué)生,進(jìn)行合理滲透。

    表3 圖形與幾何領(lǐng)域轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用

    三、轉(zhuǎn)化思想在課堂中的培養(yǎng)路徑

    轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用無時不有、無處不在,對培養(yǎng)學(xué)生的探究能力十分重要。教師要注重數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化的方式,以便呈現(xiàn)清晰的數(shù)量關(guān)系,降低學(xué)習(xí)的難度,從而提高課堂教學(xué)效果。下面探討在教學(xué)中培養(yǎng)轉(zhuǎn)化思想的幾點(diǎn)思路及應(yīng)用原則。

    1.在數(shù)學(xué)教學(xué)中使學(xué)生逐步養(yǎng)成轉(zhuǎn)化的習(xí)慣

    轉(zhuǎn)化思想的形成是一個循序漸進(jìn)的過程,讓學(xué)生經(jīng)歷應(yīng)有的歷練是形成的前提,教師在教學(xué)過程中提供時間與空間則是數(shù)學(xué)思想形成的保證。

    (1)做好教師引領(lǐng)示范。教師的引領(lǐng)一方面是授課時應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想方法的示范,另一方面是教給學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)化的技能,在課堂上為學(xué)生創(chuàng)造運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想的時間和空間。教師示范所展示的結(jié)論要令人信服,在解決問題的全過程中如何體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想則更為重要,也就是讓學(xué)生弄明白解題的思路是如何想到的、思想方法是如何運(yùn)用的,通過比較反思,轉(zhuǎn)化思想方法的優(yōu)勢就能體現(xiàn)出來了。

    (2)用好集體互動功能。學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成離不開班集體的互動,因?yàn)槊總€人的成長都會受到集體影響,與同學(xué)交流中獲得肯定是學(xué)生進(jìn)步的動力。個體將他人的觀點(diǎn)與自己的方法進(jìn)行比較,在相互交流和爭論中,讓多種思維方式匯集在一起,這樣轉(zhuǎn)化思想解決問題的優(yōu)勢就會顯示出來,從而讓學(xué)生開闊思路、體驗(yàn)成功。這個過程讓每個學(xué)生的思維更清晰,也使班集體解題的方式更豐富,全班一起受益。

    (3)發(fā)揮評價的導(dǎo)向作用。轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用在數(shù)學(xué)活動的結(jié)果中往往體現(xiàn)不出來,而是呈現(xiàn)在思維方式與過程中,呈現(xiàn)在解決問題手段的有效性、策略的合理性上,因此在評價方式和內(nèi)容上,教師鼓勵學(xué)生展示轉(zhuǎn)化的思維過程,通過對策略和方法的優(yōu)劣做比較,來強(qiáng)化和刺激學(xué)生的行為,就能很好地促進(jìn)小學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的形成。

    2.轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用的原則

    轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)是在已學(xué)過的相關(guān)知識的基礎(chǔ)上,把繁雜問題化為簡潔的問題、把抽象事物化為具體事物、把非常規(guī)對象化為常規(guī)對象,從而達(dá)到問題解決的目的。為此,在運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想時要遵循的原則有以下幾個:

    (1)數(shù)學(xué)化原則,就是把一般問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化,通過建立數(shù)學(xué)模型,應(yīng)用已有的知識來解決問題的方法。數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用性,利用所學(xué)知識解決生活中的問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的之一。

    (2)熟悉化原則,就是把陌生的事物轉(zhuǎn)化為熟知的事物。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程就是一個把新知內(nèi)化為舊知、使新問題不斷解決的過程。這個過程不僅是一個探索的過程,也是一個創(chuàng)新的過程,培養(yǎng)探索能力和創(chuàng)新精神也是課程標(biāo)準(zhǔn)所提倡的。

    (3)簡單化原則,即把數(shù)量關(guān)系繁雜的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系簡單的問題。對學(xué)習(xí)者而言,復(fù)雜的問題或許能夠解決,但所經(jīng)歷的過程往往會很麻煩,而經(jīng)過相關(guān)的轉(zhuǎn)化后,可以尋找到一些技巧和捷徑,使解決問題的過程得到優(yōu)化。

    (4)直觀化原則,即把抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀具體的問題。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一是抽象性,直接解答抽象的問題難度較大,借助直觀手段把抽象問題轉(zhuǎn)化為比較具體的問題后,解決起來就比較容易了。

    下面是遵循以上原則,我們利用轉(zhuǎn)化思想解決幾類典型問題的案例。

    四、轉(zhuǎn)化思想的拓展應(yīng)用

    1.分率轉(zhuǎn)化

    對于某些比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題,當(dāng)題目里出現(xiàn)多個單位“1”,即有多個不同的分率時,我們應(yīng)當(dāng)通過轉(zhuǎn)化把它們化成單位“1”相同的分率,再根據(jù)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行解答。

    例1 把一根木材裁成三節(jié),使第一節(jié)的長度等于余下兩節(jié)的和;第二節(jié)又等當(dāng)于第一節(jié)與第三節(jié)之和的一半;已知第三節(jié)長米,求這根木材長多少米?

    分析與解:此題如果把木材分成三個小節(jié)分別去計算,那是相當(dāng)困難的,但把全長作為單位“1”,把幾個分率進(jìn)行轉(zhuǎn)化就非常簡捷了。題目說“第一節(jié)的長度等于余下兩節(jié)的和”,從全長考慮,第一節(jié)即為全長的,再從“第二節(jié)又等于第一節(jié)與第三節(jié)之和的一半”,如果把第二節(jié)看成1份,另外2節(jié)之和就是2份,從全長考慮,第二節(jié)就占全長的。第三節(jié)所對應(yīng)的分率為:

    答:這根木材全長4米。

    2.題型的轉(zhuǎn)化

    在各種轉(zhuǎn)化中,難度最大、應(yīng)用范圍最廣的應(yīng)是題型的轉(zhuǎn)化了。

    例2 已知四個自然數(shù)A、B、C、D,它們的大小依次增加。B、C、D三個數(shù)和的正好與甲相等,A、B之和與C、D之和的是相等的。想使A、B、C、D的總和最小,而C盡可能大,D的取值是多少?

    分析與解:這道題中有兩個分率,第一個分率是以B、C、D三個數(shù)的和為單位“1”,第二個分率是以丙、丁的和為單位“1”,如果用分?jǐn)?shù)問題的一般解法是很困難的,我們運(yùn)用轉(zhuǎn)化就可以使問題變得簡單。

    題目的條件“想使A、B、C、D的總和最小”,7和11的最小公倍數(shù)77即為這四個數(shù)的最小總和。那么C、D兩個數(shù)的和為:

    因?yàn)镃<D(A、B、C、D數(shù)值是依次增加的),又要“讓C盡可能大”,所以,D只能為25。

    答:D應(yīng)當(dāng)?shù)扔?5。

    3.圖形轉(zhuǎn)化

    例3 已知三角形ABC的面積是40平方厘米,它的面積是平行四邊形CDEF面積的倍。求三角形EFB的面積?

    分析與解:陰影三角形BEF是一個一般三角形,題目中只有一個數(shù)值40,根據(jù)這個值想得到所求三角形EFB的底和高都是不可能的。那么我們能不能找到一個三角形與所求三角形面積相等呢?如右上圖,連接E、C后發(fā)現(xiàn):新三角形ECF和三角形BEF的底EF是相同的,而CDEF是平行四邊形,則它們的高也相等。那么,這兩個三角形面積相等,題目就轉(zhuǎn)化為求三角形EFC的面積了。

    在平行四邊形CDEF中,三角形EFC的面積是平行四邊形CDEF面積的一半,所以EFB面積也就等于平行四邊形CDEF面積的一半。

    通過“轉(zhuǎn)化”,列式可求出:

    答:三角形EFB的面積為8平方厘米。

    以上三個例題說明,我們通過恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,就能把未知變成已知,把繁雜的問題轉(zhuǎn)化成已有的經(jīng)驗(yàn),從而使問題順利得以解決。

    五、結(jié)語

    轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)解題中重要的、基本的思想方法之一,許多困難問題通過轉(zhuǎn)化變得容易。教師在教學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的滲透不僅拓寬了學(xué)生的思路,還提高了學(xué)生分析和解決問題的能力;在培養(yǎng)學(xué)生多角度考慮問題的過程中,不僅讓他們養(yǎng)成了良好的思維習(xí)慣,而且學(xué)生的思維品質(zhì)得到了優(yōu)化,運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的能力不斷提升。

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