初中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)思考

馬軍帥

【摘要】函數(shù)的教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是歷次中考的重要考點(diǎn).然而，初中數(shù)學(xué)課堂函數(shù)的教學(xué)質(zhì)量和效果都不理想，究其原因是函數(shù)是從現(xiàn)實(shí)中抽象而來的，外延十分廣泛，內(nèi)涵尤其深刻，要讓學(xué)生完全理解并掌握確實(shí)難度不小.因此，本文從這些年的教學(xué)實(shí)踐和研究出發(fā)，對初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的函數(shù)教學(xué)方式做出幾點(diǎn)歸納與總結(jié)，以期使學(xué)生更好地理解和掌握這一數(shù)學(xué)難點(diǎn)，從而提高數(shù)學(xué)課堂函數(shù)教學(xué)的質(zhì)量和效果.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);函數(shù)教學(xué);常量和變量

一、引言

初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)教學(xué)幾乎可以貫串整個(gè)初中時(shí)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，這是函數(shù)的本質(zhì)特征決定的.教師在數(shù)學(xué)課堂的函數(shù)教學(xué)過程中要加強(qiáng)對學(xué)生進(jìn)行函數(shù)學(xué)習(xí)的指導(dǎo)，注重對數(shù)形結(jié)合的分析和運(yùn)用，讓他們對函數(shù)的本質(zhì)有更清晰的理解和認(rèn)識，而且要摒棄那些只重視知識的特點(diǎn)卻忽略了知識的本質(zhì)的本末倒置的教學(xué)方法.

二、掌握相互聯(lián)系，運(yùn)動(dòng)發(fā)展的數(shù)學(xué)理念

從數(shù)學(xué)特點(diǎn)上進(jìn)行分析，函數(shù)表示的是不同數(shù)字之間的變化關(guān)系，當(dāng)一個(gè)數(shù)發(fā)生變化時(shí)，數(shù)學(xué)關(guān)系就會(huì)不同，另一個(gè)數(shù)的具體數(shù)值也就會(huì)隨之發(fā)生變化.但在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，函數(shù)的有關(guān)概念與解題要求更為復(fù)雜.學(xué)生不僅要正確認(rèn)識函數(shù)知識，還要嘗試說明函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，依靠函數(shù)關(guān)系解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題.對于初中生來說，函數(shù)是一個(gè)全新的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算之間的區(qū)別極大.如果教師采取“平鋪直敘”的方式引入數(shù)學(xué)知識，那么學(xué)生很難正確地解讀函數(shù)的數(shù)學(xué)意義.

在初中數(shù)學(xué)中，函數(shù)能清楚地把兩個(gè)變量之間的關(guān)系完全表達(dá)出來.關(guān)于函數(shù)的兩個(gè)變量，一個(gè)變量總是跟著另一個(gè)變量的變化而變化，它們之間能相互作用、相互制約.因此，在初中數(shù)學(xué)課堂中進(jìn)行函數(shù)教學(xué)時(shí)，教師要培養(yǎng)學(xué)生基于數(shù)學(xué)學(xué)科的互為作用、互為聯(lián)絡(luò)的理念，在對函數(shù)開展分析和學(xué)習(xí)時(shí)要運(yùn)用發(fā)展和運(yùn)動(dòng)的思路.在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，教師在講解函數(shù)時(shí)可以采用“例如”“比如”等方法，用形象的比喻來向?qū)W生表達(dá)函數(shù)里兩個(gè)變量之間進(jìn)行互相影響的關(guān)系.在教學(xué)活動(dòng)中，教師可以抓住函數(shù)教學(xué)的授課要求開展數(shù)學(xué)教學(xué)工作.一方面，教師可以結(jié)合基本數(shù)學(xué)定理確定自變量、因變量等概念，將函數(shù)公式與函數(shù)關(guān)系整理出來，確定數(shù)學(xué)解題的基本方法.另一方面，教師可以加強(qiáng)對數(shù)學(xué)知識的綜合化應(yīng)用，嘗試?yán)煤瘮?shù)知識進(jìn)行解題.在生活中、教材上，教師可以將學(xué)生搜集到的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，幫助學(xué)生解讀函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)性特點(diǎn)，厘清學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思路.由于函數(shù)中變量的關(guān)系和其他學(xué)科有著很大的關(guān)聯(lián)性，教師引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)開展深入的學(xué)習(xí)能提升他們學(xué)習(xí)其他學(xué)科的學(xué)習(xí)能力，促使他們在多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域的融合貫通，全面提升他們的綜合學(xué)習(xí)能力.

三、深層次了解常量和變量

（一）常量的客觀存在

常量是函數(shù)教學(xué)中的基本數(shù)學(xué)概念，承擔(dān)著表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系多、幫助學(xué)生正確認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的重要作用.對于學(xué)生來說，常量、變量兩大概念相互搭配，共同構(gòu)成了函數(shù)板塊的基本教學(xué)體系.從字面含義上進(jìn)行理解，常量屬于“維持常態(tài)不發(fā)生變化的量”.在現(xiàn)實(shí)生活中，常量時(shí)常存在于每個(gè)層面，是在所有行業(yè)或領(lǐng)域里都會(huì)遇到的一個(gè)量.例如，三角形的內(nèi)角和是180°、任意多邊形的外角和都是360°、勻速運(yùn)動(dòng)中的速度、圓周率等，這些都是常量.在幫助學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)概念的過程中，教師可以通過概念的代換來加深學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的記憶：在一個(gè)圓中，無論圓的面積如何變化，圓周率始終保持不變，請說明圓中的常量.教師通過設(shè)計(jì)問題，使學(xué)生了解基礎(chǔ)概念，這樣才能盡可能地消除未來教學(xué)中的盲區(qū)問題.

（二）變量是大量存在的

例如，衛(wèi)星的飛行軌跡、高鐵來往兩地的歷程、某次數(shù)學(xué)測試時(shí)學(xué)生的成績、每天定時(shí)的電視節(jié)目等，這些量和上面提到的常量是不一樣的.這時(shí)，教師可以向?qū)W生提出問題：“常量和變量的區(qū)別在哪里？”先讓學(xué)生說出變量的特點(diǎn)，再向?qū)W生講解變量的概念，讓學(xué)生根據(jù)概念說出生活中的實(shí)例，讓他們意識到生活中普遍存在變量，進(jìn)而讓他們認(rèn)識到存在變量的必要性，探尋變量之間的相互關(guān)系.

四、有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想，也是重要的解題思路，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用.教師引導(dǎo)學(xué)生有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，能進(jìn)一步提升學(xué)生分析問題的敏銳性及解決問題的準(zhǔn)確率.教師在課堂教學(xué)過程中要意識到函數(shù)概念在初中數(shù)學(xué)中所處的位置，要經(jīng)常對函數(shù)概念進(jìn)行滲透.實(shí)際上，最開始的數(shù)軸上和實(shí)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系里就包含了函數(shù)的概念.

在學(xué)習(xí)和理解函數(shù)概念之后，學(xué)生就能非常明朗化地把函數(shù)和不等式、方程的解等密切地聯(lián)系起來.實(shí)數(shù)絕對值的意義、一元一次不等式解集的幾何表示對于函數(shù)的圖像和性質(zhì)的研究發(fā)揮著重要的基礎(chǔ)作用.函數(shù)的關(guān)系可以用“形”這個(gè)直觀形象的方法來體現(xiàn)，如一次函數(shù)的圖像是直線;二次函數(shù)的圖像是拋物線，它的變化趨勢有升有降;反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它能無限地接近軸;等等.“數(shù)”如果缺了“形”，就少了直觀;“形”如果缺了“數(shù)”，就難以入微.“形”的方式的引進(jìn)不僅能為研究函數(shù)提供直觀、形象的感受，最重要的是能讓學(xué)生對函數(shù)有一個(gè)十分直接的理性認(rèn)識.為幫助學(xué)生系統(tǒng)地歸納相關(guān)數(shù)學(xué)知識，教師可以嘗試針對函數(shù)板塊的有關(guān)教學(xué)增加教學(xué)難度，如教師可以一次性地展示出所有函數(shù)的概念、圖像，但不要求學(xué)生進(jìn)行掌握，而是讓學(xué)生將其作為課外學(xué)習(xí)材料保存下來，為學(xué)生提供自學(xué)、比對的機(jī)會(huì).配合函數(shù)圖像與相關(guān)的數(shù)學(xué)公式，學(xué)生能逐漸加深對函數(shù)知識的理解，如正比例函數(shù)中，x的值越大，y的值就越大;反比例函數(shù)中，x的值越小，y的值就越小.這兩個(gè)函數(shù)之間似乎是“死對頭”.對比記憶能夠讓學(xué)生更為清楚地整理相關(guān)知識點(diǎn)，而且教師保留下來的函數(shù)圖像可以在未來的教學(xué)中重新進(jìn)行利用.需要注意的是，在初中時(shí)期，對于學(xué)生對函數(shù)概念的學(xué)習(xí)及理解，教師不要有太多過高的要求.按照新教學(xué)大綱的要求，學(xué)生能把函數(shù)關(guān)系式與圖像進(jìn)行結(jié)合就可以，也就是看到圖像就會(huì)想到函數(shù)關(guān)系式.反之，見到函數(shù)關(guān)系式就能立刻想到圖像以及圖像所在的位置.A0A7CFF6-7C29-4613-BA6E-9A87051CAEC8

五、反比例函數(shù)的應(yīng)用和求代數(shù)式的值或解方程的區(qū)別

反比例函數(shù)的應(yīng)用是學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行實(shí)際問題解決的，求代數(shù)式的值或解方程則需要學(xué)生具備一定的計(jì)算能力.求代數(shù)式的值或解方程和反比例函數(shù)的應(yīng)用之間的區(qū)別在于：前者是使用具體的數(shù)值代替代數(shù)式里的字母來計(jì)算，進(jìn)而求出代數(shù)式的值，或者求出方程的解，強(qiáng)調(diào)的是一定的解題方法和計(jì)算能力;后者主要體現(xiàn)的是用函數(shù)的思維來解決實(shí)際中遇到的問題，著重體現(xiàn)的是數(shù)形結(jié)合的思維方式，通過對實(shí)際問題中變量之間關(guān)系的分析，建立反比例的數(shù)學(xué)模型，最后達(dá)到解決問題的目的.兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，它們之間的關(guān)系是相互依存的.

反比例函數(shù)和方程式是初中數(shù)學(xué)中非常重要的基礎(chǔ)知識之一.方程只不過是反比例函數(shù)關(guān)系式對某個(gè)特定函數(shù)值求的解.方程是兩邊相等的，變形可以在等號的兩側(cè)進(jìn)行，但函數(shù)關(guān)系式的兩邊是不相等的，函數(shù)關(guān)系式的變形只能在等號的右邊進(jìn)行.反比例函數(shù)都是和實(shí)際問題相融合的，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)圖像，充分利用函數(shù)的特點(diǎn)和性質(zhì)解決那些需要解決的問題.在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師可以通過不同知識點(diǎn)之間的對比、歸納、總結(jié)，幫助學(xué)生認(rèn)識有關(guān)數(shù)學(xué)知識，加深他們對于函數(shù)知識的理解.以最為基本的反比例函數(shù)為例，部分教師要求學(xué)生利用“除法”的方式來記憶反比例函數(shù)，即將反比例函數(shù)中的k視為被除數(shù)，x視為除數(shù)，y視為商，這樣的概念講解確實(shí)能夠減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力，但是讓學(xué)生忽視了數(shù)學(xué)概念與其他知識點(diǎn)之間的聯(lián)系.因此，在教學(xué)中，教師可以要求學(xué)生分別畫出反比例函數(shù)與正比例函數(shù)、方程的數(shù)學(xué)圖像，通過觀察交點(diǎn)、計(jì)算求解等方式對比不同知識點(diǎn)間的差別，避免混淆數(shù)學(xué)概念.在進(jìn)行解題的時(shí)候，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生先對題意進(jìn)行充分的理解，只有這樣才能找出反比例函數(shù)的關(guān)系式，從而有效地解決具體問題.

六、概念要說清楚、講透徹

對于初中生來說，接觸函數(shù)是一個(gè)全新的領(lǐng)域，入門學(xué)習(xí)有難度.在最初學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，很多初中生的基礎(chǔ)沒有那么扎實(shí)，對函數(shù)的基本定義與概念在思維和理解方面沒有搞懂，而隨著教學(xué)的深入，他們學(xué)習(xí)起來感覺越來越費(fèi)力，效果十分差.因此，要想讓學(xué)生學(xué)好函數(shù)，教師在教學(xué)過程中需要做的第一步也是十分重要的一步就是把概念講得透徹.學(xué)生只有真正地理解概念，才能在后面的函數(shù)學(xué)習(xí)中如魚得水.函數(shù)主要有正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等，對于這些概念不同的函數(shù)，學(xué)生要保證能區(qū)分開來.隨著教師的講解不斷深入，一些學(xué)生容易把這些名稱接近的概念搞混.為防止出現(xiàn)這樣的混淆情況，教師在進(jìn)行新課講授時(shí)需要讓學(xué)生將函數(shù)概念理解清楚、透徹.例如，定義函數(shù)：設(shè)非空數(shù)集A、B，：x→y是一個(gè)對應(yīng)分組從A到B，則從A到B的映射是：A→B稱之為函數(shù)，也就是函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=（x），其中y∈B，x∈A，函數(shù)（x）的定義域是象的集合A，函數(shù)（x）的值域是象的集合B.

學(xué)生對于這樣的函數(shù)概念會(huì)覺得不知所云，理解起來感覺十分困難，這就需要教師把函數(shù)的各個(gè)概念單獨(dú)分解出來對學(xué)生開展詳細(xì)的講解.

1.對應(yīng)法則：簡單地講就是函數(shù)的計(jì)算公式.

2.函數(shù)的定義域：自變量x的取值范圍.

3.函數(shù)的值域：與函數(shù)定義域的對應(yīng)法則有很大的關(guān)聯(lián)性.

進(jìn)一步講解：

如何確定兩個(gè)函數(shù)是否屬于同一個(gè)函數(shù)？條件是函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則都分別是一樣的.也可以這樣說：

1.如果對應(yīng)法則不一樣，兩個(gè)函數(shù)就不一樣.

2.如果定義域不同，兩個(gè)函數(shù)就不同.

3.即使兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域都分別相同，也不代表它們就是一個(gè)函數(shù)，這是因?yàn)楹瘮?shù)的定義域與值域都不是唯一確定函數(shù)的對應(yīng)法則.

通過這樣的函數(shù)講解方式，教師能讓學(xué)生對函數(shù)的基本概念有深入的理解，從而理解什么是值域、什么是定義域、什么是對應(yīng)法則、如何判斷兩個(gè)函數(shù)等問題.在解答函數(shù)的有關(guān)概念之后，教師可以嘗試引入數(shù)學(xué)計(jì)算問題、發(fā)起數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，要求學(xué)生利用函數(shù)關(guān)系式、函數(shù)圖像來歸納、整理數(shù)學(xué)知識，解決生活中的數(shù)學(xué)問題.例如，教師可以“利用函數(shù)計(jì)算某地的降水率”“利用函數(shù)計(jì)算商場的折扣力度”等，選擇數(shù)學(xué)話題，加深學(xué)生對于函數(shù)知識的理解.除了對函數(shù)的概念進(jìn)行分析外，對于反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義，教師都要采取這樣的方式進(jìn)行講解，爭取把每個(gè)函數(shù)的概念都講得十分透徹.

七、掌握函數(shù)圖像的畫法

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，學(xué)生還要具備的一個(gè)能力就是掌握函數(shù)圖像的畫法.函數(shù)的圖像在表達(dá)函數(shù)的關(guān)系式時(shí)把抽象的數(shù)學(xué)概念、符號變得十分直觀、形象，不僅方便學(xué)生進(jìn)行觀察，而且方便教師進(jìn)行講解，對于學(xué)生理解函數(shù)的性質(zhì)、解答函數(shù)的習(xí)題、觀察函數(shù)的特點(diǎn)都能發(fā)揮十分重要的作用.

例如，在學(xué)生開始學(xué)習(xí)二次函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，教師要向?qū)W生詳細(xì)講解二次函數(shù)的圖像是如何畫出來的，有哪些細(xì)節(jié)需要注意，哪些是重點(diǎn)，等等.然后，教師要把二次函數(shù)的圖像展示出來，向?qū)W生講解哪個(gè)是縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)、最大值、對稱軸、最小值等二次函數(shù)的重要參數(shù).在二次函數(shù)的有關(guān)教學(xué)中，教師可以嘗試?yán)酶鞣N數(shù)學(xué)圖像來引入數(shù)學(xué)問題，要求學(xué)生分析二次函數(shù)圖像的數(shù)學(xué)特點(diǎn).隨著探究的不斷深入，學(xué)生對于二次函數(shù)圖像的認(rèn)識逐漸加深.在二次函數(shù)中，自變量的最大指數(shù)冪是2，所以函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).以函數(shù)圖像y=4x2為例，當(dāng)y的取值是4時(shí)，x的取值并不唯一.教師用最簡單的數(shù)學(xué)問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生正確掌握并應(yīng)用數(shù)學(xué)知識.在展示函數(shù)圖像的過程中，教師也要鼓勵(lì)學(xué)生積極地進(jìn)行提問，以y=4x2與y=-4x2兩個(gè)函數(shù)為例，在x的取值完全相同的情況下，兩個(gè)函數(shù)圖像的“朝向”并不相同，由此引出新的數(shù)學(xué)問題：如何確定函數(shù)圖像的開口方向？在配合函數(shù)圖像發(fā)起數(shù)學(xué)教學(xué)工作的過程中，教師不必對相關(guān)知識點(diǎn)進(jìn)行“事無巨細(xì)”的講解，適當(dāng)留白，鼓勵(lì)學(xué)生自由發(fā)揮，可能會(huì)在課堂上呈現(xiàn)不一樣的效果.A0A7CFF6-7C29-4613-BA6E-9A87051CAEC8

八、全面掌握函數(shù)關(guān)系式求解的方法

在實(shí)際運(yùn)用函數(shù)的過程中，函數(shù)關(guān)系式就是函數(shù)中最基本的步驟，再進(jìn)一步就是把平面幾何與函數(shù)關(guān)系式混合在一起進(jìn)行綜合分析.在關(guān)于函數(shù)的學(xué)習(xí)中，對于函數(shù)關(guān)系式的求解，教師要求學(xué)生必須重視，同時(shí)要讓他們通過全面、深層次的學(xué)習(xí)進(jìn)而掌握多種函數(shù)關(guān)系式解題的方法.函數(shù)的關(guān)系式有很多求解方法，如換元法、解方程組、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法、特殊值代入法等.在初中時(shí)期，學(xué)生只需要學(xué)習(xí)并掌握的是解方程組、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法、特殊值代入法.下面舉例說明函數(shù)關(guān)系式的解題方法.

例題：江面拱橋涵洞的形狀是拋物線.經(jīng)過測量得知，當(dāng)江面寬度是1.6米時(shí)，涵洞頂點(diǎn)到江面的距離是2.5米.求：在江面達(dá)到1.5米時(shí)，這時(shí)的涵洞有多寬？

例題分析：這是關(guān)于求解二次函數(shù)的問題，解析如下：

1.畫出涵洞拋物線，然后按照給出的條件設(shè)x、y軸，以涵洞頂部為二次函數(shù)的圓點(diǎn)，然后畫出平面直角坐標(biāo)系就可以求出涵洞的寬.

2.把涵洞地段的江面寬度是1.6米時(shí)設(shè)為AB，離開江面處的高度設(shè)為CD.

3.y軸與AB、CD形成的交叉點(diǎn)是E、F，按照已知條件分別算出E、F的坐標(biāo)點(diǎn)分別是（0，-1），（0，-2.5）.隨后依據(jù)這兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)算出二次函數(shù)的表達(dá)式.

4.最后得到江面達(dá)到1.5米時(shí)涵洞露出水面的寬度.

這個(gè)例題是比較常見的用坐標(biāo)點(diǎn)來列出函數(shù)表達(dá)式的問題.對于這種求函數(shù)表達(dá)式的方法，教師要通過深入細(xì)致的講解，讓學(xué)生多做同類型的題來深入理解并掌握這種解題方法.

九、結(jié)語

綜上所述，教師通過掌握相互聯(lián)系，運(yùn)動(dòng)發(fā)展的數(shù)學(xué)理念;深層次了解常量和變量;有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想;區(qū)別反比例函數(shù)的應(yīng)用以及求代數(shù)式的值或解方程;對初中數(shù)學(xué)函數(shù)本質(zhì)的分析，揭示了函數(shù)一般規(guī)律和特殊規(guī)律內(nèi)在的聯(lián)系，讓學(xué)生在實(shí)際解決問題中更好地掌握函數(shù)的本質(zhì)和規(guī)律，拓展思維，攻克初中數(shù)學(xué)中的這一難關(guān).

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