利用定積分求平面曲線弧長的極坐標公式探討

楊梅 王澤軍 楊立敏 高潔

【摘要】用定積分求平面曲線的弧長是定積分在幾何上的一個典型應用.在用微元法推導極坐標下平面圖形面積公式過程中，用小扇形面積近似代替小曲邊扇形面積，受此啟發(fā)，本文先提出猜想：極坐標下弧長的計算公式是否可由s=∫βαr（θ）dθ給出？接著用例題及嚴格的證明指出極坐標下弧長公式一般只能是s=∫βαr2（θ）+r′2（θ）dθ，而不能為s=∫βαr（θ）dθ.但在特殊情形下，即當r′（θ）=0時，s=∫βαr（θ）dθ與s=∫βαr2（θ）+r′2（θ）dθ兩公式都適用.

【關鍵詞】微元法;極坐標;定積分;平面曲線弧長

【基金項目】中國石油大學（北京）克拉瑪依校區(qū)教學改革項目（JG2020042）

一、基本概念

1.光滑曲線：若x′（t），y′（t）在[a，b]上連續(xù)，且[x′（t）]2+[y′（t）]2≠0，則由參數(shù)方程x=x（t），y=y（t）t∈[a，b]確定的曲線稱為光滑曲線.

2.極坐標形式下的弧長定義：設平面曲線弧C的極坐標方程為r=r（θ），θ∈[α，β]，則由直角坐標與極坐標關系可得

x（θ）=r（θ）cos θ，y（θ）=r（θ）sin θ θ∈[α，β].

設P={θ0，θ1，…，θn}是[α，β]的一個劃分，即

α=θ0<θ1<…<θn=β，

它們在曲線弧C上對應的點為

M0=（x（θ0），y（θ0）），

M1=（x（θ1），y（θ1）），…，

Mn=（x（θn），y（θn））.

從端點M0開始用線段依次連接分點M0，M1，…，Mn，得到曲線的一條內(nèi)接折線，用|Mi-1Mi|（i=1，2，…，n）來表示折線Mi-1Mi的長度，則內(nèi)接折線總長度為

Ln=∑ni=1Mi-1Mi

=∑ni=1[x（θi）-x（θi-1）]2+[y（θi）-y（θi-1）]2.

令λ=max{Δθi}（i=1，2，…，n），若極限

limλ→0∑ni=1Mi-1Mi=

limλ→0∑ni=1[x（θi）-x（θi-1）]2+[y（θi）-y（θi-1）]2

存在，那么稱此極限為曲線弧C的弧長，并稱此曲線弧C是可求長的.

3.極坐標形式下的弧長公式：設平面曲線弧由極坐標方程r=r（θ），θ∈[α，β]給出，r（θ）在[α，β]上具有連續(xù)導數(shù)，則弧長元素為

ds=r2（θ）+r′2（θ）dθ，

從而所求弧長為

s=∫βαr2（θ）+r′2（θ）dθ .（1-1）

4.利用微元法求分布在區(qū)間[a，b]上不均勻的量Q總量的步驟：

（1）在區(qū)間[a，b]中任取小區(qū)間[x，x+dx]，將[x，x+dx]上分布的量ΔQ用f（x）dx近似表達;

（2）檢驗f（x）dx是否滿足f（x）∈C[a，b]且

ΔQ-f（x）dx=ο（dx），（dx→0）;

（3）若ΔQ-f（x）dx=ο（dx），（dx→0）成立，則

Q=∫baf（x）dx.

上述步驟中，最為關鍵的是第二步.對于實際應用中的大部分問題，我們都容易找到滿足條件的f（x）dx，比如：在直角坐標形式下計算平面圖形的面積時，可用小矩形的面積近似代替小曲邊圖形的面積;在極坐標形式下計算平面圖形的面積時，可用小扇形的面積近似代替小曲邊扇形的面積.但在與曲線弧長有關的計算中，如在極坐標形式下計算平面曲線的弧長時，則不可用小扇形的弧長近似代替小曲邊扇形的弧長.

二、關于極坐標形式下弧長公式的一點疑問

設有極坐標方程r=r（θ），θ∈[α，β]所確定的一段光滑曲線?。ㄒ妶D3）.現(xiàn)任取一小區(qū)間[θ，θ+dθ][α，β]，若有圓弧MM″近似MM′，則弧長元素ds=r（θ）dθ，于是得弧長公式

s=∫βαr（θ）dθ .（2-1）

這個公式形式更簡單，但是否正確呢？接下來先舉例說明.

這里嘗試用兩種弧長公式計算弧長，以下將公式（1-1）求出的弧長記為s1，將公式（2-1）求出的弧長記為s2.

例1 求曲線弧r（θ）=c0≤θ≤π2的長度（見圖1）.其中c為正常數(shù).

解 s1=∫π20r2（θ）+r′2（θ）dθ

=∫π20cdθ=c·π2，

s2=∫π20r（θ）dθ=∫π20cdθ=c·π2.

顯然有s1=s2.

例2 求曲線弧r（θ）=csin θ+cos θ0≤θ≤π2的長度（見圖2）.其中c為正常數(shù).

解 s1=c·∫π20r2（θ）+r′2（θ）dθ

=2c·∫π201（sin θ+cos θ）2dθ

=2c·∫π201（1+tan θ）2d（tan θ） =2c.

s2=∫π20csin θ+cos θdθ，

令u=tan θ2，

則s2=c·∫1012u1+u2+1-u21+u2·21+u2du

=2c·∫1012-（u-1）2du=2ln（2+1）c，

顯然s1

由上述兩個例題可知，用公式（2-1）計算弧長有時會得出錯誤結(jié)論.下面給出嚴格的推導，說明公式（2-1）的局限性.

三、極坐標下弧長公式的證明

定理 設光滑曲線弧MM′（見圖3）：r=r（θ），θ∈[α，β]，其中MM′為連接M，M′的弦，MM″是圓心角為Δθ，半徑為r（α）的圓弧，則有：3486C4F9-FC4A-40A5-B87A-AA7203FFB045

limΔθ→0MM′MM″2=r′（θ）r（θ）2+1;

limΔθ→0MM′-MM″Δθ·（r′（θ）+r（θ））=r′2（θ）.

證明 limΔθ→0MM′MM″2

=limΔθ→0MM′MM′·MM′MM″2 =limΔθ→0MM′MM″2

=limΔθ→0r2（θ+Δθ）+r2（θ）-2r（θ+Δθ）·r（θ）·cos Δθ（r（θ）·Δθ）2

=[CBC1]limΔθ→0r（θ+Δθ）-r（θ）2+2r（θ+Δθ）·r（θ）·1-cos Δθr（θ）·Δθ2

=limΔθ→01r2（θ）·r（θ+Δθ）-r（θ）Δθ2+

limΔθ→02r（θ+Δθ）·12（Δθ）2r（θ）·（Δθ）2

=r′（θ）r（θ）2+1.

另外，limΔθ→0MM′-MM″Δθ·MM′+MM″Δθ

=limΔθ→0MM′2-MM″2（Δθ）2

=limΔθ→0MM″2·MM′MM″2-1（Δθ）2

=limΔθ→0r（θ）·Δθ2·MM′MM″2-1（Δθ）2，

則limΔθ→0MM′-MM″Δθ·MM′+MM″Δθ

=limΔθ→0r2（θ）·MM′MM″2-1

=limΔθ→0r2（θ）·limΔθ→0MM′MM″2-1=r′2（θ）.

又limΔθ→0MM′+MM″Δθ

=limΔθ→0MM′Δθ+limΔθ→0MM″Δθ=r′（θ）+r（θ），

即

limΔθ→0MM′-MM″Δθ·（r′（θ）+r（θ））=r′2（θ）.

因此，（1）當r′（θ）=0時，limΔθ→0MM′-MM″Δθ=0;

（2）當r′（θ）≠0時，

limΔθ→0MM′-MM″Δθ=limΔθ→0r′2（θ）r′（θ）+r（θ）≠0.

結(jié)合以上證明過程可知，若計算一般曲線弧的弧長，只能采用公式（1-1），而不能用公式（2-1），因為公式（2-1）不滿足微元法的使用條件.

但當曲線弧的極坐標方程是r（θ）=c（其中c為正常數(shù)）時，兩公式都適用.

下面再從誤差和的角度說明公式s=∫βαr（θ）dθ，s=∫βαr2（θ）+r′2（θ）dθ的適用性.

設P=θ0，θ1，…，θn是[α，β]的一個劃分，即

α=θ0<θ1<…<θn=β，

任取小區(qū)間θi-1，θi（i=1，2，…，n），記λ=max{Δθi}（i=1，2，…，n）.

考慮小區(qū)間[θi-1，θi]上兩種算法的微元誤差Δri：

Δri=r2（θi）+r′2（θi）Δθi-r（θi）Δθi

=r′2（θi）r2（θi）+r′2（θi）+r（θi）Δθi.

則區(qū)間[α，β]上的誤差和Δr為：

Δr=limλ→0∑ni=1r′2（θi）r2（θi）+r′2（θi）+r（θi）Δθi

=∫βαr′2（θi）r2（θi）+r′2（θi）+r（θi）dθ.

注意：（1）當r′（θ）=0，即曲線弧為圓弧時，Δr=0;

（2）當r′（θ）≠0時，有

r′2（θi）r2（θi）+r′2（θi）+r（θi）>0.

根據(jù)定積分的性質(zhì)可知：

∫βαr′2（θi）r2（θi）+r′2（θi）+r（θi）dθ>0，

即誤差和Δr>0.

從誤差和的角度分析可知，公式（2-1）依然不能用于計算一般曲線弧的弧長.

最后，我們利用公式s=∫βαr2（θ）+r′2（θ）dθ求心臟線的全長.

例3 求心臟線r（θ）=2a（1+cos θ）的全長.其中a為正常數(shù).

解 s=2∫π0r2（θ）+r′2（θ）dθ

=2∫π04a2（1+cos θ）2+4a2sin 2θdθ

=2·2a∫π02（1+cos θ）dθ

=8a∫π0cos θ2dθ

=16asin θ2π0=16a.

四、結(jié)束語

利用微元法求解問題的關鍵步驟是選取適當?shù)奈⒃磉_式.驗證微元是否符合要求的關鍵在于近似代替所產(chǎn)生的誤差是不是自變量改變量的高階無窮小.本文利用高階無窮小的定義及誤差和來分析微元是否滿足條件，嚴格論證了兩種計算弧長的公式的適用范圍.

【參考文獻】

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