從“雞兔同籠”問題看小學(xué)數(shù)學(xué)建模

黃家平

[摘 要]小學(xué)生處于具體運(yùn)算階段，對知識的理解要靠直觀的形象支撐。學(xué)生對知識的學(xué)習(xí)與掌握，一方面是將知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的過程，另一方面是對數(shù)學(xué)知識給予實(shí)際意義，還原成貼切的生活情境后，再利用對生活情境的理解來理解數(shù)學(xué)知識。因此，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)模型具有雙面性，可以循環(huán)往復(fù)建構(gòu)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)建模;雞兔同籠;信息提煉;歸納概括

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）08-0084-03

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想，可以幫助學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化成直觀的表象，建立經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型，與相關(guān)知識相結(jié)合。當(dāng)學(xué)生接觸相關(guān)知識時，就會不由自主地浮現(xiàn)出與之配對的模型，進(jìn)而通過對模型的直接經(jīng)驗(yàn)來反推數(shù)學(xué)理論，最終掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。數(shù)學(xué)模型思想，就是先將同類數(shù)學(xué)問題歸納概括出其主要特征，再根據(jù)主要特征將解答流程和分析步驟全部設(shè)計成固定程序，形成專門應(yīng)對這類問題的解法。這樣一來，就把問題改建成了模型，凡是結(jié)構(gòu)與原理相似的所有題型都可以運(yùn)用這種方法解決，這一過程我們稱之為數(shù)學(xué)建?！，F(xiàn)以小學(xué)數(shù)學(xué)中的“雞兔同籠”問題為例，談一談如何培養(yǎng)小學(xué)生的建模意識。

一、對比教材，追根溯源

眾所周知，“雞兔同籠”問題的模型是二元一次方程組，這是到中學(xué)才涉獵的內(nèi)容，然而，“雞兔同籠”問題卻編排在小學(xué)教材中。北師大版第九冊“嘗試與猜測”這一章節(jié)中，主要借“雞兔同籠”問題講授列舉法。蘇教版第十一冊僅僅將“雞兔同籠”問題變?yōu)橐坏谰毩?xí)題，借機(jī)傳授“假設(shè)和替換”的解題策略。以上兩版教材都只是將這部分內(nèi)容作為案例或是以練習(xí)的形式編入教材中。人教版第八冊的“數(shù)學(xué)廣角”將“雞兔同籠”問題作為一個獨(dú)立的章節(jié)，教材對問題的來源、基本解法及應(yīng)用范圍解釋得很詳細(xì)。而北京版則分兩次編排，第一次在第八冊，主要介紹圖表法，只是觸及問題的表層，算是小試牛刀，雖然沒有直接推出算式法，但是已經(jīng)做好了足夠的鋪墊和預(yù)設(shè)，算法呼之欲出;第二次安排在第九冊，提出方程思路，讓“雞兔同籠”問題借助方程模型完美詮釋。

追根溯源，“雞兔同籠”問題來源于《孫子算經(jīng)》一書：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這道趣味數(shù)學(xué)題對小學(xué)生來說，是否存在建模的可能？試想，如果在教學(xué)時，我們照本宣科，就題論題，那么學(xué)生的思維將很難得到發(fā)展，學(xué)生也很難掌握“雞兔同籠”問題的精要所在。我們不妨通過問題的來源激發(fā)學(xué)生的興趣，引發(fā)學(xué)生探究的強(qiáng)烈動機(jī)，再揭示課題，最終滲透建模的數(shù)學(xué)思想。

二、分層建模，從“頭”算起

【例題1】一個鐵籠里關(guān)著紅腹錦雞和荷蘭侏儒兔若干只，從上面看有3個頭，從下面看有8條腿，紅腹錦雞有幾只？荷蘭侏儒兔有幾只？

由于題目中的頭數(shù)和腿數(shù)均較少，因此教師可這樣引導(dǎo)：“你們猜測一下，紅腹錦雞和荷蘭侏儒兔各有幾只呀？猜測的依據(jù)是什么？闡述一下自己的依據(jù)?！比缓罅舫龀湓５臅r間讓學(xué)生深入思考。

生：紅腹錦雞有2只，荷蘭侏儒兔有1只。因?yàn)?只紅腹錦雞有2條腿，那么2只紅腹錦雞就有4條腿，還剩4條腿，所以只有1只荷蘭侏儒兔。

【例題2】一個鐵籠里關(guān)著紅腹錦雞和荷蘭侏儒兔若干只，從上面看有6個頭，從下面看有20條腿，紅腹錦雞有幾只？荷蘭侏儒兔有幾只？

此時要求學(xué)生可以猜測推理，可以畫圖推導(dǎo)，也可以列出算式計算，或直接用算術(shù)法。相比例題1，例題2的各項(xiàng)數(shù)據(jù)變大了，可有些學(xué)生還是依賴于猜測推理，以6個頭為前提，從1只紅腹錦雞和5只荷蘭侏儒兔開始推演，不斷調(diào)整雞、兔的數(shù)量，直到腿數(shù)符合要求為止;有的學(xué)生則采取居中原則，將雞、兔的只數(shù)平分，從3只紅腹錦雞和3只荷蘭侏儒兔起算;有的學(xué)生則從1只荷蘭侏儒兔和5只紅腹錦雞開始算，并列出表格（如表1）。

有的學(xué)生直接用畫圖（如下圖）的方法把6個頭都看成是紅腹錦雞的頭，或把6個頭都看成是荷蘭侏儒兔的頭。

這時，教師溝通了列表法和畫圖法之間的聯(lián)系——形式不一，但是內(nèi)涵和原理是一致的，都采用了假設(shè)法。借助學(xué)生的圖示，初步形成解決這類問題的策略，于是教師制訂粗略的解題程序。

（1）將所有的動物全部看成紅腹錦雞或荷蘭侏儒兔，算出虛擬腿數(shù)。

（2）與實(shí)有腿數(shù)比較，算出差額。

（3）根據(jù)腿數(shù)的差額，在頭數(shù)保持不變的前提下，給某幾只動物增減腿數(shù)，使其變成另一種動物。

（4）確定最終數(shù)量，求出紅腹錦雞和荷蘭侏儒兔各幾只。

【例題3】一個鐵籠里關(guān)著紅腹錦雞和荷蘭侏儒兔若干只，從上面看有8個頭，從下面看有26條腿，紅腹錦雞有幾只？荷蘭侏儒兔有幾只？

要求學(xué)生自選方法，獨(dú)立解答。由于學(xué)生已經(jīng)有了列表法和畫圖法作為架子，建立了穩(wěn)固的表象，后有方法溝通建立了統(tǒng)一的認(rèn)識，概括提煉出了假設(shè)的基本思路，因此在解答例題3時，算術(shù)法已經(jīng)呼之欲出，順理成章。此時學(xué)生不僅能列出正確的算式，而且對算理也說得頭頭是道。

生：假設(shè)全是紅腹錦雞，那么腿有8×2=16（條），腿數(shù)相差26-16=10（條），4-2=2（條），荷蘭侏儒兔有 10÷2=5（只），紅腹錦雞有 8-5=3（只）。

教師通過三個層次的逐步推進(jìn)，數(shù)據(jù)由小變大，難度逐漸升級，方法由初級到高級，由直觀到抽象，由列舉推演到邏輯推理，可謂一步步將學(xué)生引入“雞兔同籠”問題的正解中。這個過程體現(xiàn)了循序漸進(jìn)、螺旋式上升的教學(xué)結(jié)構(gòu)，始終保持不變的主線就是“假設(shè)”的主體思路。

三、抽象概括，建立模型

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，抽象概括能力是核心素養(yǎng)之一，是形成方法和制訂步驟的重要保障，也是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)。抽象是從許多同類事物中提取共性，過濾掉非本質(zhì)因素，并加以認(rèn)識的思維活動。在數(shù)學(xué)中，抽象表現(xiàn)為抽取數(shù)量關(guān)系，提煉出幾何性質(zhì)。當(dāng)學(xué)生在頭腦中形成基本的數(shù)量關(guān)系后，教師還需加強(qiáng)引導(dǎo)，幫助學(xué)生厘清數(shù)量關(guān)系。在學(xué)生能初步用假設(shè)法解答“雞兔同籠”問題后，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“雞兔同籠”這類問題的基本特征，以及描摹出數(shù)量關(guān)系的框架。首先是已知兩個未知量的和，以及兩個未知量的不同倍數(shù)和，分別求兩個未知量;其次是揭示解題方法以及原理依據(jù)，即假設(shè)法的設(shè)計思路;最后是帶領(lǐng)學(xué)生深度思索：“哪些問題可以劃歸為‘雞兔同籠問題？”93EE35CE-D1BE-4090-A9D4-1C955D4E12EE

在學(xué)生普遍感到困惑時，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)研究類似的“鱷鴨同游”和“雞豬同行”問題，并發(fā)問：“‘雞兔同籠問題有什么獨(dú)特之處？‘雞兔同籠問題只能是雞兔嗎？”經(jīng)過前后對比分析，學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)：“紅腹錦雞和荷蘭侏儒兔同籠”問題不只是紅腹錦雞、荷蘭侏儒兔同籠的問題，換成其他品種的雞和兔子也行，甚至換成其他動物也行，只要兩種動物一種是兩肢，另一種是四肢即可，如雞豬問題、牛鴨問題。甚至繼續(xù)抽象，只要兩種同屬事物的相同部位存在2和4的配比，都可認(rèn)定為“雞兔同籠”問題，如汽車和自行車的輪子問題。

隨后，繼續(xù)抽象，剝離同種事物的束縛，只抽象出數(shù)據(jù)，甚至2和4的配比都可以更改，如“存錢罐里儲存著5元和2元兩種面值的鈔票，數(shù)一數(shù)一共有8張，合計34元，存錢罐里面值5元和面值2元的鈔票各有多少張？”的題目，探討其與“雞兔同籠”問題的相關(guān)性。

經(jīng)過比較和分析，學(xué)生的思維再次得到提高，有學(xué)生說：“這里面值2元的鈔票就相當(dāng)于紅腹錦雞，而5元的鈔票就相當(dāng)于荷蘭侏儒兔，只不過這只‘兔子長了5條腿?！?/p>

最后，教師讓學(xué)生廣泛聯(lián)系生活，將熟悉的事物編寫成“雞兔同籠”問題，而且是“變異紅腹錦雞與變異荷蘭侏儒兔同籠”的數(shù)學(xué)問題，也就是徹底解除2和4的配比限制。

課堂總結(jié)時，教師向?qū)W生提出問題：“通過對‘雞兔同籠問題的研究，你獲得了哪些啟示？”概括地說，即從某一個問題出發(fā)，先研究解法，然后推廣到所有類似問題，建立基礎(chǔ)模型，最后不斷抽離情境條件，逐漸提煉出數(shù)學(xué)問題。

回顧上述教學(xué)，在對“雞兔同籠”問題的深度思考過程中，盡管每次思考的問題和方法不同，究其本質(zhì)都是逐漸幫助學(xué)生建模的過程。第一層次著眼于單一的“雞兔同籠”問題，主要是激發(fā)學(xué)生的解題動機(jī);第二層次則指向“雞兔同籠”這一類問題的基本結(jié)構(gòu)和解題策略，形成一種初步的數(shù)學(xué)化思維;第三層次是抽象化的“理論模型”建構(gòu)，剝離一切外在情境和非本質(zhì)因素的束縛，建立完全抽象化的數(shù)學(xué)理論模型，其涵蓋面更廣。

四、拓展延伸，助力建模

幫助學(xué)生較為理想地建構(gòu)起基本的數(shù)學(xué)思維模型，以及問題解決的思維模型，是一個極其復(fù)雜的教學(xué)過程，也是一個跨時較長的艱難歷程。故而，在“雞兔同籠”問題的教學(xué)中，教師不僅要做到上述三個層次，更要跳出這三個層次。盡管這個時候?qū)W生已經(jīng)較為系統(tǒng)地抽象出數(shù)學(xué)模型，獲得了一定的解決“雞兔同籠”問題的經(jīng)驗(yàn)，但是教師還得嘗試把這一問題進(jìn)行拓展、延伸，以擴(kuò)充學(xué)生的學(xué)習(xí)容量，給予他們更多的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

1.介紹同類問題的不同現(xiàn)象

首先，利用現(xiàn)代多媒體技術(shù)展示一則數(shù)學(xué)故事，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行閱讀。在閱讀中學(xué)生發(fā)現(xiàn)，中國古老的“雞兔同籠”問題也會漂洋過海，搖身變?yōu)椤端惴ㄍ訂枴分械摹肮放c章魚的故事”。進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生思考：“這是數(shù)學(xué)問題嗎？如果是，那么與‘雞兔同籠問題是一樣的嗎？”

其次，引導(dǎo)學(xué)生探究這個問題，嘗試用已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)思維模型去提煉和研究。學(xué)生將故事提煉為“一群狗與一堆章魚在玩耍，遠(yuǎn)遠(yuǎn)望去，有著15個頭，看看地上，有著88條腿。這里的章魚和狗各有多少只？”，學(xué)生開動腦筋，運(yùn)用前面積累的經(jīng)驗(yàn)和形成的解題模型去研究問題。有的采取畫圖策略，畫出15個圓圈代表頭數(shù)，在每個圓圈下畫上4條豎線，代表4條腿。假設(shè)全是狗，通過計算發(fā)現(xiàn)多出88-4×15=28（條）腿。為什么會多出腿呢？因?yàn)檎卖~有8條腿，這樣學(xué)生就會在部分圖案上再補(bǔ)上4條腿，也就得出章魚的只數(shù)和狗的只數(shù)了。

最后，教師還可以向?qū)W生介紹“龜鶴”問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的學(xué)習(xí)遷移，讓他們?nèi)徱曉搯栴}與前面的“狗與章魚的故事”“雞兔同籠”問題的本質(zhì)聯(lián)系，從而讓學(xué)生在趣味化的學(xué)習(xí)中更好地解決數(shù)學(xué)問題。

2.研究變式問題的基本規(guī)律

除了讓學(xué)生將問題進(jìn)行遷移，教師還得再度拓展問題，以激發(fā)學(xué)生個性化學(xué)習(xí)的動力，讓“雞兔同籠”問題的模型建立得更扎實(shí)、更牢靠。

比如，設(shè)計出這樣一類問題：趙小亮參加科學(xué)知識競賽，一共50道問題，搶答對1題可以得到2分，答錯則要倒扣1分。比賽結(jié)束后，趙小亮得到85分。趙小亮答錯了多少題？在這里需要學(xué)生更進(jìn)一步地閱讀與思考，讓他們深入理解“答錯則要倒扣1分”的本質(zhì)。經(jīng)過自主思考和同伴互動學(xué)習(xí)，學(xué)生在思維交鋒中悟出：倒扣1分，就是在獲得的分?jǐn)?shù)中減去1分，本質(zhì)就是每答錯1題，失去的分?jǐn)?shù)是1+2=3（分），問題的核心堡壘被攻克，解決它就水到渠成了。

綜上所述，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的完整過程，掌握數(shù)學(xué)建模的整套科學(xué)流程。當(dāng)學(xué)生學(xué)會建模之后，他們對待問題的站位會更高，眼光會更開闊，能窺一斑而知全豹。當(dāng)然，這個過程不是一蹴而就的，需要長期積累。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

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[3] 賁友林.課堂學(xué)習(xí)，讓每位學(xué)生都“+1”：《“雞兔同籠”問題》教學(xué)與思考[J].教育視界，2020（23）：21-28.

[4] 陳彩琴.深究雞兔同籠中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，助力思維發(fā)展[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（01）：45-46.

[5] 劉順平.在假設(shè)與轉(zhuǎn)換中解決“雞兔同籠”問題[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)：小學(xué)版，2021（09）：22-23.

（責(zé)編 覃小慧）93EE35CE-D1BE-4090-A9D4-1C955D4E12EE