抓住數(shù)量關(guān)系本質(zhì)　建構(gòu)解決問題模型

周柳娥

[摘 要]從解決數(shù)學(xué)問題的認(rèn)知過程來看，學(xué)生要先在具體的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，再通過模型的建構(gòu)掌握數(shù)量關(guān)系。模型的建構(gòu)是區(qū)分學(xué)生水平的環(huán)節(jié)，教師應(yīng)在教學(xué)稍復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系時(shí)，結(jié)合基本數(shù)量關(guān)系和常見數(shù)量關(guān)系建構(gòu)等量關(guān)系模型，幫助學(xué)生抓住問題本質(zhì)，進(jìn)而建構(gòu)解決問題的模型，提高學(xué)生解決問題的能力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)量關(guān)系;本質(zhì)聯(lián)系;模型結(jié)構(gòu)

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2022）08-0038-04

史寧中教授指出，數(shù)學(xué)的本質(zhì)表現(xiàn)在數(shù)量關(guān)系中。數(shù)量關(guān)系是問題中所敘述的兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)量之間的大小關(guān)系。對(duì)數(shù)量關(guān)系的研究一直是基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，如果教師不注重?cái)?shù)量關(guān)系分析的教學(xué)，學(xué)生解決問題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)無法得到積累，學(xué)生遇到數(shù)量關(guān)系稍復(fù)雜的問題時(shí)也就無從下手。

學(xué)生在解決問題時(shí)，一般經(jīng)歷如圖1所示的認(rèn)知過程。首先，要從呈現(xiàn)的問題或情境中抽象出數(shù)學(xué)問題;接著，通過對(duì)數(shù)學(xué)問題的分析進(jìn)行“模型建構(gòu)”，這個(gè)環(huán)節(jié)是關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，要求學(xué)生能從復(fù)雜的文字條件中抽象出數(shù)量關(guān)系;最后，根據(jù)建構(gòu)的模型獲得結(jié)果，也就是我們通常說的用數(shù)量關(guān)系列式解答。

在該模型中，“模型建構(gòu)”是區(qū)分學(xué)生水平的環(huán)節(jié)，這也說明了數(shù)量關(guān)系在解決問題中的重要地位?！澳Ｐ徒?gòu)”在整個(gè)小學(xué)階段分為三個(gè)層次：第一層要求學(xué)生從加、減、乘、除四種運(yùn)算的意義入手理解基本數(shù)量關(guān)系，學(xué)生對(duì)基本運(yùn)算意義的正確理解，是解決一切復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的根本和基礎(chǔ);第二層要求學(xué)生分析與把握課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的兩個(gè)常見數(shù)量關(guān)系——“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”“速度×?xí)r間=路程”;第三層要求學(xué)生融合基本數(shù)量關(guān)系和常見數(shù)量關(guān)系建構(gòu)稍復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系。

在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生對(duì)基本數(shù)量關(guān)系和常見數(shù)量關(guān)系掌握得較好，但一旦涉及稍復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生就會(huì)出現(xiàn)障礙。如何幫助學(xué)生消除障礙呢？筆者以人教版六年級(jí)上冊第三單元“分?jǐn)?shù)除法解決問題”為例，闡述具體的做法。

一、探尋聯(lián)系，整合教學(xué)

分?jǐn)?shù)除法解決問題共有四個(gè)類型（如表1），前兩個(gè)類型（對(duì)應(yīng)課本第37、38頁內(nèi)容）是分?jǐn)?shù)乘法解決問題類型的逆向問題，它們之間數(shù)量關(guān)系相同，單位“1”不同（已知或未知）。

在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生解決分?jǐn)?shù)除法問題的正確率與解決分?jǐn)?shù)乘法問題的正確率相比，呈現(xiàn)大幅度下滑。然而，解決分?jǐn)?shù)除法問題，學(xué)生只需要根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，借助直觀的線段圖找到數(shù)量關(guān)系，即可列出方程并解方程?；貧w課堂我們發(fā)現(xiàn)，因部分教師的教學(xué)呈點(diǎn)狀結(jié)構(gòu)，故導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺失。學(xué)生缺乏對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析，自然也就沒有抓住解決問題與數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)聯(lián)系。分析教材可知，分?jǐn)?shù)乘法解決問題和分?jǐn)?shù)除法解決問題之間的數(shù)量關(guān)系存在一定的聯(lián)系（如圖2）。

分?jǐn)?shù)乘法解決問題中的“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”是基礎(chǔ)，而“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾的數(shù)是多少”可以轉(zhuǎn)化為“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”;分?jǐn)?shù)除法解決問題中的“已知比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾的數(shù)是多少，求這個(gè)數(shù)”同樣可以轉(zhuǎn)化為“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”，且“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”又是“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的逆向問題。如，爸爸的年齡比爺爺?shù)哪挲g小[25]，以爸爸的年齡為單位“1”可以轉(zhuǎn)化為“爺爺?shù)哪挲g是爸爸年齡的（1+ [23]）”，或以爺爺?shù)哪挲g為單位“1”則可轉(zhuǎn)化為“爸爸的年齡是爺爺年齡的（1- [25]）”。如果再往前追溯，“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少“與“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”也是相關(guān)聯(lián)的（單位“1”相同）。

從學(xué)情來分析，學(xué)生已經(jīng)有根據(jù)等量關(guān)系列方程解決問題的經(jīng)驗(yàn)，即知道從描述兩個(gè)量的關(guān)系入手列出等量關(guān)系。在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法解決問題時(shí)，學(xué)生可以調(diào)用列方程解決問題的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移學(xué)習(xí)，或利用分?jǐn)?shù)乘法解決問題的經(jīng)驗(yàn)來尋找等量關(guān)系。

因此，在教學(xué)分?jǐn)?shù)除法解決問題時(shí)，可以整合“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”和“已知比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾的數(shù)是多少，求這個(gè)數(shù)”這兩個(gè)類型，將教學(xué)的重點(diǎn)放在數(shù)量關(guān)系的分析上，將教學(xué)的難點(diǎn)放在探尋分?jǐn)?shù)乘除法解決問題的數(shù)量關(guān)系上。在整合時(shí)，教師要依托數(shù)學(xué)問題解決建構(gòu)認(rèn)知模型，通過分析關(guān)鍵信息、設(shè)計(jì)題組，引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)比中抓住數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)聯(lián)系。

二、結(jié)合情境，抽象問題

在解決問題的教學(xué)中，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)信息，并提出數(shù)學(xué)問題是形成數(shù)學(xué)思考、解決數(shù)學(xué)問題的重要前提。分?jǐn)?shù)除法解決問題的數(shù)量關(guān)系是復(fù)合的數(shù)量關(guān)系，關(guān)鍵是要尋找到其中的等量關(guān)系。

1.理解情境

師：學(xué)校的課后服務(wù)課程豐富多彩，今天我們走進(jìn)苗苗合唱團(tuán)去看一看。（出示圖3）合唱團(tuán)里既有女生又有男生，線段圖描述了男、女生人數(shù)之間的關(guān)系，是一種什么關(guān)系呢？請你選擇喜歡的方式表示它們之間的關(guān)系（可以用文字、等量關(guān)系式等）。

生1：從圖中我知道男生人數(shù)比女生少[2/3]。

師：你從哪里看出男生人數(shù)比女生少[2/3]？

生1：可以將女生人數(shù)看作單位“1”，虛線部分表示男生人數(shù)比女生少[2/3]。

生2：我用等量關(guān)系來表示男、女生人數(shù)的關(guān)系，女生人數(shù)×（1- [2/3]）=男生人數(shù)。

生3：我也是用等量關(guān)系來表示的，女生人數(shù)-女生人數(shù)×[2/3] =男生人數(shù)。

生4：我發(fā)現(xiàn)，男生人數(shù)是女生的[1/3]。

【解讀】教師結(jié)合學(xué)校的課后服務(wù)課程情境，用線段圖直觀呈現(xiàn)了合唱團(tuán)男、女生人數(shù)的關(guān)系，再引導(dǎo)學(xué)生觀察圖意，根據(jù)線段圖提取數(shù)學(xué)信息，并用不同的方式來表達(dá)他們之間的等量關(guān)系，即“男生人數(shù)比女生少[2/3]”或“女生人數(shù)×（1- [2/3]）=男生人數(shù)”，初步建構(gòu)了等量關(guān)系的模型，為后面交流分?jǐn)?shù)乘除法解決問題做好鋪墊。

2.抽象問題

上述片段中，學(xué)生只從情境中提取了合唱團(tuán)男、女生人數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)信息，沒有形成完整的問題。為了幫助學(xué)生固化問題的模型，教師可以給予學(xué)生空間，由學(xué)生來構(gòu)建分?jǐn)?shù)乘除法解決問題的模型。

師：從線段圖中可以看出男、女生人數(shù)之間的關(guān)系。如果將“男生人數(shù)比女生少[2/3]”當(dāng)作一條信息，你可以提出什么數(shù)學(xué)問題？

生5：信息不全無法提出問題，至少要有兩條信息才行。

師：是呀，還缺少一條信息。老師為大家提供了兩條信息（如圖4），請你先從中選擇一條信息，再提出一個(gè)問題，并在線段圖中補(bǔ)充題目的信息和問題，最后解答。（學(xué)生獨(dú)立完成）

師：你選擇了哪條信息？提出的問題是什么？

生6：我選擇的信息是“女生有36人”，提出的問題是“男生有多少人”，即女生有36人，男生人數(shù)比女生少[2/3]，男生有多少人？

生7：我選擇的信息是“男生有12人”，提出的問題是“女生有多少人”，即男生有12人，男生人數(shù)比女生少[2/3]，女生有多少人？

【解讀】僅有“男生人數(shù)比女生少[2/3]”這條信息，不能形成一個(gè)完整的問題，讓學(xué)生在提供的兩條信息中選擇一條，再提出問題，不僅培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，而且在學(xué)生的頭腦中構(gòu)建了生活問題的模型。在學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生如果從數(shù)學(xué)的角度收集了數(shù)學(xué)信息，并發(fā)現(xiàn)或提出了數(shù)學(xué)問題，那么他們就會(huì)產(chǎn)生探索的欲望。

三、類比梳理，呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)

在教學(xué)中，教師精心設(shè)計(jì)有效的題組，就好比為學(xué)生搭建了一個(gè)梯子，讓他們沿著臺(tái)階一步一步地往上走，自主地完成知識(shí)的建構(gòu)。當(dāng)學(xué)生提出的問題形成了一個(gè)“題組”，而“題組”內(nèi)的問題之間存在一定的聯(lián)系，一旦有知識(shí)的遷移應(yīng)用，就能為一個(gè)知識(shí)系統(tǒng)的形成起到促進(jìn)的作用。此時(shí)，教師要抓住時(shí)機(jī)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比。

師：前面同學(xué)們提出的兩個(gè)問題中，哪個(gè)是我們學(xué)過的，哪個(gè)是沒有學(xué)過的呢？

生8：生6提出的問題是我們學(xué)過的分?jǐn)?shù)乘法解決問題，生7提出的問題是沒有學(xué)過的。

師：誰來解答這兩個(gè)問題？

生9：生6提出的問題我這樣解答——將女生人數(shù)看作單位“1”，在表示女生人數(shù)的線段上標(biāo)36人，在表示男生人數(shù)的線段上標(biāo)問號(hào)（如圖5）。根據(jù)前面我們得到的等量關(guān)系“女生人數(shù)×（1- [2/3]）= 男生人數(shù)”，列式為36×（1- [2/3]）= 12（人）。

師：生7提出的問題大家會(huì)解答嗎？誰來分析并解答？

生10 ：將女生人數(shù)看作單位“1”，已知男生有12人，在表示男生人數(shù)的線段上標(biāo)12人，在表示女生人數(shù)的線段上標(biāo)未知數(shù)x（如圖6）。根據(jù)前面我們得到的等量關(guān)系“女生人數(shù)×（1- [2/3]）=男生人數(shù)”，可以列方程x×（1- [2/3]）= 12，解方程得x= 36。

師：觀察比較這兩個(gè)問題，它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？小組交流一下，看看大家發(fā)現(xiàn)了什么？

生11：兩個(gè)問題的等量關(guān)系是相同的，一個(gè)是已知單位“1”，可以通過等量關(guān)系列乘法算式即可解決問題;另一個(gè)單位“1”未知，但通過等量關(guān)系列出方程也可解決問題。

【解讀】解決問題的過程就是一個(gè)不斷建模的過程，學(xué)生在觀察比較、討論交流中，把相似、相近的問題區(qū)別開來，找出它們的差異，從而加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解。分?jǐn)?shù)乘除法解決問題在本質(zhì)上是相同的，表現(xiàn)為：①在分析關(guān)鍵信息（描述兩個(gè)量關(guān)系的信息）的基礎(chǔ)上，提煉出等量關(guān)系;②無論是分?jǐn)?shù)乘法還是分?jǐn)?shù)除法解決問題，它們的等量關(guān)系都是相同的。利用新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，探尋“相同”與“不同”之處，豐富學(xué)生的認(rèn)知。

四、勾連發(fā)展，建構(gòu)模型

“解決問題”的教學(xué)目標(biāo)不是為了學(xué)生能解決某一道題，而是幫助學(xué)生建構(gòu)解決某一類題的模型。將問題“已知比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾的數(shù)是多少，求這個(gè)數(shù)”的解決作為分?jǐn)?shù)除法解決問題的引入，在學(xué)生掌握解決問題的方法后，引導(dǎo)學(xué)生將這類問題與其他問題進(jìn)行勾連，從而建構(gòu)出解一類題的模型。

師：通過觀察線段圖，同學(xué)們不僅得出“男生人數(shù)比女生少[2/3]”，還知道“男生人數(shù)是女生的[1/3]”，這個(gè)關(guān)系怎么理解呢？

生12：從線段圖中可以看出，如果將女生人數(shù)看作單位“1”，表示男生人數(shù)的線段正好占女生人數(shù)線段的[1/3]。

師：還可以表示什么意思？你是怎么想的？

生13：如果將男生人數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，我們還可以看出“女生人數(shù)是男生的3倍”。

師：同學(xué)們太棒了，從線段圖中看出了男、女生人數(shù)之間不同的等量關(guān)系。如果我們將前面兩個(gè)問題中的“男生人數(shù)比女生少[2/3]”這條信息替換成“男生人數(shù)是女生的[1/3]”或“女生人數(shù)是男生的3倍”，可以得到哪些問題？（出示題組）

（1）女生有36人，男生人數(shù)是女生的[1/3]，男生有多少人？

（2）男生有12人，男生人數(shù)是女生的[1/3]，女生有多少人？

（3）女生有36人，女生人數(shù)是男生的3倍，男生有多少人？

（4）男生有12人，女生人數(shù)是男生的3倍，女生有多少人？

師：這個(gè)題組你會(huì)解答嗎？（學(xué)生獨(dú)立完成）

師：通過關(guān)鍵信息的變換，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

生14：雖然關(guān)鍵信息變換了，但是依然可以從關(guān)鍵信息中尋找兩個(gè)量之間的關(guān)系并列出等量關(guān)系式，再根據(jù)單位“1”是否已知來判斷是用算術(shù)法解答還是列方程解答。

師：無論是分?jǐn)?shù)乘法還是分?jǐn)?shù)除法解決問題，我們都需要先找出描述兩個(gè)量關(guān)系的信息，分析等量關(guān)系后再選擇合適的方法解答，如它們之間可以轉(zhuǎn)化為“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的類型，再往前追溯就是“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”的類型。

【解讀】倍數(shù)和分?jǐn)?shù)的問題解決之間既有變化又蘊(yùn)含著不變和聯(lián)系，用男生人數(shù)比女生少[23]“還可以表示什么意思？”的問題，引導(dǎo)學(xué)生通過類推發(fā)現(xiàn)，由“一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)少幾分之幾”到“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”，再到“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”，雖然條件變了，但是男、女生人數(shù)的等量關(guān)系沒變，它們是可以互相轉(zhuǎn)化的。這既能幫助學(xué)生提煉方法，豐富知識(shí)間的聯(lián)系，也能讓學(xué)生把握各知識(shí)間相互聯(lián)系的本質(zhì)，重建認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

五、分層練習(xí)，遷移結(jié)構(gòu)

練習(xí)是加深知識(shí)理解、熟練和鞏固答題技巧的環(huán)節(jié)。在設(shè)計(jì)練習(xí)時(shí)，不能局限在低階思維層次，而應(yīng)該適當(dāng)融入高階思維層次，滿足不同學(xué)生的需求，提升習(xí)題訓(xùn)練的邊際效益。

1.先畫出線段圖列出等量關(guān)系式，再解答。

（1）小明重多少千克？

（2）小明的體重是35 kg，他的體重比爸爸的體重輕[8/15]，小明爸爸的體重是多少千克？

2.下圖表示課后服務(wù)課程中跳繩社團(tuán)和合唱社團(tuán)的人數(shù)之間的關(guān)系。

（1）以下哪些選項(xiàng)的表述是正確的。

A.跳繩社團(tuán)的人數(shù)比合唱社團(tuán)的人數(shù)多[1/4]

B. 跳繩社團(tuán)的人數(shù)比合唱社團(tuán)的人數(shù)多[1/5]

C. 跳繩社團(tuán)的人數(shù)是合唱社團(tuán)人數(shù)的[5/4]

（2）從（1）中選一個(gè)正確信息，將下題補(bǔ)充完整（把序號(hào)填在橫線上）并解答。

跳繩社團(tuán)有60人，______，合唱社團(tuán)有多少人？

3.你能根據(jù)等量關(guān)系“演講社團(tuán)的人數(shù)×[3/7]= 繪畫社團(tuán)的人數(shù)”編幾個(gè)不同的問題嗎？（引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度補(bǔ)充信息并提出問題）

【解讀】第1題是利用教材中的例題設(shè)置的，屬于基礎(chǔ)題;第2題則是類比題，再次溝通分?jǐn)?shù)乘除法解決問題之間的關(guān)系，固化等量關(guān)系的聯(lián)系;第3題屬于拓展題，強(qiáng)化學(xué)生建構(gòu)數(shù)量關(guān)系的模型，有助于發(fā)揮學(xué)生的潛能。在層層挖掘知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，采用不同的形式設(shè)計(jì)不同層次的練習(xí)，這樣的題組促使學(xué)生在循序漸進(jìn)中不斷突破自己，讓學(xué)習(xí)能力得到發(fā)展。

綜上所述，在分?jǐn)?shù)乘除法解決問題的教學(xué)中，教師應(yīng)分析教材的結(jié)構(gòu)，尋找知識(shí)之間的聯(lián)系，抓住數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)，溯本求源。同時(shí)，要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際實(shí)施教學(xué)，幫助學(xué)生建構(gòu)模型，引領(lǐng)學(xué)生一起經(jīng)歷知識(shí)“新”的生長點(diǎn)，落實(shí)應(yīng)用意識(shí)，促進(jìn)課堂內(nèi)涵的發(fā)展，使課堂呈現(xiàn)更亮麗的“風(fēng)景線”。

（責(zé)編 李琪琦）