初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)題型探究

李慶中

【摘要】函數(shù)是數(shù)學(xué)當(dāng)中非常重要的內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)中難度最大的知識(shí)點(diǎn)之一，很多學(xué)生在遇到函數(shù)類(lèi)型的題型時(shí)，都會(huì)產(chǎn)生一種緊張感，從而導(dǎo)致學(xué)生在思考時(shí)出現(xiàn)失誤，進(jìn)而影響到了學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量.在初中階段，主要是對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行研究，二次函數(shù)也可以延伸出一元二次方程的解、實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)等題型，這種類(lèi)型的題目具有較高的抽象性，教師在教學(xué)時(shí)要結(jié)合具體的例題去教學(xué)，并對(duì)問(wèn)題的解析進(jìn)行探究.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù);做題能力;初中數(shù)學(xué)

1 一元二次方程的解法

一元二次方程的難度一般都較低，學(xué)生在這種例題的計(jì)算中有著三種做題的方法，分別是：配方法、公式法、因式分解法.公式法具有固定的做題套路，利用求根公式就可解出最終答案，求根公式為：x=-b± b2-4ac2a，將所對(duì)應(yīng)的系數(shù)代入即可.而配方法和因式分解法在運(yùn)用時(shí)則需要進(jìn)行必要的推導(dǎo)，但是計(jì)算的難度會(huì)相應(yīng)地降低.這三種方法學(xué)生要根據(jù)問(wèn)題進(jìn)行分析，使用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行解題.[1]

例1試用三種方法求解一元二次方程的根：x2+6x+8=0.

分析 一元二次方程的求解方法一共有三種，分別是配方法、公式法和因式分解法，在應(yīng)用時(shí)這幾種方法都可以正確的求出答案，在課堂練習(xí)時(shí)，要盡可能地鍛煉自身計(jì)算能力，所以，引導(dǎo)學(xué)生依次使用三種方法進(jìn)行計(jì)算.

解 ①配方法：原式轉(zhuǎn)換為：x2+6x=-8，

兩邊同時(shí)加9，得x2+6x+9=-8+9，

等號(hào)左邊化簡(jiǎn)（x+3）2=1，

開(kāi)方得x+3=±1，

解一元一次方程得x1=-2，x2=-4.

②公式法：利用求根公式

x=-b± b2-4ac2a，

將系數(shù)代入得：x=-b± b2-4ac2a=

-6± 62-4×1×82×1=-6±22，

從而得到x1=-2，x2=-4.

③因式分解法：根據(jù)十字相乘，原式可變?yōu)椋?/p>

（x+2）（x+4）=0，

即x+2=0或x+4=0，

從而得到x1=-2，x2=-4.

2 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程

實(shí)際生活與數(shù)學(xué)之間存在著密不可分的聯(lián)系，對(duì)于一元二次方程來(lái)說(shuō)，它可以作為反映某些實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，在做題中通過(guò)列出適當(dāng)?shù)姆匠倘ミM(jìn)行求解，做題的思路是先對(duì)未知數(shù)進(jìn)行假設(shè)，然后根據(jù)題意去列出一個(gè)等式，進(jìn)而去求出最終答案.在教學(xué)時(shí)教師同樣需要借助實(shí)際例題進(jìn)行分析.

例2 有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121個(gè)人患了流感，問(wèn)：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？

分析 這種問(wèn)題一般都需要設(shè)未知數(shù)，然后根據(jù)題目?jī)?nèi)容去列出一個(gè)等式，最后再求解即可.在本題中，首先需要設(shè)每輪平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，然后根據(jù)題意可以發(fā)現(xiàn)一共有兩輪傳染，第一個(gè)人傳染了x個(gè)人，第二輪就是這（x+1）個(gè)人傳染其他人，最終感染人數(shù)為121人，因此就存在一個(gè)等式，從而進(jìn)行計(jì)算和求解.

解 根據(jù)題意：設(shè)每輪平均一個(gè)人傳染x人，

第一輪：第一個(gè)人傳染了x人，共有（x+1）人，

第二輪：一共有（x+1）人，所以第二輪會(huì)傳染（x+1）x人，

因此可以列出等式為：1+x+（x+1）x=121，

化簡(jiǎn)得x2+2x-120=0，

根據(jù)因式分解法，原式轉(zhuǎn)化為（x-10）（x+12）=0，

從而求解出x1=10x2=-12，又因?yàn)閤這個(gè)未知量代表人的數(shù)量，

所以x>0，即x2=-12舍去.

綜上所述，平均一個(gè)人傳染10個(gè)人.

3 列二次函數(shù)解析式題型

二次函數(shù)在出題時(shí)難度并不統(tǒng)一，像本專(zhuān)題中列出二次函數(shù)解析式的題型來(lái)說(shuō)，一般情況下這一類(lèi)型的題型難度較低，學(xué)生只需要去考慮題干內(nèi)容的條件，再根據(jù)問(wèn)題與題干當(dāng)中的聯(lián)系性，結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行思考即可.因此，在教學(xué)時(shí)，教師就可以在實(shí)際例題的引入下進(jìn)行教學(xué)，幫助學(xué)生逐漸地?fù)碛羞@類(lèi)題型的思考過(guò)程.

例3 如圖1，直角梯形ABCD，AB∥DC，BC⊥CD，其中AB，AD是已有的墻，∠BAD=135°，另外兩邊BC與CD的長(zhǎng)度之和為30米，如果梯形的高BC為變量x米，梯形的面積為y平方米，則y與x 的關(guān)系式為.

分析 這道題就是單純求解析式，所以，學(xué)生只需將自變量和因變量找到，再借助圖象中的條件進(jìn)行綜合性分析即可.本題中是以梯形面積為因變量，因此，學(xué)生只需要根據(jù)梯形面積計(jì)算公式進(jìn)行列式即可，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)和轉(zhuǎn)化，最終得到二次函數(shù)的解析式.

解 作AE⊥CD于點(diǎn)E，則有因?yàn)椤螧AD=135°，則∠ADC=45°，

所以BC=AE=ED.

又因?yàn)锽C+CE+ED=30，則AB=30-2x，CD=30-x，

故y=12（AB+CD）·BC=12[（30-2x）+（30-x）]·x.

所以y=-32x2+30x（0

4 實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)

二次函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題這一類(lèi)的題型，出題時(shí)因?yàn)榫哂幸恍┳兓?，所以要考慮的問(wèn)題就比較多，這也就增加了知識(shí)點(diǎn)的抽象性，從而使學(xué)生在思考時(shí)遇到了問(wèn)題.因此，在教學(xué)時(shí)，教師需要對(duì)分析問(wèn)題的過(guò)程、列二次函數(shù)的思路進(jìn)行統(tǒng)一的整理，能夠帶領(lǐng)學(xué)生逐漸地培養(yǎng)這類(lèi)題型的做題思維，從而逐漸地攻克學(xué)習(xí)難關(guān)，促進(jìn)學(xué)習(xí)質(zhì)量的提高，促進(jìn)學(xué)生的核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

例4 某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣(mài)出300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：在此基礎(chǔ)上，每漲價(jià)一元，每星期要少賣(mài)出10件，每降價(jià)一元，每星期可多賣(mài)出20件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？

分析 對(duì)于二次函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題來(lái)說(shuō)，首先就需要將自變量和因變量找到，本題中可以得到自變量為漲價(jià)和降價(jià)，因變量是商品的利潤(rùn)，所以根據(jù)題意就可以列出一個(gè)二次函數(shù)解析式.接下來(lái)就是對(duì)漲價(jià)和降價(jià)進(jìn)行分開(kāi)討論，最后進(jìn)行對(duì)比即可.

解 ①設(shè)漲價(jià)x元，利潤(rùn)為y，

則根據(jù)題意可列出函數(shù)解析式為：y=（60-40+x）（300-10x），

化簡(jiǎn)得y=（60-40+x）（300-10x）

=-10x2+100x+6000

=-10（x-5）2+6250.

因此，根據(jù)二次函數(shù)的幾何性質(zhì)，得：

當(dāng)x=5時(shí)，y有最大值6250.

所以定價(jià)為60+5=65元時(shí)，利潤(rùn)最大.

②設(shè)每件降價(jià)a元，總利潤(rùn)為w，

則可列出函數(shù)解析式為：

w=（60-40-a）（300+20a），

化簡(jiǎn)得w=（60-40-a）（300+20a）

=-20a2+100a+6000

=-20（a-2.5）2+6125.

因此，根據(jù)二次函數(shù)的幾何性質(zhì)，得：

當(dāng)a=2.5時(shí)，w有最大值6125，

所以定價(jià)為57.5元時(shí)，利潤(rùn)最大.

綜上所述，每件定價(jià)65元時(shí)，利潤(rùn)達(dá)到最大.

總之，數(shù)學(xué)相對(duì)于其他學(xué)科的難度較大，在知識(shí)點(diǎn)的理解和學(xué)習(xí)上都會(huì)有困難，而做題則是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必不可少的過(guò)程，在教學(xué)時(shí)，教師要盡可能的結(jié)合實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題，帶領(lǐng)學(xué)生逐一分析思考，對(duì)例題的做題思路進(jìn)行討論，幫助學(xué)生去明確做題的思考方向，從而培養(yǎng)學(xué)生高效的做題能力.對(duì)于二次函數(shù)的解題探究來(lái)說(shuō)，本文就一元二次方程的解法、列二次函數(shù)解析式、實(shí)際問(wèn)題等題型進(jìn)行綜合性的分析.