巧借輔助圓簡(jiǎn)化初中數(shù)學(xué)解題

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【摘要】在初中數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中存在很多的幾何論證型題目，這些題目難以以常規(guī)思路解決.因此我們需要借助圓所具有的特征，結(jié)合題目的具體情況加以論證和解答.本文簡(jiǎn)單介紹了幾種巧解輔助圓簡(jiǎn)化初中數(shù)學(xué)解題的思路，希望能給學(xué)生帶來(lái)啟示.

【關(guān)鍵詞】輔助圓;幾何解題;初中數(shù)學(xué)

1 利用圓周角定理構(gòu)建輔助圓

通過(guò)對(duì)圓周角性質(zhì)的學(xué)習(xí)，我們可以知道圓周角具備多重性質(zhì)，包括圓周角定理：圓內(nèi)相同一段弧或弧長(zhǎng)相等的兩道弧所對(duì)的圓周角等于其所對(duì)圓心角的一半.在遇到一些使用一般的幾何方法難以解決的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可以開(kāi)闊思維習(xí)慣，利用圓周角定理和其各項(xiàng)引申定理進(jìn)行輔助圓構(gòu)造，從而發(fā)現(xiàn)隱藏條件解決幾何問(wèn)題.

例1 如圖1，已知H是△ABC三條高的交點(diǎn)，連接DF、 DE、EF，求證：H是△DEF的內(nèi)心.

分析 分別由B、D、H、F，C、D、H、E四點(diǎn)共圓，得∠FBH=∠FDH=∠ECH=∠EOH，DH為∠FDE的平分線.

證明 在四邊形BDHF中，因?yàn)椤螧DH=∠BFH=90°，故B、D、H、F四點(diǎn)共圓，所以∠DFH=∠DBH，同理，A、F、H、E四點(diǎn)共圓.

所以∠HFE=∠HAE，

因?yàn)椤螪BH和∠HAE都與∠ACB互為余角，所以∠DBH=∠HAE，即：∠DFH=∠HFE，

同理可證得：∠FEH=∠HED，

所以，點(diǎn)H是△DEF內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，因此，H是△DEF的內(nèi)心.

題后反思 分析本題要求可以發(fā)現(xiàn)，如果用常規(guī)思路求解證明原結(jié)論較為困難.因此，我們可以通過(guò)構(gòu)建輔助圓的形式，利用圓周角定理和三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)證明原結(jié)論.

2 利用圓的內(nèi)外角和圓周角的關(guān)系構(gòu)建輔助圓

圓內(nèi)角指一個(gè)頂點(diǎn)在圓內(nèi)，其兩邊與圓均相交的角，同理，圓外角是指一個(gè)頂點(diǎn)在圓外，其兩邊都與圓相交的角.圓內(nèi)角與圓外角都較易與圓周角構(gòu)建數(shù)量關(guān)系，因此在實(shí)際解題過(guò)程中，我們要善于構(gòu)建輔助圓，并找到圓的內(nèi)外角與圓周角之間的聯(lián)系，以此找到解題突破口.

例2 如下圖2，點(diǎn)P在⊙O內(nèi)時(shí)，∠APB是AB所對(duì)的一個(gè)圓內(nèi)角，延長(zhǎng)AP交⊙O于點(diǎn)C，延長(zhǎng)BP交⊙O于點(diǎn)D，若設(shè)∠AOB=m°，CD所對(duì)的圓心角為n°，則∠APB= .

分析 ∠ADB=12∠AOB=12m°，由

∠PAD=12∠COD=n2°，

∠APB為△ADP的外角，即可求解.

解答 如上圖3，連接AD，OC，OD.

因?yàn)椤螦DB是AB所對(duì)的圓周角，

且∠AOB=m°，

所以∠ADB=12∠AOB=12m°.

因?yàn)椤螩OD=n°，

所以∠PAD=12∠COD=12×n°=12n°，

因?yàn)椤螦PB為△ADP的外角，

所以∠APB=∠ADB+∠PAD

=12（m°+n°）.

故答案為12（m°+n°）.

題后反思 本題為圓的綜合題，主要考查了外角定理、圓心角和圓周角的關(guān)系，這種探究類(lèi)的題目，通常按照?qǐng)A的內(nèi)外角與圓周角的關(guān)系求解，難度不大，但需要學(xué)生準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)題目中的隱藏條件和關(guān)系.

3 利用弦切角定理構(gòu)建輔助圓

弦切角定理是圓中應(yīng)用的較為廣泛的定理，它指出弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)，也等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半.對(duì)于有些難以用常規(guī)方法解決的幾何數(shù)量型題目，我們可以利用弦切角定理通過(guò)構(gòu)建輔助圓的形式解決實(shí)際問(wèn)題.

例3 如圖4，CF是的直徑，CB是⊙O的弦，CB的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)F的⊙O的切線交于點(diǎn)P.

（1）如圖①，若∠P=45°，PF= 10，求⊙O的半徑長(zhǎng);

（2）如圖②，若E是BC上的一點(diǎn)，且滿足PE2=PB·PC，連接FE，并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)A，求證：點(diǎn)A是弧BC的中點(diǎn).

分析 對(duì)于（1），可由切線的性質(zhì)定理知△PCF是等腰直角三角形，因此求出CF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出半徑;對(duì)于（2），利用弦切角定理，可以求出兩個(gè)三角形中有一組角對(duì)應(yīng)相等，然后利用相似三角形的判定及性質(zhì)，可證出AC與AB所對(duì)的圓周角相等，從而證出點(diǎn)A是弧BC的中點(diǎn).

解答 （1）因?yàn)镻F是⊙O的切線，CF是直徑，故△PCF是直角三角形.

又因?yàn)椤螾=45°即PF=CF.設(shè)圓O的半徑為r，則2r=PF=10，解之r=5，故圓O的半徑為5.

（2）證明：如圖5，連接FB.因?yàn)镕P是圓O的切線，故∠PFB=∠FCB.

又∠P=∠P，則△PBF與△PFC相似.故PFPB=PCPF，即PF2 =PB·PC;

又因?yàn)?，PE2=PB·PC，即PF2=PE2，

故PF=PE，即∠EFP=∠FEP.

因?yàn)椤螮FB=∠EFP-∠BFP，

∠CFE=∠FEP-∠FCB，

即∠EFB=∠CFE.

故點(diǎn)A為弧BC的中點(diǎn).

題后反思本題主要考查了弦切角定理地綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理.是一道綜合性較強(qiáng)的幾何題，學(xué)生需要具備較強(qiáng)的知識(shí)遷移能力.

總的來(lái)說(shuō)，在幾何問(wèn)題的解決過(guò)程中，我們可以巧借輔助圓以應(yīng)對(duì)解決一些條件較為隱晦、難以用常規(guī)思路解決的綜合性問(wèn)題.在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)將自己的解題思路打開(kāi)，靈活遷移各個(gè)章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)，優(yōu)化解題思路，掌握更多的解題方法，提高自己的解題能力.