高職院校中高等數(shù)學(xué)競賽的指導(dǎo)

[摘? ? ? ? ? ?要]? 針對高職學(xué)生的高等數(shù)學(xué)競賽可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。為了在有限時(shí)間內(nèi)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，需要對數(shù)學(xué)競賽解題的一般規(guī)律進(jìn)行總結(jié)。以極限為例，對歷年試題中的極限相關(guān)試題進(jìn)行總結(jié)，歸納出一般性的結(jié)論，讓學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)得到最大限度的提高，對高職院校高等數(shù)學(xué)競賽的輔導(dǎo)者和參賽者有一定的借鑒意義。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 高職院校;高等數(shù)學(xué);競賽;極限

[中圖分類號]? G712? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2022）30-0109-03

一、引言

高等數(shù)學(xué)作為一門重要的公共基礎(chǔ)課，能夠指導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識客觀規(guī)律，解決實(shí)際問題，對培育學(xué)生的科學(xué)精神、創(chuàng)新精神，提高學(xué)生的邏輯思維能力有重要的意義[1]?，F(xiàn)代意義上的數(shù)學(xué)競賽起源于匈牙利，是一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)人才的形式，但是針對高職院校學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽更側(cè)重于促進(jìn)高等數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)。近幾年，我校每年報(bào)名參加江蘇省高等數(shù)學(xué)競賽的人數(shù)逐年上升，報(bào)名人數(shù)從最初的個位數(shù)到現(xiàn)在的200人以上。經(jīng)過問卷調(diào)查，報(bào)名參賽的學(xué)生超過50%是剛?cè)雽W(xué)的一年級新生，具有良好的高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，參加高等數(shù)學(xué)競賽熱情較高，但是缺少有效的指導(dǎo)。

為了提高參加競賽學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，教師會利用學(xué)生有限的課余時(shí)間對學(xué)生進(jìn)行輔導(dǎo)。為了增強(qiáng)競賽輔導(dǎo)的針對性，需要教師對江蘇省歷年競賽試題進(jìn)行研究，把握試題的類型、解題技巧及難度層次，讓學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)得到高效提升。因此本文以極限為例，對歷年競賽試題進(jìn)行整理歸納，總結(jié)出一般性的方法，希望對高等數(shù)學(xué)競賽的輔導(dǎo)者和參賽者有一定的借鑒意義。

二、歷年極限試題的分類探討

極限是微積分的核心思想，掌握常用的求極限方法是學(xué)好微積分的關(guān)鍵。分析歷年高等數(shù)學(xué)競賽試題可知，常用求極限的方法有：數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則法、去零因子法、等價(jià)無窮小替換法、L′Hospital法則、導(dǎo)數(shù)定義法、泰勒公式等。下面以歷年的競賽試題為例對常用的求極限方法及極限方法的相關(guān)應(yīng)用進(jìn)行說明。

（一）數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則

數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則法是求解數(shù)列極限的一種重要方法，其核心思想是放縮，將無法求出表達(dá)式的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為可求和的數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列極限，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的技巧性和實(shí)用性，是近幾年考查的熱點(diǎn)，首先給出數(shù)列極限夾逼準(zhǔn)則的定義：

（二）無窮小的比較

小結(jié)：此類習(xí)題，要求參賽者對同階無窮小、低階無窮小、高階無窮小、等價(jià)無窮小的概念能熟練運(yùn)用，在一些極限中函數(shù)的形式較為復(fù)雜，此時(shí)運(yùn)用等價(jià)無窮小替換可使問題簡單化，但在求極限的過程中需注意只有整個式子中的乘除因子才可用等價(jià)無窮小替換，當(dāng)被代換的量作為加減的元素時(shí)就不可以使用，或者被代換的量在取極限的時(shí)候極限值不為0時(shí)候也不能用等價(jià)無窮小替換。

（三）L′Hospital法則求極限

L′Hospital法則求函數(shù)極限方法一直倍受歡迎，此方法使用起來較方便，可以解決大多數(shù)極限問題，常與等價(jià)無窮小替換法結(jié)合起來考查，以下給出L′Hospital法則的定義：

（四）綜合分析

高等數(shù)學(xué)競賽重點(diǎn)考查的是學(xué)生對知識理解的深入程度和對知識歸納運(yùn)用的程度，輔導(dǎo)者在加強(qiáng)對學(xué)生基本知識和基本概念訓(xùn)練的同時(shí)，更要注重培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，可通過一些綜合性的習(xí)題培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用基本知識解決問題的能力，例如極限中也常出現(xiàn)涉及知識點(diǎn)較多的習(xí)題。

小結(jié)：有些試題參賽者覺得無從下筆，通過例7和例8分析可見，每一道看似復(fù)雜的難題只是不再單一考查一個知識點(diǎn)，此時(shí)需要參賽者對知識點(diǎn)拿捏得很準(zhǔn)，不同的問題根據(jù)條件和形式一環(huán)扣一環(huán)地分析，邊做邊寫邊判斷，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要在練習(xí)中才能得到較快的提升。

（五）極限的相關(guān)應(yīng)用

以上極限的求法也經(jīng)常運(yùn)用于判斷函數(shù)的連續(xù)性及函數(shù)間斷點(diǎn)的類型，這里給出連續(xù)函數(shù)及間斷點(diǎn)的定義[2]：

小結(jié)：連續(xù)與間斷是極限的延伸，近幾年考查主要是以間斷點(diǎn)類型的判斷為主，要求參賽者對幾種間斷點(diǎn)的概念進(jìn)行區(qū)別與理解，且在判斷的過程中要對幾種求極限的方法都加以掌握。

三、結(jié)語

通過以上五種問題的探索分析，針對不同的極限題選取恰當(dāng)?shù)姆椒?，但是每種方法不能孤立開來看，需要參賽者對知識點(diǎn)能融會貫通。極限的問題雖在試卷中位于基礎(chǔ)題部分，但存在很多技巧，在以上幾種題型的探究過程中也發(fā)現(xiàn)歷年真題有很多相似之處，大同小異。所以，參賽者在備賽過程中要學(xué)會抓住真題，多揣摩，多加練習(xí)與總結(jié)，才可以靈活地應(yīng)對競賽中的極限題[4]，輔導(dǎo)者在指導(dǎo)的過程中要加強(qiáng)學(xué)生基本知識和基本技巧的訓(xùn)練，使學(xué)生通過參加數(shù)學(xué)競賽對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)邁入一個新的臺階[5]。

參考文獻(xiàn)：

[1]張?jiān)?淺析高職高專數(shù)學(xué)競賽對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)[J].教育與職業(yè)，2013（20）：175-176.

[2]張瑜.高等數(shù)學(xué)競賽教程[M].蘇州：蘇州大學(xué)出版社，2009.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.數(shù)學(xué)分析（上冊）[M].5版.北京：高等教育出版社，2019.

[4]王罡.高職院校參加高等數(shù)學(xué)競賽的相關(guān)策劃[J].高教學(xué)刊，2016（22）：236-237.

[5]付向南.高等數(shù)學(xué)競賽試題分析[J].山東工業(yè)技術(shù)，2017（18）：264.

作者簡介：梅玲玲（1991—），女，漢族，江蘇如東人，碩士研究生，助教，研究方向：高等數(shù)學(xué)教學(xué)和調(diào)和分析。