幾何畫板在高職基本初等函數(shù)性質(zhì)教學(xué)中的應(yīng)用

應(yīng)希源 薩彬含

[摘? ? ? ? ? ?要]? 基本初等函數(shù)是高職高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，介紹了基于幾何畫板的基本初等函數(shù)性質(zhì)的動(dòng)態(tài)演示方法，便于學(xué)生總結(jié)、掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)，并對(duì)部分函數(shù)性質(zhì)引入口訣，便于學(xué)生記憶，化抽象為形象。旨在讓高職學(xué)生從形的角度直觀認(rèn)識(shí)、理解基本初等函數(shù)，讓其親身經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，從而更好地理解、掌握、應(yīng)用知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 基本初等函數(shù);幾何畫板;教學(xué);應(yīng)用

[中圖分類號(hào)]? G712? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2022）30-0037-03

一、引言

基本初等函數(shù)一般包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)，基本初等函數(shù)圖像及性質(zhì)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。大部分高職學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)是形象思維優(yōu)于邏輯思維，習(xí)慣于在具體的實(shí)踐場(chǎng)景中認(rèn)知和學(xué)習(xí)，不喜歡枯燥、乏味的知識(shí)講解[1]。部分學(xué)生不能將“數(shù)”和“形”有效聯(lián)系起來(lái)，從而很難達(dá)到利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力要求。幾何畫板軟件是一款優(yōu)秀的數(shù)學(xué)軟件，具有作圖方便、快捷的特點(diǎn)。學(xué)者高圣潔[2]借助幾何畫板以指數(shù)函數(shù)為例，引導(dǎo)學(xué)生快速作出指數(shù)函數(shù)圖像，觀察指數(shù)函數(shù)的圖像隨底數(shù)a的變化，得出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。學(xué)者曹斌[3]通過(guò)幾何畫板動(dòng)態(tài)演示了冪函數(shù)圖像的變化規(guī)律。本文在此基礎(chǔ)上，介紹了基于幾何畫板的基本初等函數(shù)性質(zhì)的動(dòng)態(tài)演示方法，通過(guò)演示引導(dǎo)學(xué)生找出基本初等函數(shù)的性質(zhì)，并對(duì)部分函數(shù)性質(zhì)引入口訣以便記憶，化抽象為形象，旨在讓高職學(xué)生從形的角度直觀認(rèn)識(shí)、理解基本初等函數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力。

二、利用幾何畫板探究基本初等函數(shù)的圖像及性質(zhì)

（一）常數(shù)函數(shù)

常數(shù)函數(shù)形式為f（x）=C，x∈（-∞，+∞），其中C為常數(shù)[4]。在幾何畫板中依次選擇“數(shù)據(jù)”“新建參數(shù)”，新建參數(shù)t1=1.00，選擇“繪圖”“繪制新函數(shù)”，選中已建立的參數(shù)t1=1.00，在直角坐標(biāo)系中便繪制出f（x）=1.00的圖像，任意改變參數(shù)t1值，便可得到相應(yīng)的常數(shù)函數(shù)。通過(guò)常數(shù)函數(shù)圖像引導(dǎo)學(xué)生得出函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性。常數(shù)函數(shù)隨著自變量x的變化，函數(shù)值f（x）始終不變，即常數(shù)函數(shù)不增不減。常數(shù)函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)于任一自變量x，均可使得f（-x）=f（x）成立，即常數(shù)函數(shù)為關(guān)于y軸對(duì)稱的偶函數(shù)。常數(shù)函數(shù)存在無(wú)窮多個(gè)不為0的數(shù)T使得f（x+T）=f（x）恒成立，即常數(shù)函數(shù)為周期函數(shù)但沒(méi)有最小正周期。常數(shù)函數(shù)存在一個(gè)正整數(shù)C，對(duì)于任一變量x，總有f（x）≤C，即常數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為有界函數(shù)。

（二）冪函數(shù)

冪函數(shù)的形式為f（x）=xn（n為實(shí)常數(shù)）。利用幾何畫板可直接繪制冪函數(shù)圖像，通過(guò)改變n值重復(fù)繪圖便可得到冪函數(shù)隨n變化的函數(shù)性質(zhì)，但對(duì)于高職學(xué)生，該方法不直觀，部分學(xué)生因找不出規(guī)律而產(chǎn)生挫敗感，因此通過(guò)動(dòng)畫找規(guī)律比直接看圖找規(guī)律容易。動(dòng)態(tài)演示冪函數(shù)單調(diào)性的步驟有：（1）建立可任意賦值的參數(shù)n，依次選擇“數(shù)據(jù)”“新建參數(shù)”命令新建參數(shù)n;（2）建立演示啟停按鈕，依次選擇“數(shù)據(jù)”“新建參數(shù)”命令新建參數(shù)x，選中參數(shù)x再依次選擇“編輯”“操作類按鈕”“動(dòng)畫”，便建立了可控制啟停的按鈕;（3）繪制點(diǎn)，點(diǎn)的橫縱標(biāo)選擇參數(shù)x，縱坐標(biāo)“xn”通過(guò)“計(jì)算”獲得，依次選擇“繪圖”“繪制點(diǎn)”，便可繪制出冪函數(shù)的一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)單擊“啟停按鈕”，繪制的點(diǎn)即按照冪函數(shù)的軌跡運(yùn)動(dòng);（4）設(shè)置追蹤點(diǎn)，分別找出繪制點(diǎn)在x軸、y軸的投影點(diǎn)，選擇“追蹤繪制的點(diǎn)”，此時(shí)單擊“啟停按鈕”后便可直觀看出3個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，當(dāng)改變參數(shù)n時(shí)，之前的運(yùn)動(dòng)軌跡還未擦除，會(huì)影響實(shí)驗(yàn)效果，因此還需設(shè)置擦除軌跡按鈕;（5）設(shè)置“擦除軌跡”按鈕，依次選擇“數(shù)據(jù)”“新建參數(shù)”建立參數(shù)，選中參數(shù)依次選擇“編輯”“操作類按鈕”“隱藏/顯示”建立按鈕，重復(fù)上述操作再建立一個(gè)按鈕，同時(shí)選中兩個(gè)按鈕，依次選擇“編輯”“操作類按鈕”“系列”，將其中一個(gè)按鈕隱藏，選中另一個(gè)按鈕右鍵依次選擇“屬性”“系列按鈕”“勾選清除所有追蹤軌跡”，此時(shí)便建立了“擦除軌跡”按鈕，單擊時(shí)便可將所有追蹤軌跡擦除。經(jīng)過(guò)以上步驟后便可進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，任意給定一個(gè)參數(shù)n，點(diǎn)擊“啟停按鈕”便可得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)軌跡便可直觀判斷冪函數(shù)的單調(diào)性，圖1為實(shí)驗(yàn)過(guò)程中冪函數(shù)單調(diào)性動(dòng)態(tài)演示截圖。

學(xué)生通過(guò)改變參數(shù)n觀看幾何畫板動(dòng)態(tài)演示后，可得出冪函數(shù)定義域與n有關(guān)，圖像總過(guò)點(diǎn)（1，1）。冪函數(shù)單調(diào)性為：當(dāng)n大于0時(shí)在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)n小于0時(shí)在定義域內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，由此引導(dǎo)學(xué)生得出冪函數(shù)單調(diào)性口訣“大于0時(shí)增函數(shù)，小于0時(shí)減函數(shù);大于1時(shí)增長(zhǎng)快，（0，1）間增長(zhǎng)慢”，便于學(xué)生記憶。

冪函數(shù)中的指數(shù)n為實(shí)常數(shù)，當(dāng)n為有理數(shù)時(shí)，n可化為兩個(gè)整數(shù)之比，利用幾何畫板制作冪函數(shù)奇偶性演示步驟為：（1）新建分子、分母、自變量x三個(gè)參數(shù)，實(shí)驗(yàn)可對(duì)新建參數(shù)賦值，用于引導(dǎo)學(xué)生找出n與冪函數(shù)奇偶性的規(guī)律，在幾何畫板中依次選擇“數(shù)據(jù)”“新建參數(shù)”，分別創(chuàng)建“分子”“分母”“x”可賦值的參數(shù);（2）計(jì)算冪函數(shù)的實(shí)常數(shù)n，依次選擇“數(shù)據(jù)”“計(jì)算”“分子/分母”便可計(jì)算出n值;（3）繪制冪函數(shù)f（x）=xn圖像;（4）根據(jù)自變量x計(jì)算f（-x）、f（x）值，用于總結(jié)奇偶性的規(guī)律。圖2為冪函數(shù)奇偶性探究實(shí)驗(yàn)的部分截圖。

學(xué)生通過(guò)幾何畫板演示后，可得出冪函數(shù)單調(diào)性為：（1）當(dāng)分子、分母都為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)只有在第一象限有圖像，此時(shí)為非奇非偶函數(shù);（2）當(dāng)分子、分母都為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;（3）當(dāng)分子為偶函數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。由此引導(dǎo)及學(xué)生得出冪函數(shù)奇偶性口訣“子單母偶孤單單，子單母單奇函數(shù)，子偶偶函數(shù)”，便于學(xué)生記憶。

（三）指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)形式為f（x）=ax（a>0，且a≠1）。利用幾何畫板設(shè)計(jì)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性動(dòng)態(tài)演示實(shí)驗(yàn)步驟與設(shè)計(jì)冪函數(shù)單調(diào)性動(dòng)態(tài)演示步驟相同，學(xué)生通過(guò)改變參數(shù)a觀看幾何畫板動(dòng)態(tài)演示后，可得出指數(shù)函數(shù)定義域?yàn)椋?∞，+∞），值域?yàn)椋?，+∞）。單調(diào)性規(guī)律為：當(dāng)a大于1時(shí)在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)a在（0，1）時(shí)在定義域內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)。由此引導(dǎo)學(xué)生得出指數(shù)函數(shù)單調(diào)性口訣“指數(shù)函數(shù)很簡(jiǎn)單，圖像恒過(guò)（0，1）點(diǎn)，a大1時(shí)單調(diào)增，（0，1）之間單調(diào)減”，便于學(xué)生記憶。

為探究同一自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值隨參數(shù)a的變化關(guān)系，利用幾何畫板設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)演示步驟為：（1）建立參數(shù)a;（2）選中參數(shù)a建立啟停按鈕;（3）繪制函數(shù)，選中繪制曲線，右鍵選擇“追蹤函數(shù)圖像”，點(diǎn)擊“啟停按鈕”便可得到隨參數(shù)a變化的動(dòng)態(tài)函數(shù)圖像。學(xué)生通過(guò)動(dòng)態(tài)演示，可得出如下特性：（1）當(dāng)a∈（0，1），x∈（-∞，0]時(shí)，a越大，同一自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小;（2）當(dāng)a∈（0，1），x∈（0，+∞）時(shí)，a越大，同一自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大;（3）當(dāng)a>1，x∈（-∞，0]時(shí)，a越大，同一自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小;（4）當(dāng)a>1，x∈（0，+∞）時(shí)，a越大，同一自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大;（5）當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，隨著a逐漸增大，相同Δa對(duì)應(yīng)的Δf（x）越大;（6）當(dāng)a>1時(shí)，隨著a逐漸增大，相同Δa對(duì)應(yīng)的Δf（x）越小。

（四）對(duì)數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)形式為f（x）=logax（a>0，且a≠1）。利用幾何畫板設(shè)計(jì)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性動(dòng)態(tài)演示實(shí)驗(yàn)步驟與設(shè)計(jì)冪函數(shù)單調(diào)性動(dòng)態(tài)演示步驟相同，學(xué)生通過(guò)改變參數(shù)a觀看幾何畫板動(dòng)態(tài)演示后，可得出對(duì)數(shù)函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），值域?yàn)椋?∞，+∞）。單調(diào)性規(guī)律為：當(dāng)a大于1時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)a在（0，1）時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)。由此引導(dǎo)學(xué)生得出指數(shù)函數(shù)單調(diào)性口訣“對(duì)數(shù)函數(shù)很簡(jiǎn)單，圖像恒過(guò)（1，0）點(diǎn)，a大1時(shí)單調(diào)增，（0，1）之間單調(diào)減”，便于學(xué)生記憶。

（五）三角函數(shù)

以正弦、余弦函數(shù)為例演示有界性和周期性演示步驟為：（1）將“角度”設(shè)為“弧度”;（2）以（-1，0）為圓心繪制單位圓;（3）繪制2個(gè)動(dòng)態(tài)點(diǎn)，在單位圓上繪制點(diǎn)A，依次選擇原點(diǎn)、圓曲線、A點(diǎn)構(gòu)造弧OA，選中弧OA后進(jìn)行度量，再選擇“數(shù)據(jù)”“計(jì)算”，計(jì)算出正弦值、余弦值，再根據(jù)弧度值及正弦、余弦值繪制點(diǎn)B;（4）選中點(diǎn)B，右鍵選擇“追蹤繪制的點(diǎn)”，此時(shí)拖動(dòng)點(diǎn)A便可繪制出相應(yīng)的正弦、余弦曲線。學(xué)生通過(guò)幾何畫板動(dòng)態(tài)演示后，可得出正弦、余弦函數(shù)值域?yàn)閇-1，1]。當(dāng)點(diǎn)A圍繞單位圓逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)1圈后，正弦函數(shù)點(diǎn)B由原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（2π，0），余弦函數(shù)由點(diǎn)（0，1）運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（2π，1），也即正弦、余弦函數(shù)的最小正周期均為2π。另外，在演示過(guò)程中，正弦、余弦函數(shù)圖像始終在直線y=1與y=-1之間，也即正弦、余弦函數(shù)均為有界函數(shù)，上界、下界分別為1、-1。圖3為正弦、余弦函數(shù)周期性及有界性演示截圖。

圖3 正弦、余弦函數(shù)周期性及有界性演示截圖

利用幾何畫板設(shè)計(jì)正弦、余弦函數(shù)奇偶性演示步驟為：（1）繪圖，分別繪制正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像;（2）取點(diǎn)，在函數(shù)圖像上任取一點(diǎn)A，右鍵讀取點(diǎn)A的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，修改A點(diǎn)縱坐標(biāo)標(biāo)簽為f（x）。依次選擇“數(shù)據(jù)”“計(jì)算”，計(jì)算出-xA和sin（-xA），并以（xA，sin（-xA））為坐標(biāo)在圖形上繪制點(diǎn)B，修改sin（-xA）標(biāo)簽為f（-x）;（3）建立動(dòng)畫“啟停”按鈕，選擇點(diǎn)A，右鍵依次單擊“編輯”“操作類按鈕”“動(dòng)畫”，修改“動(dòng)畫點(diǎn)”標(biāo)簽為“啟?！?，此時(shí)，單擊“啟停”按鈕，觀察xA與xB、f（x）與f（-x）兩對(duì)值的變化，便可得出函數(shù)的奇偶性。學(xué)生通過(guò)幾何畫板動(dòng)態(tài)演示后，可得出如下結(jié)論，在點(diǎn)A移動(dòng)過(guò)程中，正弦函數(shù)始終有f（-x）=-f（x），余弦函數(shù)始終有f（-x）=f（x），也即正弦函數(shù)在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，對(duì)稱中心為（kπ，0），對(duì)稱軸為x=kπ+■，（k∈Z）。余弦函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，對(duì)稱中心為（kπ±，0），對(duì)稱軸為x=kπ，（k∈Z）。根據(jù)演示不難得出正弦函數(shù)在[-■+2kπ，■+2kπ]上單調(diào)遞增，在[+2kπ，+2kπ]上單調(diào)遞減。余弦函數(shù)在[2kπ+π，2kπ+2π]上單調(diào)遞增，在[2kπ，2kπ+π]上單調(diào)遞減。

（六）反三角函數(shù)

反正弦函數(shù)的形式為f（x）=arcsinx，x∈[-1，1]、反正切函數(shù)的形式為f（x）=arctanx，x∈（-∞，+∞）。下面以反正弦、反正切函為例，利用幾何畫板演示正弦函數(shù)與反正弦函數(shù)、正切函數(shù)與反正切函數(shù)之間的關(guān)系。演示步驟為：（1）繪制在單調(diào)區(qū)間[-■，■]的正弦、正切函數(shù)圖像，再繪制相應(yīng)的反正弦、反正切函數(shù);（2）取點(diǎn)，在正弦或正切函數(shù)上任取一點(diǎn)A，并將點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo)互換繪制點(diǎn)B;（3）繪制對(duì)稱軸f（x）=x圖像，連接A、B兩點(diǎn)后，與f（x）=x相交于C點(diǎn)，分別度量距離AC、CB;（4）設(shè)置動(dòng)態(tài)演示“啟?！卑粹o，選擇點(diǎn)A，右鍵依次單擊“編輯”“操作類按鈕”“動(dòng)畫”，修改“動(dòng)畫點(diǎn)”標(biāo)簽為“啟?！保藭r(shí)，單擊“啟?！卑粹o，觀察AC與CB數(shù)值大小以及運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，便可得出反三角函數(shù)與三角函數(shù)的性質(zhì)及關(guān)系。反三角函數(shù)與單調(diào)區(qū)間內(nèi)的三角函數(shù)單調(diào)性一致，且圖像關(guān)于直線f（x）=x對(duì)稱。

三、結(jié)論

基本初等函數(shù)是函數(shù)部分的核心內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，本文介紹了基于幾何畫板的基本初等函數(shù)性質(zhì)的動(dòng)態(tài)演示方法，找出基本初等函數(shù)的性質(zhì)，并對(duì)部分函數(shù)性質(zhì)引入口訣以便記憶，化抽象為形象，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力。幾何畫板為探究函數(shù)的實(shí)用軟件之一，不僅可以探究函數(shù)的圖像及性質(zhì)，還可以動(dòng)態(tài)展示圖像的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等變換過(guò)程，讓學(xué)生從形的角度直觀認(rèn)識(shí)、理解基本初等函數(shù)，讓其親身經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，從而更好地理解、掌握、應(yīng)用知識(shí)。

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①基金項(xiàng)目：2020年度曲靖職業(yè)技術(shù)學(xué)院教科研究課題（2020SZKT013）。

作者簡(jiǎn)介：應(yīng)希源（1985—），男，漢族，云南曲靖人，碩士，講師，工程師，研究方向：高等數(shù)學(xué)、初等數(shù)學(xué)教學(xué)研究。