中考“隱形圓”專題復(fù)習(xí)探究

徐海波 高英

[摘 要]“隱形圓”是近幾年中考常見(jiàn)的一類綜合性壓軸題的隱性條件，其隱藏在已知幾何條件里。文章總結(jié)了幾種“隱形圓”的典型題型，并結(jié)合具體的例題呈現(xiàn)分析，助力學(xué)生高效復(fù)習(xí)含“隱形圓”條件的綜合題。

[關(guān)鍵詞]隱形圓;中考復(fù)習(xí);專題

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2022）14-0013-03

在歷年的中考試題中，經(jīng)常出現(xiàn)一類幾何題，將圓隱藏在已知幾何條件里，學(xué)生需要根據(jù)相關(guān)的條件分析與探索，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造出這個(gè)圓，然后利用圓的相關(guān)性質(zhì)與特點(diǎn)進(jìn)行求解。本文結(jié)合典型的幾種含“隱形圓”條件的中考題，總結(jié)出此類題型的解題策略與方法，以期使中考復(fù)習(xí)獲得事半功倍的效果。

一、利用圓的概念，化繁為簡(jiǎn)

圓的定義：在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫作圓。定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑。根據(jù)圓的定義，可以發(fā)現(xiàn)題目中符合圓的特征的部分：定點(diǎn)加定長(zhǎng)產(chǎn)生“隱形圓”。我們可以構(gòu)造輔助圓解決問(wèn)題。具體地，如圖1，若[OB=OC=OD=OE=OF]，則B，C，D，E，F(xiàn)在同一個(gè)圓上。

[例1]（2019年山東德州中考題）如圖2，點(diǎn)O為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A，C，D到點(diǎn)O的距離相等，若[∠ABC=40°]，則[∠ADC]的度數(shù)是（）。

A. 130°? ? ? ? ?B. 140°? ? ? ? ? C. 150°? ? ? ? D. 160°

解法1：常規(guī)解法。如圖3，連接[OA]、[OD]。利用等腰三角形“等邊對(duì)等角”與“四邊形[AOCD]的內(nèi)角和是360°”的性質(zhì)，由[∠ABC=40°]，得[2∠ADC=360°-80°=280°]，最后求出[∠ADC=140°]。故選B。

因?yàn)楸疚闹攸c(diǎn)研究的圓的相關(guān)性質(zhì)的利用，上述方法有些繁雜，所以這里不做詳細(xì)論述。

解法2：利用輔助圓的方法。根據(jù)題意，點(diǎn)[O]到點(diǎn)[A]、C、D的距離相等，O為BC的中點(diǎn)，根據(jù)圓的定義可知，A、B、C、D四點(diǎn)是在以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓上，作出輔助圓（如圖4），輔助圓是四邊形ABCD的外接圓，根據(jù)“圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”的性質(zhì)，[∠ABC]與[∠ADC]互補(bǔ)，由[∠ABC=40°]，輕松得出[∠ADC=140°]，因而選B。

二、巧用“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形”揭示“隱形圓”的本質(zhì)

如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形一定內(nèi)接于圓。具體地，如圖5，若[∠A+∠C=180°]或[∠B+∠D=180°]，那么四邊形[ABCD]內(nèi)接于圓[O]。

[例2]（2017年福建中考題） 如圖6，矩形[ABCD]中，[AB=6]，[AD=8]，[P]、[E]分別是線段[AC]、[BC]上的點(diǎn)，且四邊形[PEFD]為矩形。

（1） 若[△PCD]是等腰三角形，求[AP]的長(zhǎng);

（2） 若[AP=2]，求線段[CF]的長(zhǎng)。

分析：第（1）小題只要求出[PC]，根據(jù)等腰三角形的三種情況，利用等腰三角形的軸對(duì)稱性討論計(jì)算即可得出結(jié)論，這和本文研究的內(nèi)容聯(lián)系不大，故略去不寫。下面重點(diǎn)介紹如何利用“隱形圓”求解第（2）小題。

解：（1）略;

（2）如圖7，連接[PF]，[DE]，記[PF]與[DE]的交點(diǎn)為[O]，連接[OC]，由四邊形[ABCD]和[PEFD]是矩形，利用矩形的性質(zhì)，可以求出[OC=12ED]。在矩形[PEFD]中，對(duì)角線相等，即[PF=DE]，由此可以求出[OC=OP=OF]，根據(jù)三角形內(nèi)角和可知[△PCF]的內(nèi)角和是180°，[2∠OCP+2∠OCF=180°]，[∠PCF=90°]，可知[∠PCD+∠FCD=90°]，[△PCF]是直角三角形。在[Rt△ADC]中，[∠PCD+∠PAD=90°]，可以得出[∠PAD=∠FCD]，在[△ADP]和[△CDF]中，三個(gè)角都相等，所以[△ADP∽△CDF]，可以得出[CFAP=CDAD=34]，又已知[AP=2]，可以輕松得到[CF=324]。

三、利用“動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)”解題

如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)，那么這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為一個(gè)圓。具體地，如圖8，[OA⊥OB]，垂足為[O]。[P]，[Q]分別是射線[OA]，[OB]上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且[PQ]為定長(zhǎng)。點(diǎn)[M]是線段[PQ]的中點(diǎn)，那么動(dòng)點(diǎn)[M]的軌跡是圓的一部分。

[例3]如圖9，在矩形[ABCD]中，已知 [AB=2]，[BC=3]，現(xiàn)有一根長(zhǎng)為2的木棒[EF]緊貼著矩形的邊（即兩個(gè)端點(diǎn)始終落在矩形的邊上），按逆時(shí)針?lè)较蚧瑒?dòng)一周，則木棒[EF]的中點(diǎn)[P]在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所圍成的圖形的面積是多少？

分析：木棒[EF]的中點(diǎn)[P]在運(yùn)動(dòng)中的軌跡為分別以[A]、[B]、[C]、[D]為圓心，1為半徑的四條弧和[FG]和 [HI]組成的封閉圖形。它的面積可以用矩形面積減去四個(gè)扇形的面積求得。此題難點(diǎn)主要是[P]點(diǎn)的軌跡是“隱形圓”。

解：如圖10所示，當(dāng)木棒[EF]與[EB]，[BF]組成三角形，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得出點(diǎn)[P]到點(diǎn)[B]的距離始終為1，所以點(diǎn)[P]的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓或者圓的一部分。通過(guò)作圖發(fā)現(xiàn)是[14]個(gè)圓。同理可證木棒[EF]在其他三個(gè)角落時(shí)情況是一樣的。在矩形的“長(zhǎng)”上運(yùn)動(dòng)的軌跡分別為[FG]和 [HI]，所以木棒[EF]的中點(diǎn)[P]在運(yùn)動(dòng)中的軌跡為分別以[A]、[B]、[C]、[D]為圓心，1為半徑的四條弧和[FG]和 [HI]組成的封閉圖形，故所圍圖形的面積等于矩形面積減去4個(gè)扇形面積，即[S=6-4×π×124=6-π]。

四、運(yùn)用“定長(zhǎng)對(duì)定角”的“隱形圓”模型解題

如圖11所示，若有一固定線段[AB]及線段[AB]所對(duì)的[∠C]大小固定，根據(jù)圓的知識(shí)可知，點(diǎn)[C]并不是唯一固定的點(diǎn)，點(diǎn)[C]在[⊙O]的弧[ACB]（至于是優(yōu)弧還是劣弧取決于[∠C]的大?。∠C<90°]，則點(diǎn)[C]在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng);[∠C=90°]，則點(diǎn)[C]在半圓上運(yùn)動(dòng);當(dāng)[∠C>90°]，點(diǎn)[C]在劣弧上運(yùn)動(dòng)。

[例4]如圖12，[△ABC]是等邊三角形，[AB=2]，若[P]為[△ABC]內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足[∠PAB=∠ACP]，則線段[PB]長(zhǎng)度的最小值為? ? ? ? ? ? ?。

分析：由等邊三角形的性質(zhì)得出[∠ABC=∠BAC=60°]，[AC=AB=2]，求出[∠APC=120°]，由此可得[AC=2]為定長(zhǎng)，[∠APC=120°]為定角，如圖13，因而點(diǎn)[P]的軌跡為“圓心為[O]，半徑為[AO]的‘隱形圓”的一段劣弧。由圓外一定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小值的知識(shí)可知，連接圓心[O]與定點(diǎn)[B]的線段與圓的交點(diǎn)就是所求的最小值時(shí)的點(diǎn)[P]，如圖14。當(dāng)[PB⊥AC]時(shí)，[PB]長(zhǎng)度最小，設(shè)垂足為[D]，此時(shí)[PA=PC]，由等邊三角形的性質(zhì)得出[AD=CD=12AC=1]，[∠PAC=∠ACP=30°]，[∠ABD=12∠ABC=30°]，求出[PD=AD·tan30°=33AD=33]，[BD=3AD=3]，即可得出答案。

解：∵[△ABC]是等邊三角形，

∴[∠ABC=∠BAC=60°]，[AC=AB=2]，

∵[∠PAB=∠ACP]，

∴[∠PAC+∠ACP=60°]，

∴[∠APC=120°]，

∴點(diǎn)[P]的運(yùn)動(dòng)軌跡是[AC]，

當(dāng)點(diǎn)[O]、[P]、[B]共線時(shí)，[PB]長(zhǎng)度最小，設(shè)[OB]交[AC]于[D]，如圖14所示，此時(shí)[PA=PC]，[OB⊥AC]，則[AD=CD=12AC=1]，[∠PAC=∠ACP=30°]，[∠ABD=12∠ABC=30°]，∴[PD=AD·tan30°=33AD=33]，[BD=3AD=3]，∴[PB=BD-PD=3-33=233]。

五、轉(zhuǎn)化變量，利用“隱形圓”解決最值問(wèn)題

如圖15所示，對(duì)于一個(gè)定點(diǎn)[P]和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的最值問(wèn)題，若動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為[⊙O]，[⊙O]的圓心[O]與定點(diǎn)[P]之間的距離加上或減去半徑，就可以求出線段的最大值[PB]和最小值[PA]。因此，解這類題，最常作的是輔助圓，找出輔助圓所在的圓心，連接圓心與定點(diǎn)之間的線段，再求出圓心與定點(diǎn)之間的距離，用其減去或加上半徑即可求出最值。

[例5]如圖16，矩形[ABCD]中，[AB=2]，[AD=3]，點(diǎn)[E]、[F]分別[AD]、[DC]邊上的點(diǎn)，且[EF=2]，點(diǎn)[G]為[EF]的中點(diǎn)，點(diǎn)[P]為[BC]上一動(dòng)點(diǎn)，則[PA+PG]的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? 。

分析：本題主要考查運(yùn)用軸對(duì)稱將折線變成直線解決線段最值的問(wèn)題，分析判斷出點(diǎn)[G]的運(yùn)動(dòng)軌跡是解答本題的關(guān)鍵。直角三角形[EFD]的斜邊[EF]，點(diǎn)[G]為[EF]的中點(diǎn)，并且[EF=2]，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可以得出[DG=1]。其中[D]為定點(diǎn)，[DG=]1為定長(zhǎng)。由此可得出點(diǎn)[G]在以[D]為圓心，以[DG]為半徑的圓上，這就是本題的“隱形圓”，[EF]與圓的交點(diǎn)就是點(diǎn)[G]。利用軸對(duì)稱，作點(diǎn)[A]關(guān)于對(duì)稱軸[BC]的對(duì)稱點(diǎn)[A′]，連接[A′D]，可知[A′D]必與[BC]交于點(diǎn)[P]，與[EF]必交于點(diǎn)[G]（通過(guò)全等三角形可以驗(yàn)證），此時(shí)[PA+PG]的值最小，這個(gè)最小值就是[A′G]的長(zhǎng);[△ADA′]為直角三角形，由勾股定理可以求得[A′D]的長(zhǎng)度，用[A′D]的長(zhǎng)度減去⊙[D]的半徑，即可得出本題的答案。

解：∵[EF=2]，點(diǎn)[G]為[EF]的中點(diǎn)，∴[G]是以[D]為圓心，以[DG=1]為半徑的圓上的點(diǎn)，此點(diǎn)也是[EF]的中點(diǎn)。

作點(diǎn)[A]關(guān)于對(duì)稱軸[BC]的對(duì)稱點(diǎn)[A′]，連接[A′D]，交[BC]于[P]，交[EF]于點(diǎn)[G]，

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可知[PA+PG]的值最小，由圖可知，此時(shí)[PA+PG=A′D-DG]，

∵[AB=2]，∴[AA′=4]，又∵[AD=3]，

在直角[△ADA′]中，由勾股定理可得 [A′D=5]，

∴[A′G=A′D-DG=5-1=4]，

∴[PA+PG]的最小值為4。

圓具有直觀、形象的特點(diǎn)。解決“隱形圓”的問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)點(diǎn)、線、角的特定關(guān)系發(fā)現(xiàn)“隱形圓”的圖形本質(zhì)。在此過(guò)程中，挖掘隱含條件，把“隱形圓”顯現(xiàn)出來(lái)，再有效利用其他幾何圖形的概念、定義與性質(zhì)是破解題目的關(guān)鍵。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 朱海棠.借力隱形圓 破解關(guān)鍵點(diǎn)[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2020（19）：15-16.

[2]? 葉珊.例析四類“隱形圓”問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2020（9）：51-53.

[3]? 張剛.看似無(wú)圓 實(shí)則有圓 “圓”來(lái)如此：例談一類隱形圓問(wèn)題的求解策略[J].理科考試研究，2020（13）：18-21.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）