借力變式訓練，提升幾何解題技巧

徐黎明

[摘? 要] 幾何變式訓練是通過一題多練、一題多解的方法培養(yǎng)學生思維的靈活性，理解數(shù)學本質的有效方法. 教學中可以通過圖形變化、條件變化、結論變化等方式，拓展學生思維，有效提升學生的解題能力.

[關鍵詞] 變式訓練;解題技巧;思維訓練

習題練習可以檢驗學生對所學知識的掌握情況，推動教師的教學工作做出有效調整，能夠對學生的學習情況進行查漏補缺，可以有效提升學生的解題技巧，增強學生學習數(shù)學的信心. 然而在習題教學中很容易落入“就題講題”的俗套，掉進“題?！睉?zhàn)術，為了避免這種低效教學的模式，教師要發(fā)揮主觀能動性進行變式訓練. 從不同的角度、不同的層次水平、不同的背景，在不改變習題本質的情況下對習題進行改編，可以幫助學生理解數(shù)學思想，有效掌握解題技巧，拓展思維的廣泛性[1]. 如何進行快速高效地變式訓練，在減輕教師負擔的同時，又能提升教學效果，筆者進行了一些思考，總結出一些方法，與各位同行進行討論.

原題簡單變式

簡單變式是在原題的基礎上不改變原有的架構和內容，僅僅將結論和條件進行互換，或者只是簡單改變一個條件，又或者將結論作簡單改變的一種變式訓練. 這樣的變式訓練難度不大，旨在使學生能夠熟練運用所學知識，所以這樣的變式訓練主要適用于新課的練習.

案例1 如圖1所示，點D在線段AB上，點E在線段AC上，AB和AC相等，∠B和∠C相等，求證：AD和AE相等.

變式1：（1）如圖1所示，點D在線段AB上，點E在線段AC上，∠B和∠C相等，AD和AE相等，求證：AB和AC相等.

（2）如圖1所示，點D在線段AB上，點E在線段AC上，AB和AC相等，AD和AE相等，求證：∠B和∠C相等.

變式2：如圖1所示，點D在線段AB上，點E在線段AC上，AB和AC相等，∠B和∠C相等，求證：BD和CE相等.

變式3：如圖1所示，點D在線段AB上，點E在線段AC上，AB和AC相等，CD垂直于AB，BE垂直于AC，求證：BD和CE相等.

思路評析 變式1只是將條件和結論進行了簡單互換，所以在解題思路上既有聯(lián)系又有區(qū)別，共同點在于都需要通過三角形全等進行求證，但不同的是原題是通過角邊角進行判定，而變式則分別是通過角角邊和邊角邊進行判定.變式2和變式3雖然對結論和條件都進行了簡單的變化，但是解題思路沒有發(fā)生改變，仍然是通過三角形全等進行求解. 通過這樣的變式練習，學生對于三角形全等的求證方法得到了進一步的鞏固.

上述的變式訓練筆者的選材沒有脫離教材，但是又對教材進行了深入挖掘，讓學生在感悟試題條件、結論等發(fā)生變化的基礎上，對解題思路做出相應的改變，在變化中尋找不變，激發(fā)學生的學習興趣，促進學生積極思考，體驗獲得成果的喜悅.

幾何圖形變式

幾何證明題的變式練習離不開圖形變式訓練，通過對圖形的改變，形成一組圖形變式系列題，加大了題目的難度，需要學生綜合運用所學知識進行解決，因此這樣的變式練習適合單元復習使用. 圖形變式練習著重考查學生面對不同的條件，學會同類轉化，能采用相同的解題思路解決問題，提升學生的識圖能力，達到舉一反三、觸類旁通的效果.

案例2 已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上一個動點（除B點和C點）. 以AD為邊作菱形ADEF，使∠DAF=60°，連接CF.

（1）如圖2所示，當點D在BC邊上時，求證：①∠ADB和∠AFC相等;②判斷∠AFC是否等于∠ACB與∠DAC的和.

（2）如圖3所示，當點D在BC邊的延長線上時，若其他條件不變，那么∠AFC是否等于∠ACB與∠DAC的和？你認為∠AFC，∠ACB，∠DAC之間存在怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的證明過程.

（3）如圖4所示，當點D在CB邊的延長線上時，且點A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側，其他條件不變，請將圖形補全，并且寫出∠AFC，∠ACB，∠DAC之間存在的數(shù)量關系.

思路評析 通過動點D的變化，形成了不同的圖形結構，隨之∠AFC，∠ACB，∠DAC之間存在的數(shù)量關系也發(fā)生變化. 但是學生透過現(xiàn)象抓住本質可以發(fā)現(xiàn)證明的思路都是通過三角形全等從而得到∠ADB和∠AFC相等，再利用三角形的內外角定理去尋找等量關系. 幾何證明題的圖形變化多端，圖形變式訓練對于學生的識圖能力有很大的提升作用，通過這種訓練，學生能在類似的圖形中找到共同點，從而進行類比找到相同的解題思路，實現(xiàn)了快速高效的解題目標.

證明過程變式

過程變式是一種綜合性的變式訓練，問題的本質未變，但是可能圖形、條件和結論都已經(jīng)變了，這樣的變式題綜合性強、解題思路隱蔽，主要適用于綜合性的復習. 其作用是訓練學生能從復雜的變化中抽離出不變的本質，在知識點之間構建聯(lián)系，提高學生的思維能力和解題能力，鍛煉思維的靈活性.

案例3 如圖5所示，A是線段BC上任意一點，分別以AB，AC為邊在BC的同側作等邊三角形ABD，等邊三角形ACE，連接BE和DC.

求證：CD和BE相等，并且CD與BE的夾角為60°.

變式1：如圖6所示，△ABD，△ACE分別是以△ABC的邊AB，AC為邊作的等邊三角形，連接BE和DC相交于點P. 求證：DC和BE相等，并且∠DPB=60°.

變式2：如圖6所示，△ABD，△ACE分別是以△ABC的邊AB，AC為邊作的等邊三角形，連接BE和CD相交于點P，如果把△ACE繞點A旋轉. 求證：無論△ACE繞點A旋轉到任何位置，DC和BE都相等，并且∠DPB=60°.

變式3：如圖7所示，把等邊三角形ABD和等邊三角形ACE改為正方形ABEF和正方形ACMN，那么BN與CF的長度和夾角發(fā)生了什么變化？如果改為正五邊形、正六邊形……正n邊形呢？

思路評析 原題及變式1、變式2都通過等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，得到結論DC和BE相等，通過三角形全等和等邊三角形的內角為60°，利用等量轉換，得到CD與BE的夾角為60°. 變式3則是訓練學生類比方法的運用，在變式1、變式2的基礎上，利用等邊三角形的內角度數(shù)，類比思考其他正五邊形、正六邊形等.

教學反思

變式訓練是教學中有效提升解題技巧，鍛煉學生思維的一種方式，巧用變式訓練，可以跳脫出題目的束縛，從更高的角度進行知識的提煉和概括，為了提升變式訓練的效果，筆者認為可以從以下幾個方面進行思考：

1. 變式題型的選擇要有目標性

變式訓練是通過情境的變化，問題條件、結論的變化等，對學生學習情況進行的進一步的訓練和檢測，培養(yǎng)學生能夠識別不同的問題情境，透析數(shù)學問題的本質，學會使用恰當?shù)慕忸}方法，從而實現(xiàn)高效的訓練. 因此在選擇變式習題時，為了提高效率，習題的選擇需要有針對性，變式需要有典型性和目標性，避免大量的無效訓練，不要讓變式訓練變成另一種形式的“題海戰(zhàn)術”.

2. 選擇典型的變式題型

變式訓練是有針對性的訓練學生的思維靈活性和發(fā)散性，因此選擇的變式題型需要有典型性，能做到“抓住一例，涉及一片”. 教師在設計時要做好規(guī)劃，根據(jù)學生的實際情況選擇具有典型性的題型，使學生能夠學會解題方法，體會數(shù)學思想，高效地學習數(shù)學.

3. 注意有層次的進行變式題型的訓練

鼓勵學生積極參與學習活動是學生真正獲得學習體驗的方法，而激發(fā)學生積極學習的方法是在學習過程中使學生能夠體會到學習的成功. 因此在設計變式訓練時，要從學生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，安排難度適宜的試題，既有一定的難度，又能使學生通過努力可以達到目標. 在一個班級當中，學生的學習能力有所差別，因此在進行題目設計時，需要進行有梯度的題型設計，由易到難，由簡單到復雜，隨著學生學習能力的提高，不斷提高題目的難度. 學生經(jīng)過自己的努力，可以克服困難，收獲成就感，激發(fā)學習的內驅力[2].

4. 注重教學方式的多樣化

變式練習主要訓練學生能夠多角度地觀察、分析和解決問題，因此解題思路多樣，解答方式多樣. 幾何證明題的知識點較多，需要學生能夠綜合運用知識解決問題，能夠在知識之間建構聯(lián)系，因此很容易讓學生感覺到疲倦. 教師在教學中可以通過多樣的教學方式營造學習的氛圍，搭建學生參與的平臺，鼓勵學生自己實踐和表達，激發(fā)學習的熱情，減少學習的疲倦感，有效提升教學效果.

總之，變式訓練的目的是在探究問題的過程中滲透數(shù)學方法、傳達數(shù)學思想.教的目的在于不教，授之以魚不如授之以漁. 真正的教學不在全盤的灌輸知識，而在于引導學生參與學習，體驗活動，使學生在一次次的體驗中，鍛煉思維，增長智慧，拓寬視野，解題能力不斷提高，使數(shù)學思想得到升華.

參考文獻：

[1] 孫學東. 數(shù)學需要教“解題模型”嗎？[J]. 中學數(shù)學教學參考，2018（29）：6-9.

[2] 鞏子坤. 數(shù)學知識的特征與學習方式的有效選擇[J]. 中國教育學刊，2005（11）：55-58.