探析安培力做功與反電動(dòng)勢的物理本源

陶漢斌

[摘 要]在剖析電與磁的綜合問題時(shí)會(huì)涉及安培力做功與反電動(dòng)勢問題，在高三物理復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生追溯安培力做功與反電動(dòng)勢的本源，幫助學(xué)生理解它們的物理本質(zhì)。做功過程實(shí)現(xiàn)了能量的轉(zhuǎn)化，功是能量轉(zhuǎn)化的量度。因?yàn)榱Φ淖饔檬窍嗷サ模园才嗔隙ㄊ浅蓪?duì)出現(xiàn)的。能量轉(zhuǎn)化問題常出現(xiàn)在各類物理考試中，值得廣大高三師生重視。在具體解題過程中，要求出安培力對(duì)系統(tǒng)所做的總功，即[WA1+WA2=WA]。安培力做正功，即[WA>0]，電能轉(zhuǎn)化為其他形式的能;安培力做負(fù)功，即[WA<0]，也就是克服安培力做功時(shí)，由其他形式的能轉(zhuǎn)化為電能。而反電動(dòng)勢的本質(zhì)是把電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，電源提供的電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能的那部分能量就是反電動(dòng)勢對(duì)應(yīng)的能量。

[關(guān)鍵詞]安培力做功;反電動(dòng)勢;能量轉(zhuǎn)化

[中圖分類號(hào)] ? ?G633.7 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號(hào)] ? ?1674-6058（2022）17-0034-03

高中物理必修一主要學(xué)習(xí)力的基礎(chǔ)，必修二主要學(xué)習(xí)動(dòng)能定理與能量的轉(zhuǎn)化，通過學(xué)習(xí)這兩冊書學(xué)生能為后續(xù)的物理學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。高中物理最核心的知識(shí)就是力與能量，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生追尋本源問題的物理之美，運(yùn)用力與能量的觀念剖析物理問題，探索物理本質(zhì)。本文通過兩個(gè)例題剖析有關(guān)安培力做功實(shí)現(xiàn)能量轉(zhuǎn)化的問題，其中例1著重理論分析，例2側(cè)重實(shí)際應(yīng)用。

一、電磁驅(qū)動(dòng)類問題——直擊安培力做功

[例1]一質(zhì)量為[m=0.5 kg]、直角邊邊長[a=2m]、總電阻[R=0.5 Ω]的等腰直角三角形剛性線框靜止放置在絕緣光滑水平面上。方向垂直水平面向下、大小[B=0.5 T]、寬度[d=0.5 m]的有理想邊界[PQ]和[MN]的勻強(qiáng)磁場，在外力作用下，以[v0=2 m/s]勻速向右運(yùn)動(dòng)。[t=0]時(shí)，三角形線框相對(duì)磁場的位置如圖1所示。不計(jì)導(dǎo)線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電流對(duì)原磁場的影響。

（1）若線框固定不動(dòng)，求[CD]邊恰好進(jìn)入磁場前，外力所做的功[WF];

（2）若線框可以在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)，求[CD]邊恰好進(jìn)入磁場之前，外力所做的功[W′F]。

情境分析：若線框固定不動(dòng)，線框相對(duì)磁場向左勻速切割，并且切割的有效長度不變，磁場在恒定安培力作用下做勻速直線運(yùn)動(dòng)。若線框可以在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)，那么線框在磁場的驅(qū)動(dòng)下，也跟著磁場向右運(yùn)動(dòng)，在相對(duì)運(yùn)動(dòng)的過程中產(chǎn)生感應(yīng)電流。在這個(gè)過程中，安培力對(duì)線框做正功，而對(duì)磁場做負(fù)功，這些功到底能實(shí)現(xiàn)怎樣的能量轉(zhuǎn)化呢？解題過程如下。

解析：（1）線框的[CD]邊進(jìn)入磁場前，因?yàn)榇艌鰟蛩龠\(yùn)動(dòng)，所以線框的有效切割長度不變，電流不變，系統(tǒng)所受的外力與安培力平衡。

線框的有效切割長度為：[L=2d tan45°=1 m]

線框所受的安培力為：[F安=BIL=B2L2v0R=1 N]

外力所做的功為：[WF=F22a-0.5=0.5 J]

（2）在磁場的驅(qū)動(dòng)下，線框也向右運(yùn)動(dòng)，安培力對(duì)線框做正功，而反作用于磁場的安培力對(duì)磁場做負(fù)功，安培力做的總功是多少？還有外力做功到底實(shí)現(xiàn)了什么能量轉(zhuǎn)化呢？下面就從不同的側(cè)面來探討這些問題。

【系統(tǒng)能量守恒的觀點(diǎn)——觀察現(xiàn)象，整體把握能量的轉(zhuǎn)化與守恒定律】

從宏觀上把握磁場勻速向右運(yùn)動(dòng)的過程所消耗的能量，運(yùn)用能量觀點(diǎn)從整體上把握問題。在線框運(yùn)動(dòng)的過程中，必須消耗兩部分能量。第一部分是線框增加的動(dòng)能，第二部分是線框中電流產(chǎn)生的焦耳熱。

對(duì)線框用動(dòng)量定理，有：[BIL·Δt=mv]

[BLBLRΔv·Δt=mv?B2L2RΔx=mv]

代入數(shù)據(jù)解得[v=Δx]

當(dāng)相對(duì)位移[Δx=0.5 m]時(shí)，[v=0.5 m/s]

線框增加的動(dòng)能[EK=12mv2=0.0625 J]

在這個(gè)過程中所受的安培力為：

[FA=B2L2（v0-v）R=0.5（2-Δx）]

安培力與相對(duì)位移[Δx]之間有線性變化關(guān)系，可用平均值求解安培力的功，這一對(duì)安培力對(duì)系統(tǒng)做的總功為：

[WA=-FA·Δx=-（1+0.75）2×0.5 J=-0.4375 J]

電流產(chǎn)生的焦耳熱為：[Q=WA=0.4375 J]

外力所做的功為：[W′F=EK+Q=0.5 J]

【力的觀點(diǎn)——以勻速運(yùn)動(dòng)的磁場為研究對(duì)象】

從力的角度剖析，以磁場為研究對(duì)象，磁場進(jìn)入線框后額外增加了一個(gè)與速度[v0]方向相反的安培力[FA]，而磁場還是要保持勻速運(yùn)動(dòng)，外力必須克服安培力[FA]做功，這樣就把能量成功輸送進(jìn)來了。

以磁場為研究對(duì)象，磁場勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，外力克服安培力所做的功為：

[W′F=FAv0Δt=BILv0Δt=B2L2v0RΔv·Δt=B2L2v0R·Δx=0.5 J]

反思與提升：動(dòng)生電動(dòng)勢的切割速度是相對(duì)磁場的速度，而不是相對(duì)地面的速度。動(dòng)生電動(dòng)勢中的能量問題——安培力做功實(shí)現(xiàn)了其他形式的能與電能的相互轉(zhuǎn)化。在本例中，安培力對(duì)線框做正功，而對(duì)磁場做負(fù)功，我們應(yīng)該求這一對(duì)安培力做功的總和。一對(duì)安培力做功的總和是負(fù)的，其絕對(duì)值就是在這一過程中轉(zhuǎn)化成的電能，即[Q=WA1+WA2]。安培力所做總功的數(shù)值與電能的變化量在數(shù)值上是相等的[1]。

二、潛艇類問題——聚焦反電動(dòng)勢

[例2]為了提高潛艇的隱蔽性，就需要降低潛艇的噪音，而采用電磁推進(jìn)器代替螺旋槳推進(jìn)器是降低潛艇噪音的一個(gè)發(fā)展方向。圖2甲是某種電磁推進(jìn)式潛艇的示意圖，其下方有兩組推進(jìn)器，每組由6個(gè)完全相同的、相互獨(dú)立的直線通道推進(jìn)器構(gòu)成，每個(gè)直線通道推進(jìn)器的內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖2乙所示，在直線通道內(nèi)充滿了電阻率為[ρ=0.2 Ω·m]的海水，通道中[ab]cd[-efgh]的長方體空間內(nèi)存在由電阻不計(jì)的勵(lì)磁線圈產(chǎn)生的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為[B=6 T]，方向垂直于[adhe]平面向外，[ab]cd和[efgh]是兩塊與周圍其他材料絕緣的金屬板，當(dāng)兩金屬板與專用直流電源相連后，在兩板之間的海水中產(chǎn)生了沿[e]到[a]方向的恒定電流，設(shè)電流只存在于磁場區(qū)域。設(shè)海水原來是靜止的，當(dāng)兩組推進(jìn)器都開啟，潛艇以[v0=15 m/s]的恒定速度前進(jìn)時(shí)，海水在出口處的速度為[v=15 m/s]。不計(jì)專用直流電源的內(nèi)阻及導(dǎo)線電阻，已知海水密度[ρm=1.0×103 kg/m3]，[Lad=Lae=0.3 m]，[Lab=0.4 m]，[15≈3.87]。求：

（1）直線通道推進(jìn)器兩金屬板間的電流大小;

（2）專用直流電源對(duì)12個(gè)推進(jìn)器提供的總功率。（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

情境分析：此題以潛艇為背景，考查了物理本源問題，這個(gè)物理本源就是力的觀點(diǎn)、能量與做功的觀點(diǎn)。此題第（2）小題，不僅要求學(xué)生關(guān)注生活中的現(xiàn)象，還要求學(xué)生對(duì)觀察到的現(xiàn)象進(jìn)行思考，對(duì)物理本質(zhì)問題進(jìn)行反思與探究，如潛艇勻速前進(jìn)時(shí)有哪些能量參與轉(zhuǎn)化？船尾滾滾噴出水的能量是誰提供的？海水切割磁感線產(chǎn)生的反電動(dòng)勢到哪里去了？下面就從物理本源角度對(duì)第（2）小題進(jìn)行探討。

【用能量守恒的觀點(diǎn)解決問題】

觀察現(xiàn)象，整體把握能量的轉(zhuǎn)化與守恒定律在生活中的應(yīng)用。對(duì)本題，可利用能量的轉(zhuǎn)化與守恒定律從宏觀上把握潛艇行駛過程中所消耗的能量。潛艇在勻速行駛的過程中，單位時(shí)間內(nèi)必須消耗三部分能量。第一部分是焦耳熱功率，海水有一定的電阻，電流通過海水導(dǎo)體時(shí)會(huì)產(chǎn)生焦耳熱，這一點(diǎn)學(xué)生容易理解;第二部分是潛艇的牽引功率，潛艇勻速行駛時(shí)受到牽引力作用，這個(gè)牽引力其實(shí)是海水所受安培力的反作用力，潛艇的牽引力做的功就是牽引力克服海水阻力做功消耗的能量;第三部分是單位時(shí)間內(nèi)海水動(dòng)能的增加值，這部分能量是學(xué)生最容易忘記的，也是本小題的探究重點(diǎn)。潛艇在勻速行駛時(shí)，后面肯定會(huì)噴出一定量翻滾的海水，這部分海水具有一定的動(dòng)能。當(dāng)然，這三部分能量最終會(huì)全部轉(zhuǎn)化為海水的內(nèi)能。具體解析如下：

直流電源提供的電功率的第一部分。通過第（1）小題可求出電流[I=103A]，通過海水時(shí)產(chǎn)生的焦耳熱功率為：

[P1=12I2R]

[R=ρLaeLabLad=0.5 Ω]

代入數(shù)據(jù)可解得[P1=12I2R=6×106 W]

直流電源提供的電功率的第二部分——牽引功率。

[P2=Fv0=12BILaev0=3.24×105 W]

直流電源提供的電功率的第三部分——單位時(shí)間內(nèi)海水動(dòng)能的增加值。

設(shè)單位時(shí)間內(nèi)噴出海水的質(zhì)量為：

[m=ρmLabLaev]

[P3=12ΔEK=6mv2=4.2×104 W]

潛艇的總功率為：[P總=P1+P2+P3=6.366×106 W]

【用反電動(dòng)勢的觀點(diǎn)分析解決問題】

海水切割磁場產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，直流電源提供的恒定電流使海水受到安培力作用，海水在安培力作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生反電動(dòng)勢。設(shè)本題中直流電源的電動(dòng)勢為[E0]，它是可變的電動(dòng)勢，海水產(chǎn)生的反電動(dòng)勢為[E]，如圖3所示。根據(jù)閉合電路歐姆定律有：

[E0-E=IR] ? ? ? ? [E0I=I2R+EI]

從上式可知，直流電源所提供的電功率[E0I]中的一部分轉(zhuǎn)化為焦耳熱功率，另一部分轉(zhuǎn)化為反電動(dòng)勢的功率。通過海水的焦耳熱功率為：

[P1=12I2R=6×106 W]

反電動(dòng)勢的功率為：[P′=EI]

海水在安培力的作用下切割磁感線，做勻加速運(yùn)動(dòng)，相對(duì)地面而言，海水的初速度為零，海水噴出時(shí)的末速度為[v=15m/s]。潛艇在勻速行駛，磁場也在以相同的速度[v0]勻速前進(jìn)，海水切割磁感線的速度應(yīng)該是相對(duì)于潛艇的速度，因此，海水相對(duì)于潛艇的初速度為[v0]，海水相對(duì)于潛艇的末速度為[v0+v]，在這個(gè)過程中海水切割磁感線的平均速度為[v=v0+v0+v2]，產(chǎn)生的反電動(dòng)勢可用平均速度求得：

[E=12BLaev=12BLae（v0+v0+v）2]

因此，反電動(dòng)勢對(duì)應(yīng)的功率為：[P′=EI=12BLae（2v0+v）2I=3.66×105 W]

在此，再探究一下反電動(dòng)勢的本源。反電動(dòng)勢到底實(shí)現(xiàn)了什么能量轉(zhuǎn)化呢？其實(shí)，反電動(dòng)勢實(shí)現(xiàn)的能量轉(zhuǎn)化是把直流電源提供的一部分能量成功地轉(zhuǎn)化為機(jī)械能（牽引潛艇的能量與海水增加的動(dòng)能），這就是反電動(dòng)勢的本源[2]，也可從以下數(shù)據(jù)得到證實(shí)。

[P′=EI=12BLae2v0+v2I=Fv0+12mv′2=P2+P3=3.24×105 W+0.42×105 W=3.66×105 W]

潛艇的總功率為：[P總=P1+P′=6.366×106 W]

【用安培力做功的觀點(diǎn)分析解決問題】

安培力做功實(shí)現(xiàn)電能與機(jī)械能的相互轉(zhuǎn)化。在此題的情境中，海水受到安培力作用，安培力對(duì)海水做正功，海水在安培力的作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)，安培力對(duì)海水所做的功為：

[WFA=Fx1=12BILaev2t=12mv2]

安培力對(duì)潛艇所做的功為：

[W′FA=Fx2=12BILaev0t]

這一對(duì)安培力做功之和為：

[WA=WFA+W′FA=12BILaev0+v2t]

在單位時(shí)間內(nèi)這一對(duì)安培力所做的功為：

[PFA=12BILaev0+v2=0.366×106 W]

安培力做正功，說明把直流電源提供的一部分電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能（牽引潛艇的能量與海水增加的動(dòng)能）。

同理，我們可求出直流電源通過海水導(dǎo)體時(shí)的焦耳熱功率為：[PR=12I2R=6×106 W]

潛艇的總功率為：[P總=PFA+PR=12BILaev0+v2+12I2R=6.366×106 W]

反思與提升：在解決上述問題的過程中，回歸物理本源就是回歸力的觀點(diǎn)、能量與做功的觀點(diǎn)。從上面的解題過程中可以看出，直流電源提供的電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能的那部分能量就是反電動(dòng)勢對(duì)應(yīng)的能量，也就是安培力對(duì)系統(tǒng)所做的總功，這種一一對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系，絕不是一種巧合，真正體現(xiàn)了物理的本源。

[ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ]

[1] ?陸球.電磁感應(yīng)中關(guān)于安培力做功與電阻發(fā)熱量關(guān)系的討論[J].物理教師，2018（11）：55-56.

[2] ?聞壹兵.芻議轉(zhuǎn)動(dòng)的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子線圈中的反電動(dòng)勢[J].物理教學(xué)探討，2020（4）：51-53，55.

（責(zé)任編輯 易志毅）