再談數(shù)學語言及數(shù)學語言能力培養(yǎng)

邵光華　張妍　程玉婷

摘要：數(shù)學語言是伴隨著數(shù)學學科的發(fā)生和發(fā)展而逐漸豐富、系統(tǒng)起來的儲存、傳承以及加工、創(chuàng)造數(shù)學思想和內(nèi)容的工具。數(shù)學語言的特殊表現(xiàn)是數(shù)學模型，也就是數(shù)學的應用。數(shù)學語言具有準確性、簡約性、應用廣泛性等特點﹐從形式上可以分為文字語言、符號語言和圖表語言三類，并具有表達功能、應用功能和思維功能。培養(yǎng)學生的數(shù)學語言能力，除了常見的指向日常表達或口頭表達的做法之外，還需要注意依據(jù)不同的數(shù)學語言形式采取不同的教學策略，加強數(shù)學閱讀，重視模型意識培養(yǎng)，使學生學會“用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”。

關鍵詞：數(shù)學語言;數(shù)學語言能力;數(shù)學核心素養(yǎng)﹔數(shù)學建模

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）明確給出了數(shù)學核心素養(yǎng)的基本構成（凝練表現(xiàn)）：“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界?！边@就將數(shù)學語言的重要性抬到了一個前所未有的高度，讓我們不得不重新審視數(shù)學語言及相關能力培養(yǎng)的問題。

其實，長期以來，數(shù)學語言都備受關注，關于數(shù)學語言的研究一直沒有停止過。目前，中國知網(wǎng)數(shù)據(jù)庫一共收錄了3000多篇主題為“數(shù)學語言”的文獻（詳見下頁表1）。分析發(fā)現(xiàn)，這些文獻多集中于數(shù)學語言的特征、能力結構，影響數(shù)學語言能力發(fā)展的因素以及一般意義上的教學策略研究。本文試從核心素養(yǎng)的角度，對數(shù)學語言的內(nèi)涵、特點、形式、功能及能力培養(yǎng)等，再做一些深入思考。

一、數(shù)學語言的重審視

（一）數(shù)學語言的內(nèi)涵解讀

2022年版課標指出：“數(shù)學語言主要表現(xiàn)為：數(shù)據(jù)意識或數(shù)據(jù)觀念、模型意識或模型觀念、應用意識?！雹龠@個表述比較獨到，但也比較晦澀，可以理解為：處理數(shù)據(jù)使用的是數(shù)學語言，構建模型使用的是數(shù)學語言，利用模型分析、解決問題使用的是數(shù)學語言。對此，2022年版課標在進一步解釋中指出：用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界中的簡單數(shù)量關系與空間形式，運用數(shù)學語言表達現(xiàn)實生活與其他學科中事物的性質、關系和規(guī)律，使用真實數(shù)據(jù)表達、解釋與分析現(xiàn)實世界中的不確定現(xiàn)象。這便在一定意義上表明了數(shù)學語言的內(nèi)涵，即數(shù)學語言是表達數(shù)學思想和內(nèi)容的載體，是表達事物性質、關系和規(guī)律的工具，是表達、解釋與分析不確定現(xiàn)象的數(shù)據(jù)及其處理工具。可以說，數(shù)學語言是伴隨著數(shù)學學科的發(fā)生和發(fā)展而逐漸豐富、系統(tǒng)起來的儲存、傳承以及加工、創(chuàng)造數(shù)學思想和內(nèi)容的工具。因此，數(shù)學語言與數(shù)學內(nèi)容之間有一種互為表里的對應關系。學習數(shù)學（內(nèi)容），在某種層面上也是學習數(shù)學語言，即理解、領會數(shù)學語言所表達的含義。

2022年版課標修訂組組長史寧中教授從表達的內(nèi)容上，對數(shù)學語言做了進一步的明晰和強調(diào)。“數(shù)學語言由數(shù)學的基本概念、符號表達、運算規(guī)則、形式邏輯、模型構建等基本元素組成?！雹谶@一闡釋較為具體地呈現(xiàn)了數(shù)學語言的內(nèi)容構成?！皵?shù)學的語言是什么呢？主要是數(shù)學模型（包括用于數(shù)據(jù)分析的統(tǒng)計模型）。（抽象的）數(shù)學借助于數(shù)學模型回歸現(xiàn)實世界，數(shù)學模型搭建了數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁。一方面，數(shù)學發(fā)展的真正動力是其在現(xiàn)實世界中的應用，數(shù)學要有重大發(fā)展，必須并且只能靠研究者在現(xiàn)實世界中獲取靈感，并在不斷應用的過程中汲取養(yǎng)分……另一方面，在現(xiàn)代社會，幾乎所有的學科在科學化、條理化的過程中都要使用數(shù)學語言，并借助數(shù)學符號構建數(shù)學模型，以此揭示研究對象的性質、關系和規(guī)律。”③這一解讀強調(diào)了數(shù)學語言的特殊表現(xiàn)，就是數(shù)學模型，也就是數(shù)學的應用。學習數(shù)學，歸根結底是要解決問題;掌握數(shù)學語言，才能構建數(shù)學模型解決問題。而且，數(shù)學模型是由數(shù)學符號語言構成的特殊的關系結構，是作為一個符號語言組合體而存在的。

可見，數(shù)學語言的內(nèi)涵似乎更加豐富了，既指通俗的與數(shù)學及數(shù)學教育相關的言語及表達，又指數(shù)學高度專業(yè)化的科學語言，如準確的概念、規(guī)范的符號、形象的圖形、直觀的表格、抽象的結構、復雜的模型等，典型特征是嚴謹?shù)倪壿嫼吞赜械木浞ā?/p>

（二）數(shù)學語言的特點分析

數(shù)學語言與日常語言不同?！叭粘ＵZ言是習俗的產(chǎn)物，也是社會和政治運動的產(chǎn)物，而數(shù)學語言則是慎重的、有意的而且經(jīng)常是精心設計的”①，是一種高度抽象的專業(yè)語言?；诒磉_具有數(shù)學學科特征的內(nèi)容的需要，數(shù)學語言具有如下特點：

一是準確性。作為一門人工語言，數(shù)學語言的顯著特點是含義的準確性。在數(shù)學中，沒有外延模糊、內(nèi)涵不定的概念，也沒有模棱兩可、似是而非的結論，每一個符號、式子等代表的意義都必須是確定的。如果數(shù)學語言不準確，就很難保證推理的嚴謹性以及結論的確定性。人們在進行科學表達時，通常用最精確的數(shù)學語言傳達最準確的信息。即使對于“偶然”發(fā)生的隨機現(xiàn)象，對于具有“不確定性”的隨機事件，也要提出精確的概念和研究方法，來準確地回答這個隨機現(xiàn)象或事件發(fā)生的可能性大小。

二是簡約性。數(shù)學語言應該盡可能清除表達過程中的冗余信息，使自身變得簡潔、精煉，更具有一般性。不同于文學語言需要修飾和描述，數(shù)學語言則直接揭露事物的數(shù)學本質和意義，在用詞上幾乎少到不能再少一個字。②有人用“一個公式勝過一打說明”來表達數(shù)學語言的簡約性。例如，歐拉用小寫字母a、b、c表示三角形的三條邊，相應的大寫字母A、B、C表示對應的三個角，使三角形諸公式表達起來顯得整齊、簡單。③數(shù)學中，絕大部分公式都體現(xiàn)了形式簡潔、內(nèi)容豐富的特點，而用基本的數(shù)學符號語言單位建構的數(shù)學模型顯得精致、簡練。

三是應用廣泛性。數(shù)學的廣泛應用帶來的就是數(shù)學語言的廣泛應用，主要表現(xiàn)在作為數(shù)學語言主要成分的數(shù)學符號語言的以下兩個方面的功能：（1）數(shù)學符號語言是各門科學的通用語言。數(shù)學符號語言在物理、化學、生物學、地理等學科中都發(fā)揮著重要作用，它們把數(shù)學符號語言作為表述自身科學理論的工具。（2）數(shù)學符號語言是世界的、公共的、共同的語言。數(shù)學符號語言是世界各個國家、各個民族的通用語言。盡管各個國家可能使用著各自的語言，同一國家的不同民族也可能使用著不同的語言，但看到數(shù)學符號語言，比如阿拉伯數(shù)字1、2、3、4……盡管讀音不同，卻都能明白其意義?！皵?shù)學無國界”，數(shù)學符號語言具有跨地域的通用性，這給數(shù)學的國際交流、傳播帶來極大的便利。

（三）數(shù)學語言的形式分類

為了清楚地表達數(shù)學思想和觀點，除了數(shù)學符號語言，還可以使用文字或圖表。這些經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)學研究成果或數(shù)學教材中的語言，我們都稱為數(shù)學語言。這樣，從形式上看，數(shù)學語言就可以分為文字語言、符號語言和圖表語言三類。

1.文字語言

數(shù)學中的文字語言是自然語言中用于表達數(shù)學概念、思想、關系、結構等的語言。它通常不是自然文字語言的簡單移植，而是經(jīng)過一定的數(shù)學加工、改造（如精確化、限定、特指等）而形成的，且以數(shù)學概念、術語等形式被界定。例如，“直線”“全等”“相似”“連續(xù)”“區(qū)間”“排列”“組合”“極限”“軌跡”等都是自然文字語言的精確化;“絕對值”“正值”“中線”“負數(shù)”等都是對自然文字語言進行限定的結果;而“倍”“系數(shù)”“指數(shù)”“無理數(shù)”“概率”“正弦”“對數(shù)”“函數(shù)”等都是具有特定含義的數(shù)學文字語言。有些數(shù)學文字語言還具有比喻或象形意義，如“扇形”“中位線”“平行線”“射影”“倒數(shù)”“銳角”“參數(shù)”等，能展現(xiàn)某種直觀，使人較為形象地理解和領會。

數(shù)學文字語言不僅是對自然文字語言的借用，而且是對自然文字語言的發(fā)展和豐富，同時遵循自然文字語言的語法規(guī)則。這也是大多數(shù)情況下兩種語言的語義基本相同的原因。例如，在“兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等”這一表達里，“兩”“平行直線”“第三”“直線”“同位角”“相等”是數(shù)學語言，而“條”“被……所截”是非數(shù)學語言。顯然，只有數(shù)學語言，可能構不成具有明確意義的句子，需要非數(shù)學語言的輔助。當然，數(shù)學語言豐富后，就可以表達了。例如，“平面上兩條平行直線被第三條直線所截”可表示為“直線a、b、ca，a∩b=?，c∩a≠?，c∩b≠?”。

2.符號語言

符號語言是數(shù)學特有的通用語言，是人類數(shù)學思維長期發(fā)展形成的一種語言表達形式，是數(shù)學語言的典型代表。很多時候談論的數(shù)學語言都會被默認為數(shù)學符號語言。按感知規(guī)律，數(shù)學符號分為三種：象形符號、縮寫符號、約定符號。單獨的符號只是字符的一種，數(shù)學符號語言的根本在于符號構成的具有數(shù)學意義的關系、結構、模型，這是數(shù)學語言用于表達世界的基本形式。常見的身份證號、車牌號等，嚴格來說，都不是數(shù)學的應用或數(shù)學語言的表達，因為它不具有數(shù)學意義，只是按某種構成規(guī)則使用或部分使用數(shù)學符號來表達而已，是數(shù)學符號非數(shù)學意義上的使用方式。同一個數(shù)學對象的數(shù)學符號語言表達，可能因不同背景而有不同形式。例如，單位圓在直角坐標系中的符號表示形式，與在復平面中的符號表示形式，以及與在極坐標系中的符號表示形式極為不同。

數(shù)學語言是一種以符號表達為主的特殊語言?！皵?shù)學的效能來自數(shù)學符號。”在影響數(shù)學發(fā)展的因素中，符號化是一種重要的力量。①正是由于數(shù)學的符號化，才得以形成數(shù)學特有的符號語言。數(shù)學的符號化可以理解為用一套含有數(shù)學意義的符號體系來表達數(shù)學對象及其關系、結構、規(guī)律。通過符號化，數(shù)學對象被符號形式表達，數(shù)學研究也就轉化為對符號形式的研究。數(shù)學模型建構使用的都是這種符號化語言，數(shù)學模型本身可以看成數(shù)學語言的一種應用，也可以看成一種特殊的數(shù)學語言表達形式，是用數(shù)學語言表達世界的一種結果。沒有數(shù)學對象的符號化表達，數(shù)學不會走得這么快、這么遠。

3.圖表語言

數(shù)學圖表語言是指包含一定數(shù)學信息的各種圖或表，可以細分為圖形語言（幾何圖形、統(tǒng)計分析圖、集合維恩圖等）、圖像語言（函數(shù)圖像或統(tǒng)計線圖等）和表格語言（統(tǒng)計數(shù)據(jù)表、分析表、框圖等）。它是數(shù)學形象思維的材料和結果，也是數(shù)學抽象思維的重要工具;它既是一種直觀表達的語言，也是一種概要表達（隱藏密集信息）的語言。它與數(shù)學概念、術語、符號、式子、模型等一起構成數(shù)學語言系統(tǒng)。有時，在一定意義上，根據(jù)一定的幾何關系要求構建的幾何圖形，可以看成一種幾何模型。

圖表語言釋義是復雜的，因為有時候含有豐富的信息。例如，一條拋物線的圖像中，直觀的開口方向蘊含著二次項系數(shù)的正負信息，再結合頂點的位置又可以知道一次項系數(shù)的正負信息，而與縱軸的交點包含著常數(shù)項的正負信息等。掌握圖表語言是現(xiàn)代社會的要求，學生必須學會讀圖（表），能讀出圖形、圖像和格表中蘊含的數(shù)學信息來。①

（四）數(shù)學語言的功能解析

與日常生活中所使用的語言一樣，人們可以借助數(shù)學語言進行思維、表達和交流，也可以借助數(shù)學語言認識、理解和反映現(xiàn)實世界。

1.數(shù)學語言的表達功能

數(shù)學語言能夠簡明扼要地表達數(shù)學思想和內(nèi)容，豐富語言文化素養(yǎng)。2022年版課標指出了數(shù)學的語言屬性：“數(shù)學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言?！雹诓⑶疫M一步闡述了數(shù)學語言的表達功能：“數(shù)學為人們提供了一種描述與交流現(xiàn)實世界的表達方式。通過數(shù)學的語言，可以簡約、精確地描述自然現(xiàn)象、科學情境和日常生活中的數(shù)量關系與空間形式;能夠在現(xiàn)實生活與其他學科中構建普適的數(shù)學模型，表達和解決問題;能夠理解數(shù)據(jù)的意義與價值，會用數(shù)據(jù)的分析結果解釋和預測不確定現(xiàn)象，形成合理的判斷或決策;形成數(shù)學的表達與交流能力，發(fā)展應用意識與實踐能力。”③

作為科學的語言，數(shù)學語言自身就是一種數(shù)學應用，其重要作用就是表達自然界的規(guī)律，構建自然界各種相關量之間關系的模型，從而解決問題。圍繞一個問題構建數(shù)學模型，在一定意義上講，就像圍繞一個主題寫一篇作文一樣。語文講究寫作能力，將想表達的思想感情表達出來;數(shù)學建模就是一種用數(shù)學語言“寫作”的能力，準確地表達出某一情境中若干量的數(shù)學意義及相互關系?！皵?shù)學建模能力就是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的素養(yǎng)?！雹軓闹幸部煽闯?，數(shù)學語言在構建數(shù)學模型過程中發(fā)揮的重要的表達功能，對于培養(yǎng)學生的建模能力有著至關重要的作用。2022年版課標也特別提到：“通過欣賞數(shù)學語言的簡潔與優(yōu)美，逐步養(yǎng)成用數(shù)學語言表達與交流的習慣。”⑤

2.數(shù)學語言的應用功能

數(shù)學語言是數(shù)學知識的載體，各種定義、定理、公式、法則和性質等，無不通過適當?shù)臄?shù)學語言來表述。從數(shù)學學習的角度看，學生“數(shù)學語言”的特點及其掌握水平?jīng)Q定了學生能否準確、迅速地理解問題，也是決定學生數(shù)學學習效率高低的重要因素。

關于數(shù)學語言在其他方面的應用價值，其實很早之前，伽利略就給出過論述：“哲學被寫在展現(xiàn)于我們眼前的偉大之書上，這里我指的是宇宙。但是，如果我們不首先學會用來書寫它的語言和符號，我們就無法理解它。這本書是以數(shù)學語言寫的，它的符號就是三角形、圓形以及其他幾何圖形。沒有這些符號的幫助，我們簡直無法理解它的片言只語;沒有這些符號，我們只能在黑暗的迷宮中徒勞地摸索?！雹迶?shù)學是一切科學和技術都使用的語言和工具。正如馬克思所說：“一門科學只有當它達到了能夠成功地運用數(shù)學時，才算真正發(fā)展了?！睌?shù)學語言之于科學的重要性不言而喻。華羅庚先生所說的數(shù)學應用的廣泛性，也在一定意義上表達了數(shù)學語言的應用價值。此外，“伴隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，人們常需要對網(wǎng)絡、文本、聲音、圖像等反映的信息進行數(shù)字化處理，這使數(shù)學的研究領域與應用領域得到極大拓展”①。

3.數(shù)學語言的思維功能

思維是語言的內(nèi)核，語言是思維的外殼，思維和語言之間是相互促進的辯證關系。除了表達和應用這樣的顯性功能之外，數(shù)學語言還有培養(yǎng)數(shù)學思維的隱性功能。②首先，數(shù)學語言具有含義準確的特點，使其在培養(yǎng)思維的嚴密性方面有獨特的作用。③數(shù)學是一門邏輯性極強的學科，作為反映數(shù)學內(nèi)容的語言，數(shù)學語言從形成之初就烙上了邏輯嚴謹?shù)挠『郏蛔种?、符號的一筆不同，就可能使表達的意思相差甚遠甚至截然相反。例如，“除”和“除以”表達的意義正好“倒過來”;集合運算的符號“U”和“n”方向相反，而表達的意義也完全不同。因此，學習、掌握和運用數(shù)學語言的過程，必然能夠鍛煉思維的嚴謹性。其次，數(shù)學語言的直觀性有助于形象思維的培養(yǎng)。數(shù)學圖表語言具有高度的直觀性，其識別、理解、應用既離不開形象思維，同時又能訓練形象思維。再次，數(shù)學語言表達的內(nèi)在邏輯性有助于一般化的邏輯推理（有條理地思考），前因后果、相互聯(lián)系等語言分析能夠使學生養(yǎng)成科學思考的習慣，發(fā)展理性思維。

二、數(shù)學語言能力培養(yǎng)的再思考

關于數(shù)學語言能力培養(yǎng)的終極目標，2022年版課標明確提出“會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”。為了提高學生用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界的能力，很多數(shù)學教育研究者和數(shù)學教師都已意識到，要重視課堂上數(shù)學語言的交流，鼓勵學生數(shù)學語言的表達。在注重數(shù)學語言的教學、引導學生重視數(shù)學語言的學習方面，一些數(shù)學教育研究者，特別是數(shù)學教師，總結了很多有效的策略。例如，從教學方式上講，在概念教學中，重視讓學生說出概念的本質;在計算教學中，重視讓學生說出算理;在幾何教學中，重視讓學生說出圖形的特征;在“用數(shù)學”的教學中，重視讓學生說出思路。④從語言訓練上講，加強數(shù)學閱讀，讓學生會聽數(shù)學語言、聽懂數(shù)學語言、有思考地聽數(shù)學語言⑤;加強數(shù)學詞匯、語義和句法的教學，讓學生會說數(shù)學語言、說清數(shù)學語言，說概念的本質和關鍵詞句、說近似概念中的異同及易混淆之處、說方法;讓學生熟記重要概念、性質，做到“咬文嚼字”，用仿述、講述、概述、擴述、辯述等方法進行不同數(shù)學語言之間的互譯訓練，用多種反饋方法開展使用數(shù)學語言的數(shù)學課外活動，幫助學生形成語法的“網(wǎng)絡”⑥;實行說理訓練、默思訓練、復述訓練、辨析訓練、概述訓練和講述訓練⑦;在對數(shù)學語言的詞素、單詞和詞組、句子和句群、段落、篇章等特點準確把握的基礎上，深刻揭示數(shù)學概念的本質屬性，加強數(shù)學語言語義和句法的教學⑧。但是，這些基本上都指向數(shù)學語言的日常表達或口頭表達，離“用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”的素養(yǎng)要求還存在一定的距離，因為沒有觸及用數(shù)學語言表達世界的最根本之處—構建數(shù)學模型，解決數(shù)學問題。因此，除了上述做法之外，還需要注意以下幾點：

（一）依據(jù)不同的數(shù)學語言形式采取不同的教學策略，打好數(shù)學語言基本功

常見的文字、符號、圖表三種形式的數(shù)學語言的學習是相互制約又相輔相成的。

文字語言是基礎。人們常常將符號表示的關系轉化為文字語言。例如，通過多項式乘法公式推導出平方差公式（a+b）（a-b）= a2—b后，常將其用文字語言描述為“兩數(shù)之和乘以兩數(shù)之差，等于這兩個數(shù)的平方差”。這表明，人們習慣于用文字語言表達數(shù)學關系。對于圖表中的數(shù)學信息，也需要用文字語言表述給其他人聽。數(shù)學文字語言要借助自然文字語言的意義來學習，并重在數(shù)學的嚴謹刻畫。例如，“圓”作為自然口頭語言表達，兒童很小就會，對于“圓”的形象理解和口語意義也基本一致。作為自然文字語言學習058

的時候，也能很好地建立起字面意義與“圓”的形象之間的關聯(lián)。作為數(shù)學文字語言學習的時候，顯然是以自然語言的意義為基礎的。但關鍵是建構起數(shù)學的刻畫：有一個圓心，可視為圓周，圓周上的每一個點到圓心的距離都相等，這個都相等的距離稱為這個圓的半徑。如此，“圓”的數(shù)學意義才能算是被真正理解，成為數(shù)學文字語言。

符號語言是抽象的，每一個符號所表示的都是一個確定的數(shù)學概念（關系）。概念來源于現(xiàn)實世界，經(jīng)過多次抽象而形成，而符號就是概念的一種規(guī)定表示，是抽象基礎上的一種特殊規(guī)定。例如，“圓”的概念抽象出來后給予符號記法“⊙”，“全等”的概念抽象出來后給予符號記法“≌”。符號語言的學習關鍵是建立起符號與符號表達的數(shù)學意義之間的聯(lián)系。

圖表語言是直觀的，圖表常是根據(jù)其他語言表達的意思畫出來的，也就是說，圖表是一種數(shù)學意義的表征方式。例如，函數(shù)y=2x2-3x+x+1的圖像只能是那樣的形狀和位置。那么，反過來，給定一個圖像，應該能夠估計出這個圖像的解析式大致是什么樣的。所以，圖表語言的學習不同于符號語言的學習，重在“數(shù)形結合”、意義相通。例如，“圓”的圖形學習，除了建立這個圖形與圓的本質的聯(lián)系之外，還要認識這個圖形的性質特點，設計含有這個圖形的圖案等。深度的圖表語言學習，是要運用圖表表征關系和結構。例如，根據(jù)問題信息，列表給出清晰的數(shù)據(jù)與關系，通過數(shù)據(jù)表看到或算出數(shù)據(jù)背后的東西;反過來，根據(jù)圖表，也能夠解讀、挖掘出一些隱含的信息。

數(shù)學思維活動是以數(shù)學語言為工具進行的，數(shù)學學習活動在某種意義上就是一種語言活動。教會學生用數(shù)學語言來表達自己的思想和認識，描述現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系，構建現(xiàn)實問題的數(shù)學模型，并分析、推理和證明，需要循序漸進。開始以自然語言和圖形解釋，構建數(shù)學文字語言和圖表語言，漸漸滲透符號語言，并在學習的過程中經(jīng)常將數(shù)學語言轉為自然語言，通過“通俗化”手段建立數(shù)學語言的意義，慢慢促使文字語言、圖表語言、符號語言不斷進階，逐漸豐富數(shù)學語言。通過解決問題，應用數(shù)學語言，逐步逼近“用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”的素養(yǎng)目標。

（二）加強數(shù)學閱讀，提高數(shù)學語言表達能力

語言的學習離不開閱讀，數(shù)學語言學習也離不開數(shù)學閱讀。通過閱讀，理解文中的數(shù)學意義，體會文中的數(shù)學思想，掌握文中的數(shù)學方法，感悟數(shù)學語言的運用。數(shù)學閱讀是一個復雜的思維活動過程，既有知識的同化和順應，也有內(nèi)部的語言轉化，如把一個抽象的內(nèi)容轉化為具體的內(nèi)容，把用符號語言或圖表語言表述的關系轉化為文字語言的形式，把用文字語言表述的關系轉化為符號語言或圖表語言的形式等。在數(shù)學閱讀中，要注意訓練學生用數(shù)學語言清晰、有條理地表達思考路徑、解答過程，把數(shù)學語言表達能力的培養(yǎng)融入數(shù)學知識學習和問題解決的過程中。

學生僅靠聽教師講授，是難以豐富和完善自己的數(shù)學語言系統(tǒng)的;只有通過閱讀，做好與標準數(shù)學語言的交流，才能規(guī)范自己的數(shù)學語言，增強數(shù)學語言的理解能力，從而建立起良好的數(shù)學語言系統(tǒng)，提高數(shù)學語言的表達和交流能力。①通過數(shù)學閱讀，不僅可以訓練數(shù)學語言能力，而且能夠訓練從用一般語言描述的具體材料中捕捉各種數(shù)學信息（包括數(shù)量關系、空間結構、數(shù)據(jù)信息等）的能力，從而提高將日常語言抽象、轉化為數(shù)學語言并用數(shù)學語言表達數(shù)學關系和結構的能力。

（三）突破狹隘的數(shù)學語言能力培養(yǎng)觀，重視數(shù)學模型意識培養(yǎng)

學習數(shù)學，根本上是為了應用數(shù)學知識解決問題。僅膚淺地看懂一些數(shù)學語言表達的東西，是形不成“用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”素養(yǎng)的。所以，要突破傳統(tǒng)的數(shù)學語言能力培養(yǎng)觀，不能止步于背背概念、讀讀定理，知道概念的含義、數(shù)學符號的意義，而要更深層次地理解數(shù)學語言的用途，加強“數(shù)學化”練習。所謂“數(shù)學化”，就是將非數(shù)學問題轉化為數(shù)學問題，用數(shù)學的語言表達數(shù)量關系、構建模型解決問題，是數(shù)學語言應用的根本和核心。②訓練數(shù)學語言應用能力，根本上是訓練建立模型解決問題的能力，數(shù)學建模是最好的數(shù)學語言練習項目。因此，教師應該加強應用數(shù)學解決問題方面的教學，在解題教學中滲透數(shù)學建模（包括數(shù)據(jù)處理）意識的培養(yǎng)，經(jīng)常引導學生根據(jù)現(xiàn)實問題的數(shù)學意義，用數(shù)學語言表達問題，用數(shù)學模型構建問題中變量之間的關系結構，進而解決問題。

也就是說，數(shù)學教師必須清楚，真正“用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”的素養(yǎng)是學會面對現(xiàn)實世界的現(xiàn)象或問題，用數(shù)學的思維方式“抽象化，運用符號表達、建立模型，進而對模型進行邏輯分析、推理和計算”，從根本上說，是用數(shù)學的語言描述、刻畫、建模、求解的能力。例如，一位小朋友在路邊散步，他能數(shù)出“一棵樹，兩棵樹……一共十棵樹”。這是一種數(shù)學語言表達。他又能估計“每相鄰的兩棵樹之間的距離一樣，大概是10米，這樣，從第一棵樹到第十棵樹之間的距離就是90米”。這便是一種更為高級的數(shù)學語言表達。他還能說出“我們來回走10趟，便走了900米;再走一趟，就接近1000米了”。這也是一種更為高級的數(shù)學語言表達。最后，他思考了一個模式：“每相鄰的兩棵樹之間的距離一樣，都是10米。對此，人們常誤以為第一棵樹和第十棵樹之間的距離是10個10米，其實是9個10米。一般地，第一棵樹和第n棵樹之間的距離是（n—1）個10米?！边@才達到了用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界的水平。

此外，數(shù)學建模首先要用數(shù)學語言把實際問題抽象成純粹的數(shù)學問題，然后通過模型構建、分析和求解，把結果用一般人所能理解的語言表述出來。因此，語言的互譯能力也很重要。

（邵光華，寧波大學教師教育學院，二級教授，博士生導師。教育部高等學校教學指導委員會委員。主要研究方向：數(shù)學教育和教師教育。張 妍，浙江省寧波市東恩中學。主要研究方向：數(shù)學教育。程玉婷，寧波大學教師教育學院。主要研究方向：數(shù)學教育。）