“多重體驗”喚醒推理意識的生長

曹炯 朱國榮

【摘? ?要】“尺規(guī)作圖”作為《義務教育數學課程標準（2022年版）》的新增內容，值得教師去積極探索與實踐，尋找可行的教學路徑。實踐中，通過“畫三角形、圍三角形、想三角形”等探究活動驅動學生經歷多重體驗，直觀感知三角形的三邊關系，全面發(fā)展學生的推理意識與空間想象能力，使其深刻體會借助直尺和圓規(guī)畫三角形的數學價值。

【關鍵詞】多重體驗;尺規(guī)作圖;畫三角形;推理意識

四年級學生在學習了“用直尺和圓規(guī)作等長線段”之后，對于圓規(guī)量長度、畫弧的作用已經有了一定的認識。然而，這對于他們借助尺規(guī)來畫三角形仍有很大的挑戰(zhàn)性，主要表現為：無法或難以想到借助圓規(guī)畫弧找到三角形的第三個頂點。這使得“用無刻度的尺和圓規(guī)來作三角形”的教學陷入了瓶頸。那么，如何才能順應學生思維，實施面向全體學生的教學呢？

【課前慎思】

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在例32“作圖理解三角形”中指出：“用直尺和圓規(guī)作三角形，直觀感受為什么三角形中任意兩條邊的長度之和大于第三條邊的長度，即通常所說的‘任意兩邊之和大于第三邊?！边@對“三角形三邊關系”這一內容的教學提出了新的思路。據此，我們進行了研究與實踐，引領學生在用無刻度的直尺和圓規(guī)畫三角形的過程中，不斷思考“怎樣才能畫成三角形”“如何尋找三角形的第三個頂點”“怎樣的三條線段能夠圍成三角形”，感悟三角形三邊關系的直觀意義。

本節(jié)課是在學生學習了“用尺規(guī)作等長線段”的基礎上進行教學的，重點是引導學生理解并掌握“借助無刻度的直尺和圓規(guī)畫出指定邊長的三角形”的做法。具體教學目標如下。

1.能借助圓規(guī)和直尺畫出指定邊長的三角形，在作圖中發(fā)現三角形的三邊關系，能解決與三邊關系相關的數學問題。

2.經歷畫三角形的過程，發(fā)展推理意識與幾何直觀，進一步培養(yǎng)空間意識。

3.感受圓規(guī)的作圖價值，體驗數學作圖的魅力，提高學習數學的興趣。

【教學實踐】

一、任務驅動，探究新知

1.布置挑戰(zhàn)任務

師：同學們，今天這節(jié)課我們一起來研究畫三角形。

師：這是某個三角形的三條邊，請你們想象一下這個三角形的樣子。

師：老師已經畫好了一條邊，標上了字母A和B，這兩個點是三角形的兩個頂點。請你用直尺畫出另外兩條邊，找到第三個頂點。

（課件依次呈現題目，如圖1）

（學生嘗試，教師巡視）

2.分層反饋

師：老師發(fā)現好多同學在畫的過程中遇到了困難，誰愿意來說一說？

（教師呈現學生初步作品，如圖2）

生：我先從A點出發(fā)畫了一條7厘米的邊，可是我在畫6厘米這條邊時，發(fā)現它比6厘米長。

師：看來這個點的位置不合適，那該怎么調整呢？

生：只要把這條邊再往下壓一點就可以了。

師：我來畫一條7厘米的邊，你們覺得怎么樣？（出示圖3）

生：太短了，老師下壓得太厲害了。

師：看來借助直尺不能快速準確地找到三角形的第三個頂點。那么，有沒有更好的方法能讓我們快速、準確地找到這個頂點呢？

生：可以借助圓規(guī)。

師：那我們就借助圓規(guī)，再來試一試。

（學生借助圓規(guī)和直尺畫三角形）

（設計意圖：教師敢于充分暴露學生的學習困難，引導學生直面困境。學生在嘗試調整的過程中感受到很難利用直尺找到三角形的第三個頂點，激發(fā)了借助圓規(guī)來進一步探究的欲望。）

3.二次嘗試

師：已經完成的同學在四人小組內交流一下，說說你是怎么畫的。

（學生小組交流，教師傾聽想法。之后，教師依次呈現3幅作品，如圖4）

師：我們請這位同學來說說他是怎么畫的。

生：我是以點A為中心，使圓規(guī)兩腳之間的距離為7厘米，畫一段弧，然后以點B為中心，使圓規(guī)兩腳之間的距離為6厘米，再畫一段弧，這個交點就是三角形的第三個頂點。

師：為什么這個交點就是三角形的第三個頂點呢？

生：左邊這段弧上所有的點到點A的距離都是7厘米，右邊這段弧上所有的點到點B的距離都是6厘米。因此，這個交點到點A的距離是7厘米，到點B的距離是6厘米。

（播放微課視頻，如圖5）

師：通過觀看微課，老師相信大家都會借助圓規(guī)來畫三角形了。

（設計意圖：學生憑借上一節(jié)課“用尺規(guī)畫等長線段”所積累的基本活動經驗，在嘗試探索中發(fā)現兩條弧的交點就是三角形的第三個頂點，從而畫出了所要求的三角形。教師進一步追問：“為什么這個交點就是三角形的第三個頂點呢？”在追問中使學生明白“交點”背后的數學原理，充分理解形成第三個頂點的數學本質。教師除了關注“怎么畫”的技能，還關注“為什么這么畫”的道理。）

4.鞏固應用

師：請大家畫一個等邊三角形。你們知道什么是等邊三角形嗎？

生：三條邊相等的三角形。

（學生畫圖，教師展示正確作品）

師：它們都是等邊三角形嗎？我們來驗證一下。

（教師示范用圓規(guī)驗證）

師：同桌兩人用圓規(guī)相互驗證一下，看看你的同桌畫對了嗎。

（學生互相驗證）

（設計意圖：在學生探索得出用直尺和圓規(guī)畫三角形的方法后，教師組織學生進行微課學習，進一步明晰畫法，并通過畫等邊三角形熟練作圖的技能。）

二、循序漸進，知識成網

1.判斷作圖

師：是不是任意的三條線段都可以圍成一個三角形呢？

生：不一定！

師：這里有兩組線段（如圖6），你覺得它們都能圍成三角形嗎？把你認為能圍成的用圓規(guī)和直尺畫出來。

（學生畫圖，教師巡視）

（設計意圖：教師以設問的方式將學生再次卷入新的探究活動之中，使他們帶著想象的結果進行嘗試，進而喚醒學生的幾何直觀，點燃他們作圖驗證的強烈愿望。）

2.作品分析

師：哪一組能圍成三角形？

生：第（2）組。

（課件演示畫的過程，如圖7）

師：是這樣嗎？如果先畫5厘米或4厘米，能畫出這個三角形嗎？同桌兩人分工再畫一畫。

（學生分工畫三角形。教師再呈現2個作品，如圖8）

師：仔細觀察這三個三角形的形狀與大小，你發(fā)現了什么？

生：它們的形狀、大小都一樣。

師：那第（1）組能圍成三角形嗎？

生：不能。

（教師呈現學生作品，如圖9）

師：的確圍不成三角形。如果先從2厘米或者4厘米畫起呢？又是怎么樣？你能想象出來嗎？

（學生想象，教師用課件動態(tài)呈現）

師：仔細觀察這兩幅圖，你能用一個算式表示這個現象嗎？（如圖10）

生：2+4<7，不能。（板書）

（課件出示題目，如圖11）

師：用第（3）組中7厘米、4厘米、3厘米的3條線段能圍成三角形嗎？

生：不能！如果兩條線段加起來的和等于另一條邊的長度，交點就在線段上了，撐不起三角形，所以不可能形成三角形。

師：那么，你也能用算式表示這個現象嗎？

生：3+4=7，不能。（板書）

師：第（2）組能用哪個算式表示？

生：4+5>7，能。（板書）

3.小結提煉

師：想一想，怎樣的三條線段才能圍成三角形呢？

生：短的兩條線段加起來大于最長的線段就可以圍成三角形。

（教師板書：較短兩邊之和大于最長邊）

（設計意圖：教師組織學生反復地經歷猜測、作圖、想象與驗證等過程，不僅鞏固了作圖技能，感知了三角形的穩(wěn)定性，還發(fā)現了能圍成三角形的三條線段所應具備的條件。）

三、豐富認知，理解運用

1.挑戰(zhàn)提升

師：兩條線段分別是9厘米和5厘米（如圖12），再添一條整厘米長的線段，使它們能圍成三角形。請把你想到的方案寫下來。

（學生思考，記錄結果）

生：6厘米。

生：13，12，11，10，9，8，7，6，5厘米都可以。

師（板書）：我們挑一個來判斷一下，選7厘米，行嗎？

生：行，5+7>9。

師：最長邊是13厘米，你是怎么找到的？

生：因為9+5=14，最長邊要比14厘米小，題目要求取整厘米數，所以最長的邊是13厘米。

師：那5厘米是怎么找到的？

生：把9厘米看作最長邊，想5厘米加幾厘米要大于9厘米，取整厘米數時，最小是5厘米。

師：也就是說，如果不規(guī)定整厘米數，那么第三條邊只要大于4厘米，小于14厘米都可以。我們一起來看看圍成的三角形的形狀可能是怎樣的。

（幾何畫板動態(tài)演示過程）

小結：如果三角形的兩條邊確定了，當第三條邊的長度發(fā)生變化時，三角形的形狀也會隨之變化。

（設計意圖：教師引導學生在開放性的問題中尋找第三條邊的可能長度，有效地強化了學生的推理意識，發(fā)展了他們的數學推理能力。同時，幾何畫板的動態(tài)演示也逐步促進了學生幾何直觀的生長。）

2.實際運用

（教師出示題目，如圖13）

師：小明在畫三角形時也遇到了一個問題，把這條長12厘米的線段截成三段，然后用它們圍一個三角形，你會怎么截？

師：小明想好了，他說“我先截成兩段6厘米長的線段”。你們同意嗎？

生：不同意，第一次不能分在中點。因為如果把其中的一段看作最長邊，另外一條看成兩條線段之和，那么它們是相等的，圍不出三角形。

師：你會怎么截呢？把你想到的方法記錄下來。

生：4厘米、4厘米、4厘米， 5厘米、5厘米、2厘米，5厘米、4厘米、3厘米。

師：想象一下這三個三角形是什么樣的。（課件依次呈現三角形）

生：4厘米、4厘米、4厘米圍成的是等邊三角形。

生：5厘米、5厘米、2厘米圍成的是等腰三角形。

師：最后一個是什么三角形呢？

生：直角三角形。

（設計意圖：借助線段分割的問題進一步加深學生對三角形三邊關系的理解與應用，提高他們解決實際問題的能力，在見證圖形中進一步發(fā)展空間想象能力。）

四、課堂總結

師：今天我們學習了借助圓規(guī)和直尺來畫三角形。如果繼續(xù)研究，你還想畫什么？

生：畫平行四邊形。

生：橢圓形。

師：有興趣的同學課后可以試著畫一畫。

【教學反思】

一、直面困惑，挖掘數學本質

在初次畫三角形時，大多數學生難以準確地利用直尺找到三角形的第三個頂點。教學中，教師敢于暴露學生的學習困難，引領學生直面真問題，使其充分調用原有的尺規(guī)作等長線段中“用圓規(guī)量長度、畫弧”的經驗，最終成功地找到了第三個頂點的位置，畫出了指定邊長的三角形。而且，教師并未止步于畫出三角形，而是以“為什么這個交點就是三角形的第三個頂點”來追問交點背后的數學本質，即“既滿足到點A的距離等于7厘米，又滿足到點B的距離等于6厘米”。整個環(huán)節(jié)注重透過數學現象看本質，有效地發(fā)展了學生的數學眼光。

二、任務驅動，孕育推理意識

在判斷任意三條線段能否圍成三角形的教學中，教師精心設計學習材料，以任務驅動的方式組織學生反復經歷畫三角形的過程，既鞏固了學生作圖的技能，又培育了學生借助幾何直觀解決數學問題的能力。整個環(huán)節(jié)簡約而不簡單，不僅使學生通過從不同長度的底邊畫起，體驗了三角形的穩(wěn)定性，還巧妙地引導他們根據對不同作圖現象的觀察與分析、猜測與想象、推理與歸納，逐步感悟了三角形三邊關系的實際意義。這種創(chuàng)造探究空間，指導學生根據數學現象推斷出數學結論，發(fā)展學生推理意識的做法值得借鑒。

三、問題引領，發(fā)展想象能力

在“添線段圍三角形”和“截線段圍三角形”兩個探究活動中，教師以核心問題統(tǒng)領教學，引領學生通過列舉的方法尋找第三邊的所有可能情況，然后依托幾何畫板的動態(tài)演示，使學生見證隨著第三邊的變化而生成的不同三角形。同樣，在探究12厘米的不同截法時，學生除了經歷挑戰(zhàn)性任務的考驗、反復地驗證截成的三條線段能否圍成三角形之外，還經歷了根據所給數據想象三角形形狀的過程。上述活動既提高了學生的幾何直觀，又有效地發(fā)展了學生的空間想象能力，使他們對三角形的特征、類型與表象有了更深刻的認識。

（1.浙江省嘉興市嘉善縣教育研究培訓中心? ?314100

2.浙江省嘉興教育學院? ?314000）