“尺規(guī)作圖”突破幾何直觀的局限

何優(yōu)優(yōu) 金勤

【摘? ?要】“畫線段”是“尺規(guī)作圖”的起始課。在教學(xué)中，通過“畫線段，比一比哪個(gè)圖形的周長更長，尋找寶物”三大任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生掌握技能的同時(shí)，在“作圖”的過程中發(fā)展幾何直觀，提升推理能力，拓展創(chuàng)新意識。

【關(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖;畫線段;幾何直觀

本節(jié)課是學(xué)生在小學(xué)階段第一次接觸“尺規(guī)作圖”，他們對新鮮的事物充滿著好奇，迫切地想知道“尺”是什么，“規(guī)”是什么，利用無刻度的直尺和圓規(guī)可以做些什么。教師應(yīng)該怎樣讓學(xué)生在“把玩”直尺和圓規(guī)的過程中，明白尺規(guī)作圖的基本原理和方法？學(xué)習(xí)“尺規(guī)作圖”過程中，能培養(yǎng)學(xué)生的哪些核心素養(yǎng)？

【課前慎思】

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）在例26“用直尺和圓規(guī)作等長線段”中提出：“用無刻度的直尺（或不看直尺的刻度）和圓規(guī)，作一條與給定線段長度相等的線段。”在例29“通過作圖認(rèn)識三角形周長”中提出：“把三角形的三條邊依次畫到一條直線上，認(rèn)識三角形的周長?！北竟?jié)課教學(xué)中，我們將這兩個(gè)例題整合在一起，設(shè)計(jì)了三個(gè)有層次的數(shù)學(xué)任務(wù)：（1）作一條線段等于已知線段。學(xué)生在用尺規(guī)作等長線段的過程中，不僅要知道可以這樣畫，還要知道為什么可以這樣畫?！耙?guī)”是定長，確定兩個(gè)點(diǎn)，“尺”是把兩點(diǎn)連起來。其背后的本質(zhì)是線段的長度是由兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離決定的，這體現(xiàn)了線段長度的數(shù)學(xué)本質(zhì)。（2）比一比哪個(gè)圖形的周長更長。借用現(xiàn)實(shí)情境“比較兩個(gè)基本圖形周長的長短”，讓學(xué)生利用尺規(guī)作圖把圖形的周長轉(zhuǎn)化為線段長度進(jìn)行比較。這一過程既讓學(xué)生體會了利用尺規(guī)作圖解決問題的原理，又讓學(xué)生直觀地理解了線段長度的可加性。（3）尋找寶物。讓學(xué)生初步感受尺規(guī)作圖解決實(shí)際問題的過程。通過這三個(gè)數(shù)學(xué)任務(wù)的完成，提高學(xué)生的動手能力，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和推理意識。

基于上述思考，制訂具體教學(xué)目標(biāo)如下。

1.會用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡。

2.經(jīng)歷用直尺和圓規(guī)將三角形的三條線段畫到一條直線上的過程，直觀感受三角形的周長。

3.在操作中提高學(xué)生的動手能力，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀水平，提升推理意識。

【教學(xué)實(shí)踐】

一、在探索中習(xí)得尺規(guī)作圖的方法

1.回顧畫線段的方法

師：請你畫一條與線段ɑ一樣長的線段。

生：先量出線段長度是4厘米，再畫一條4厘米的線段。（如圖1）

活動一：畫一條與線段a一樣長的線段。

（設(shè)計(jì)意圖：教師通過“畫一條與線段ɑ一樣長的線段”這一探究活動，喚醒學(xué)生原有的認(rèn)知，使其感受兩點(diǎn)確定一條線段的意義，為接下來“尺規(guī)作圖”作鋪墊。）

2.自主探索畫線段

師：這種畫法我們二年級就會了，現(xiàn)在我們要提高難度，只能用沒有刻度的直尺和圓規(guī)，而且不能在直尺上作記號。你們還有辦法畫出與線段ɑ一樣長的線段嗎？

（學(xué)生獨(dú)立探索）

生：先用圓規(guī)把線段ɑ的長度測量出來，移到空白地方標(biāo)上點(diǎn)，再用尺子連起來，這條線段就與線段ɑ的長度一樣了（如圖2）。

師：看來，用圓規(guī)對準(zhǔn)兩個(gè)端點(diǎn)，線段的長度也就確定下來了。

（設(shè)計(jì)意圖：教師在給學(xué)生提供這些作圖工具時(shí)，學(xué)生能想到在沒有刻度的直尺上作記號。教師明確要求——不能在直尺上作記號，迫使學(xué)生思考其他方法。在操作過程中讓學(xué)生感知用圓規(guī)兩腳尖的距離刻畫線段的長度，感受圓規(guī)的兩點(diǎn)確定一條線段長度的意義。）

3.嘗試尺規(guī)作線段

（多媒體播放微課，如圖3）

師：用尺規(guī)作圖的方法再畫一條與線段ɑ一樣長的線段。

（學(xué)生動手操作）

師：你們來說我來畫。

（設(shè)計(jì)意圖：借助微課出示規(guī)范的“畫線段”方法，讓學(xué)生了解作圖的原理，保留作圖的痕跡。通過動手操作，感受圖形的性質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀。）

二、在運(yùn)用中掌握尺規(guī)作圖的技能

1.猜一猜

師：試試誰的眼力強(qiáng)，你認(rèn)為哪個(gè)圖形的周長更長？（如圖4）

生：三角形的周長長。

生：正方形的周長長。

生：一樣長。

2.比一比

師：你們能借助圓規(guī)和沒有刻度的直尺來比較嗎？先想一想你打算怎樣來比較這兩個(gè)圖形的周長。

生：我想把三角形的周長畫到一條直線上，把正方形的周長也畫到一條直線上，然后進(jìn)行比較。

……

師：聽了同學(xué)們的方法，大家動手試試。

（學(xué)生嘗試，教師巡視）

3.說一說

師：現(xiàn)在能肯定哪個(gè)圖形的周長更長嗎？你是怎么比較的？

生：三角形的周長更長。我先把三角形的周長畫在一條射線上，再把正方形的周長也畫在一條射線上。

（呈現(xiàn)學(xué)生作品，如圖5）

師：誰來說一說他是怎么比較的？

生：他先畫一條射線，把線段ɑ畫在射線上，再把線段b和線段c依次畫在射線上。同樣把正方形的周長也畫在了射線上。

師：在圖上你們能找出它們的周長嗎？

生：上面的線段AD是三角形周長，下面的線段AE是正方形周長。

師：我們能看出三角形周長更長，那么你們在畫正方形周長時(shí)都量了4次？

生：量一次就可以了，因?yàn)檎叫蔚倪呴L是相等的。

師：還有一位同學(xué)是這樣畫的。（出示圖6）他也分別畫出了三角形和正方形的周長。直接觀察比較誰的周長更長的方法是行不通了，你有更好的辦法嗎？

生：先用圓規(guī)測量出正方形的周長，再將正方形的周長移到三角形的周長上，發(fā)現(xiàn)三角形的周長更長一些。

（設(shè)計(jì)意圖：通過比較哪個(gè)圖形的周長更長的活動，讓學(xué)生經(jīng)歷用圓規(guī)依次度量三角形的三條邊，并首尾相接畫在射線上的過程，直觀感知這條線段的長度就是三角形的周長，感知線段長度的可加性。而畫出正方形的周長，只需要截取一次就能完成。引導(dǎo)學(xué)生用圓規(guī)來進(jìn)行長短比較，厘清尺規(guī)作圖的本質(zhì)。）

4.畫一畫

師：你們能再作出一條線段，使它的長度等于三角形和正方形周長的差嗎？

（學(xué)生動手操作）

師：誰愿意介紹一下你的方法？

生：先畫一條射線AP，用圓規(guī)截取三角形的周長，畫在射線上是線段AB，再截取正方形的周長，畫到射線上是線段AC，那么線段BC就是三角形和正方形周長的差（如圖7）。

師：還有一位同學(xué)是這樣畫的，能看明白他的方法嗎？（如圖8）

生：用圓規(guī)把正方形的周長移到三角形的周長所在的直線上，那么線段BC就是三角形與正方形周長的差。

（設(shè)計(jì)意圖：教師借助作線段差的探究活動，讓學(xué)生在運(yùn)用過程中熟練掌握用尺規(guī)作線段和或差的方法，發(fā)展學(xué)生的推理意識。）

三、在拓展中明晰尺規(guī)作圖的原理

師：接下來，我們要一起來玩一個(gè)游戲！有一塊正方形草坪ABCD，被對角線分成了四個(gè)三角形的區(qū)域。在這塊草坪上，某個(gè)點(diǎn)的下面藏著一個(gè)寶物。藏寶人給大家提供了兩個(gè)尋寶錦囊，里面有尋寶的線索。你們想先打開哪個(gè)？（如圖9）

師（點(diǎn)開錦囊1）：根據(jù)這條線索，想一想寶物可能在哪里。你能找到它嗎？

（學(xué)生動手操作）

師：你是怎么找的？

生：我先用圓規(guī)截取了正方形的邊長，然后在對角線上畫了一下，這個(gè)交點(diǎn)就是寶物的位置（如圖10）。

師：大家同意嗎？寶物一定在這里嗎？

生：寶物不一定在這里，這一條弧上都有可能有寶藏（如圖11）。

師：為什么這條弧上的每個(gè)位置都可能是寶物所在的地方呢？

生：因?yàn)楫嫽〉臅r(shí)候，圓規(guī)兩腳間的距離是不變的，所以這條弧上的任意一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A的距離都是正方形的邊長。

（設(shè)計(jì)意圖：教師通過追問“寶物一定在這里嗎”，引發(fā)學(xué)生深度思考，使學(xué)生明白這條弧上的每一個(gè)點(diǎn)都符合錦囊1所給的條件，從而理解尺規(guī)作圖的原理：因?yàn)閳A規(guī)兩腳之間的距離始終沒有改變，所以同一條弧上的任意一點(diǎn)到中心點(diǎn)的距離都相等。這為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)用尺規(guī)作三角形和掌握圓的本質(zhì)打下了基礎(chǔ)。）

師：看來只有一個(gè)信息是找不到寶物的，我們再打開錦囊2，現(xiàn)在你能確定寶物的位置了嗎？自己試著畫一畫。

（學(xué)生動手操作）

師：找到寶物了嗎？誰愿意來分享下你找的過程？

生：我先通過圓規(guī)把兩腳之間的距離確定為對角線一半的長度，然后把圓規(guī)的一只腳定在B點(diǎn)，畫出第二條弧。這兩條弧的交點(diǎn)，就是寶物所在的位置（如圖12）。

師：大家有什么問題要問他嗎？

生：為什么這個(gè)交點(diǎn)就是寶物所在的位置呢？

生：因?yàn)檫@個(gè)點(diǎn)既符合了錦囊1的條件，又符合了錦囊2的條件。

生：因?yàn)檫@個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于正方形的邊長，到點(diǎn)B的距離等于對角線的一半。

師：大家都理解了嗎？老師還看到有一位同學(xué)很容易就找到了寶物，能看明白她的方法嗎？（如圖13）

生：她畫第二條弧時(shí)沒有全部畫出來，只畫了和第一條弧相交的這個(gè)點(diǎn)。

（設(shè)計(jì)意圖：通過“尋寶游戲”，引導(dǎo)學(xué)生利用尺規(guī)作圖解決問題，讓學(xué)生在探索、交流、思辨的過程中，明晰了尺規(guī)作圖的原理，即圓規(guī)兩腳之間的距離不變，弧上任意一點(diǎn)到中心點(diǎn)的距離相等。）

四、課堂總結(jié)

師：同學(xué)們，今天我們一起研究了“畫線段”，你有什么收獲嗎？

生：我學(xué)會了用尺規(guī)作圖這種新的方法來畫線段。

生：我會用尺規(guī)作圖形的周長和比較圖形的周長。

師：是的，尺規(guī)作圖里還有很多學(xué)問等著我們，一起期待下一節(jié)課。

【教學(xué)反思】

一、初識尺規(guī)，在玩中積累作圖經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展幾何直觀

在初識尺規(guī)時(shí)，教師鼓勵(lì)學(xué)生在玩中積累作圖經(jīng)驗(yàn)。在解決如何“作一條與線段ɑ一樣長的線段”時(shí)，找準(zhǔn)學(xué)生用有刻度尺作圖的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，打破學(xué)生在無刻度尺上做記號的慣性思維，引導(dǎo)學(xué)生用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作出與給定線段一樣長的線段。在構(gòu)思作圖、實(shí)際操作、概括步驟的過程中，讓學(xué)生把握畫線段的本質(zhì)，明晰作圖的思維路徑?！爱嬀€段”的本質(zhì)就是確定線段的兩個(gè)端點(diǎn)，尺規(guī)作圖中“規(guī)”的作用就是確定長度，而“尺”便起到了畫直線的作用。這個(gè)環(huán)節(jié)旨在讓學(xué)生在玩中積累尺規(guī)作圖的經(jīng)驗(yàn)，有效地發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。

二、再探尺規(guī)，在做中體會作圖價(jià)值，提升推理能力

在初識尺規(guī)，明白了尺規(guī)作圖的原理后，教師設(shè)計(jì)了充滿趣味的現(xiàn)實(shí)情境“比一比哪個(gè)圖形的周長更長”，引發(fā)學(xué)生思維的沖突。在無法用刻度尺精確測量的前提下，該怎么比較呢？促使學(xué)生思考用尺規(guī)作圖的方法進(jìn)行比較，發(fā)揮學(xué)生的想象力，經(jīng)歷用沒有刻度的直尺和圓規(guī)將三角形和正方形的邊畫到一條直線上的過程，直觀感受圖形由折線變?yōu)橹本€的動態(tài)變化過程，體會線段的可加性和作圖的價(jià)值。整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)緊扣“2022年版課標(biāo)”，鼓勵(lì)學(xué)生在不斷的嘗試、對比、辨析、想象中提升推理能力，加深對圖形關(guān)系的理解和探索。

三、運(yùn)用尺規(guī)，在思中探索作圖素養(yǎng)，拓展創(chuàng)新意識

教學(xué)最后一環(huán)節(jié)時(shí)，教師設(shè)計(jì)了一個(gè)開放性的“尋寶游戲”，幫助學(xué)生在游戲中感知尺規(guī)作圖是一項(xiàng)技能，更是思考和解決實(shí)際生活問題的工具。教學(xué)圍繞“寶物到底在哪里”，引導(dǎo)學(xué)生在初步嘗試、反思困難、合作探索、比較方法的學(xué)習(xí)中有條理地感受圓規(guī)畫弧的重要價(jià)值，體會到作出兩弧的交點(diǎn)就找到了寶物的位置。鼓勵(lì)學(xué)生在“尋寶”過程中，感受作圖的樂趣，實(shí)現(xiàn)自我的反思與調(diào)整。這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)為后續(xù)教學(xué)“畫三角形”奠定了基礎(chǔ)，這樣的探索活動，培養(yǎng)了學(xué)生的探究欲望，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新意識，讓數(shù)學(xué)更有數(shù)學(xué)味。

（浙江省嘉興市嘉善縣第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)? ?314100）