對(duì)2022年高考乙卷理科數(shù)學(xué)第20題的多角度探析

摘 要：本文從2022年高考乙卷理科數(shù)學(xué)解析幾何大題出發(fā)，對(duì)不同解法進(jìn)行探析并點(diǎn)評(píng)其特征，之后進(jìn)一步深入探析本題的背景，提出了若干推廣命題.

關(guān)鍵詞：高考乙卷理科數(shù)學(xué);解析幾何;解法探析

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2022）22-0083-06

1 試題呈現(xiàn)

題目 已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，y軸，且過點(diǎn)A0，-2，B32，-1兩點(diǎn).

（1）求E的方程;

（2）設(shè)過點(diǎn)P1，-2的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足MT=TH.證明：直線HN過定點(diǎn).

所以直線過定點(diǎn)0，-2.

點(diǎn)評(píng) 本解法從橢圓的參數(shù)方程入手，首先用參數(shù)方程表示直線MN，因?yàn)辄c(diǎn)P在此直線上，所以可得到兩個(gè)恒等式，之后寫出直線NH方程，借助剛才得到的兩個(gè)恒等式，化簡(jiǎn)了直線NH的斜率和縱截距的表達(dá)式，最后算出定值.

在運(yùn)算中，分式約分時(shí)約去sinα-β2，因M，N是橢圓上不同的兩點(diǎn)，所以sinα-β2≠0.同時(shí)，在化簡(jiǎn)時(shí)還約去了cosα-β2，驗(yàn)證當(dāng)cosα-β2=0時(shí)，點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，聯(lián)立直線MN與橢圓方程4x2+3y2=12y=-2x，可得M32，-3，N-32，3，

T3-332，-3，H6-732，-3，所以直線NH的方程可寫為y-3=2333-6x+32，當(dāng)x=0時(shí)，易知y=-2. 所以，結(jié)論仍然是成立的.

命題2 已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，y軸，且過點(diǎn)A0，-2，B32，-1兩點(diǎn). 設(shè)過點(diǎn)P1，-2的直線交E于M，N兩點(diǎn)，證明：2kAB=1kAM+1kAN.

證明 根據(jù)探析5的仿射變換，可將命題2轉(zhuǎn)化為命題1，故命題2成立. 注意，仿射前kAB與仿射后kA′B′的關(guān)系是kAB=32kA′B′，其它直線斜率仿射前后系數(shù)之比仍為32.所以，本質(zhì)上命題2和命題1是相同的.

點(diǎn)評(píng) 命題1與2本質(zhì)相同，均刻畫了在切點(diǎn)弦與割線的構(gòu)型之下的斜率關(guān)系.如果在解決這道高考題目之前得到結(jié)論2kAB=1kAM+1kAN，設(shè)直線AN和MT交于點(diǎn)H′，2xTyT+2=xMyT+2+xH′yT+2，可得到2xT=xM+xH′，所以，可得點(diǎn)T是M，H′的中點(diǎn).所以點(diǎn)H和H′重合，題目也順利獲得了解決.

探析7（深入推廣，探析一般情形）

命題3 如圖3，對(duì)圓x2+y2=r2，Px0，y0是圓外任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)為A，B，并且過點(diǎn)P作圓的割線，交圓于M，N兩點(diǎn)，線段MN與線段AB交于點(diǎn)Q，則有關(guān)系1PM+1PN=2PQ.

證明 根據(jù)探析5，可得N，Q，M，P為調(diào)和點(diǎn)列，所以NQQM=NPPM.設(shè)NQ=x，QM=y，MP=z，已知比例式為xy=x+y+zz，

Px0，y0是橢圓外任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的切線，切點(diǎn)為A，B，并且過點(diǎn)P作橢圓的割線，交橢圓于M，N兩點(diǎn)，線段MN與線段AB交于點(diǎn)Q，則有關(guān)系1PM+1PN=2PQ.

證明 根據(jù)仿射變換，設(shè)仿射變換前任意一點(diǎn)坐標(biāo)為x，y，仿射變換后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為x′，y′，建立仿射變換x′=xa，y′=yb， 可將橢圓仿射為x′2+y′2=1.

點(diǎn)評(píng) 命題3，4為命題5奠定了基礎(chǔ)，命題5將調(diào)和點(diǎn)列這種線段的比例數(shù)量關(guān)系逐漸轉(zhuǎn)化為斜率表達(dá)式，斜率本質(zhì)是用來刻畫幾何中的位置關(guān)系的關(guān)鍵量.

命題5 對(duì)橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0，Px0，y0是橢圓外任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的切線，切點(diǎn)為A，B，并且過點(diǎn)P作橢圓的割線，交橢圓于M，N兩點(diǎn)，線段MN與線段AB交于點(diǎn)Q，則有關(guān)系1xP-xM+1xP-xN=2xP-xQ.

證明 作N，Q，M，P在x軸上的正射影，可知其正射影仍然為調(diào)和點(diǎn)列，故1xP-xM+1xP-xN=2xP-xQ成立.

命題6 對(duì)橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0，

Px0，y0是雙曲線外一點(diǎn)，當(dāng)過點(diǎn)P切線存在且有2條時(shí)，過點(diǎn)P作雙曲線的切線，切點(diǎn)為A，B，并且過點(diǎn)P作雙曲線的割線，交雙曲線于M，N兩點(diǎn)，直線MN與線段AB交于點(diǎn)Q，則有關(guān)系1PM+1PN=2PQ，1kAM-kAP+1kAN-kAP=2kAQ-kAP成立.

命題8 對(duì)拋物線y2=2pxp>0，Px0，y0是拋物線外任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線的切線，切點(diǎn)為A，B，并且過點(diǎn)P作拋物線的割線，交拋物線于M，N兩點(diǎn)，直線MN與線段AB交于點(diǎn)Q，則有關(guān)系1PM+1PN=2PQ，1kAM-kAP+1kAN-kAP=2kAQ-kAP成立.

4 進(jìn)一步思考與總結(jié)

全國(guó)乙卷這道圓錐曲線問題以深刻的背景，清晰的表達(dá)，向我們呈現(xiàn)了一個(gè)圖形鮮明，解法多樣，層次多樣的數(shù)學(xué)問題. 本題深刻地、綜合地考查了學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，有較強(qiáng)的區(qū)分度. 在平常的學(xué)習(xí)中，要特別注意對(duì)于背景結(jié)論的挖掘與反思，不能只停留在表面階段. 從幾何到代數(shù)，再到算理，橫向縱向多維比較才能真正做到通一類、會(huì)一類，研究透徹一類數(shù)學(xué)問題. 今后的教學(xué)應(yīng)以數(shù)學(xué)問題為導(dǎo)向，深入挖掘，多面剖析，才能達(dá)到真正理解數(shù)學(xué)問題，提高數(shù)學(xué)能力的目的.

參考文獻(xiàn)：

[1]金毅.圓錐曲線的思想方法[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2021.

[2] 曹玨贇，葉中豪.調(diào)和四邊形及其應(yīng)用[J].中等數(shù)學(xué)，2016（01）：2-7.

[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡(jiǎn)介：金毅（1992-），男，碩士，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.