變中不變　美在其中

摘 要：圓錐曲線中的定點(diǎn)問題一直是高考中的熱點(diǎn)、難點(diǎn)問題.考生因不理解它的美——撲朔迷離的變化中存在的不變性，以致無法解決解析幾何問題.本文主要以2022年福建省省檢試題——圓錐曲線中動(dòng)圓過定點(diǎn)問題為例，對(duì)解題教學(xué)中如何有效解決問題進(jìn)行詳細(xì)闡述.

關(guān)鍵詞：定點(diǎn);幾何條件;代數(shù)化;數(shù)學(xué)思想方法

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2022）22-0039-03

正因?yàn)閳A錐曲線千變幻化，才能成就它的美，那美在哪里呢？美在撲朔迷離的變化中存在不變的性質(zhì)，如定點(diǎn)、定值問題.

1 題目呈現(xiàn)

試題 （2022年福建省高三畢業(yè)班質(zhì)檢試題）已知橢圓C的中心為O，離心率為22.圓O在C的內(nèi)部，半徑為63.P，Q分別為C和圓O上的動(dòng)點(diǎn)，且P，Q兩點(diǎn)的最小距離為1-63.

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求C的方程;

（2）A，B是C上不同的兩點(diǎn)，且直線AB與以O(shè)A為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)在圓O上.求證：以AB為直徑的圓過定點(diǎn).

2 題源探析

本題與2009年全國(guó)山東高考理科卷第22題如出一轍.

設(shè)橢圓E：x2a2+y2b2=1a>b>0過M2，2，N6，1兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）是否存在圓心為原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且OA⊥OB？若存在，寫出該圓的方程，并求AB的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由.

兩道試題的第（2）問有異曲同工之妙，都是與定圓相切的直線與圓錐曲線相交，涉及垂直條件的運(yùn)用與轉(zhuǎn)化，考查了特殊與一般思想的運(yùn)用.不同之處在于：高考題是已知OA⊥OB，考查能否找到一個(gè)圓心在原點(diǎn)的圓與直線AB相切，而省檢試題在于試題的結(jié)論變成條件，其條件變?yōu)槲覀円C明的結(jié)論.高考題的表征形式較為清晰明了，而省檢試題描述了點(diǎn)、線與圓的形態(tài)與變化過程，給學(xué)生的數(shù)學(xué)表征造成了一定的障礙.

但在解題中會(huì)發(fā)現(xiàn)曲線的幾個(gè)要素在變化，雖有圓的半徑、直線方程中的斜率、截距等眾多的因素干擾，但解決問題的思路是一樣的，均考查了數(shù)學(xué)表征的能力和運(yùn)用特殊與一般思想解決問題的素養(yǎng).

3 解法剖析

第（1）問不難，如圖1建立平面直角坐標(biāo)系，易得C的方程為x22+y2=1.

難在第（2）問，首先需對(duì)給定條件作幾何推演，找出幾何關(guān)系，再將幾何條件代數(shù)化予以求解.

角度2 因?yàn)橹本€AB與以O(shè)A為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)在圓O上，所以直線AB與圓O相切.利用特殊情況，當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，不妨設(shè)直線為x=63，則得到A63，63，B63，-63.又因?yàn)橐訟B為直徑的圓過定點(diǎn)，則所對(duì)應(yīng)的向量數(shù)量積為0.所以猜測(cè)點(diǎn)O即為所求的點(diǎn).驗(yàn)證斜率不存在的情況同法1.

角度3 當(dāng)無法挖掘出以AB為直徑的圓過定點(diǎn)O，由于對(duì)稱性可知，經(jīng)過的定點(diǎn)一定在x軸上，設(shè)定點(diǎn)為N（t，0），驗(yàn)證NA·NB=（x1-t）（x2-t）+y1y2=0時(shí)，t=0.則以AB為直徑的圓過點(diǎn)O.

當(dāng)直線AB垂直于x軸，驗(yàn)證以AB為直徑的圓過點(diǎn)O.

4 思想賞析

以上六個(gè)角度將解析幾何研究的基本方法和基本思想體現(xiàn)得淋漓盡致，其基本思路：幾何條件→代數(shù)形式→代數(shù)結(jié)果→幾何條件，即：充分挖掘幾何條件，轉(zhuǎn)化代數(shù)形式，通過代數(shù)運(yùn)算得到代數(shù)結(jié)果，代數(shù)結(jié)果用幾何條件表達(dá).最主要就是要理解問題的實(shí)質(zhì)，從而建立條件與結(jié)論之間的聯(lián)系.

角度1到角度4立足于幾何條件“AB為直徑的圓過定點(diǎn)”充分轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與AB的數(shù)量積為0，利用特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、方程思想解決問題.

角度5到角度6立足于幾何條件“AB為直徑的圓過定點(diǎn)”充分轉(zhuǎn)化為將AB為直徑的圓方程寫出來，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想得到過定點(diǎn).

上述哪個(gè)角度比較好呢？顯然，“AB為直徑的圓過定點(diǎn)”充分轉(zhuǎn)化為“定點(diǎn)與AB的數(shù)量積為0”運(yùn)算更為簡(jiǎn)便.若通過對(duì)角度1到角度4對(duì)比，發(fā)現(xiàn)：（1）如若學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想可以充分挖掘幾何條件：AB為直徑的圓過定點(diǎn)O;（2）學(xué)生利用特殊到一般思想引領(lǐng)，則大大降低求解運(yùn)算.

正因如此，破解解析幾何問題的基本思想是用代數(shù)手段來研究幾何問題，這里很自然需要我們充分挖掘幾何條件，將其代數(shù)化，同樣通過代數(shù)運(yùn)算得到的代數(shù)形式幾何化，進(jìn)而建立條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，同時(shí)我們要樹立運(yùn)用思想引領(lǐng)解題意識(shí)，運(yùn)算就會(huì)變得簡(jiǎn)單，解題就會(huì)揮灑自如.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2020年修訂版）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2] 林新建.我的教學(xué)主張——自然數(shù)學(xué)[M]. 廈門：廈門大學(xué)出版社，2020.

[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡(jiǎn)介：林琳琳（1988.11-），女，福建省福清人，碩士，中學(xué)二級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度立項(xiàng)課題“基于學(xué)科融合的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)案例研究”（項(xiàng)目編號(hào)：FJJKXB20—694）;福清市教育科學(xué)研究 “十四五”規(guī)劃2021年度專項(xiàng)課題“‘四元五環(huán)教學(xué)在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：FQ2021ZX006）.