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    一道2021年“希望杯”競賽題的解法探究

    2022-05-30 15:24:13林國紅
    關(guān)鍵詞:復(fù)數(shù)競賽

    摘 要:文章對一道2021年“希望杯”的試題進行分析,并從不同的視角給出五種解法.

    關(guān)鍵詞:希望杯;競賽;三角;復(fù)數(shù)

    中圖分類號:G632 文獻標識碼:A 文章編號:1008-0333(2022)22-0016-04

    1 題目呈現(xiàn)

    題目 △ABC是邊長為2的等邊三角形,頂點A在x軸的非負半軸上滑動,頂點B在y軸的非負半軸上滑動,求△ABC的重心G的軌跡方程.

    這是2021年第三十一屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高一第2試第17題(壓軸題),本題短小精悍、構(gòu)思獨特,綜合考查考生邏輯思維、推理論證、運算、以及分析問題和解決問題等方面的能力,涉及的數(shù)學(xué)知識與蘊含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富,值得深入研究.

    2 題目解析

    評注 解法1利用等邊三角形特殊的邊角關(guān)系,巧妙地將點的坐標以角為參數(shù)來表示,再利用三角恒等變換及三角基本關(guān)系進行求解,難點是如何合理利用邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為點的坐標.

    評注 解法2與解法3借助向量與復(fù)數(shù)的相關(guān)知識,利用旋轉(zhuǎn)變換的思想進行解答,兩種解法建立在同一個解題思路上,從不同的設(shè)點角度解決問題,解題方法新穎巧妙,過程簡潔.所以在競賽層面,要重視方法的積累和知識的儲備,熟練掌握一些常用的方法與結(jié)論,才有可能縮短思維的長度,提高效率,達到事半功倍的效果.

    解法4 如圖2,設(shè)AB的中點為E,連接CE.

    評注 解法5借助平面幾何的性質(zhì)進行解答,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想,運算量較少.解析幾何問題的本質(zhì)仍是幾何問題,解題時若能充分把握解析幾何的圖形特征,挖掘圖形相應(yīng)的幾何性質(zhì),將解析法與平面幾何方法相結(jié)合,往往能簡化運算,優(yōu)化解題過程,起到四兩撥千斤之功效.

    以上的幾種解法,從不同的角度出發(fā)思考問題,各顯神通,這充分體現(xiàn)試題的不拘一格,一道試題考查多種能力、多種思想方法.學(xué)數(shù)學(xué)離不開解題,數(shù)學(xué)家波利亞曾說:“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”同時要注意的是,數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半,更重要的是在解題中要善于觀察、善于思考、善于轉(zhuǎn)化,只有這樣才能將零散的數(shù)學(xué)知識串聯(lián)起來,運用自如.

    參考文獻:

    [1]林國紅.一道聯(lián)賽題的解法賞析[J].數(shù)理天地(高中版),2020(11):32-33.

    [2] 林國紅.一道2018年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽題的解法探析與推廣[J].理科考試研究,2020,27(03):17-20.

    [責(zé)任編輯:李 璟]

    收稿日期:2022-05-05

    作者簡介:林國紅(1977-),男,廣東省佛山人,本科,中學(xué)高級教師,從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

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