指向數(shù)學(xué)文化的問題鏈教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施原則

唐恒鈞 李佳薇

【摘 要】數(shù)學(xué)文化的視角從多個(gè)方面為數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)帶來了新的認(rèn)識(shí)，因而指向數(shù)學(xué)文化的問題鏈教學(xué)在設(shè)計(jì)與實(shí)施中需要遵循數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)的多重性、數(shù)學(xué)問題的境脈性、問題解決的實(shí)踐性等原則。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)問題鏈;教學(xué)原則

筆者在《數(shù)學(xué)文化的教學(xué)意蘊(yùn)及問題鏈的價(jià)值》中，探討了問題鏈在為學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)展的文化動(dòng)因，感受數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)的文化系統(tǒng)時(shí)具備的價(jià)值[1]。那么，為了彰顯數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)又該如何設(shè)計(jì)？要回答這個(gè)問題，我們先來思考一個(gè)具有基礎(chǔ)性的問題，即數(shù)學(xué)文化這一新的視角能給數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)帶來哪些新的認(rèn)識(shí)？

一、數(shù)學(xué)文化視角下問題鏈教學(xué)的新認(rèn)識(shí)

從文化的視角看數(shù)學(xué)，呈現(xiàn)了更完整、更全面的數(shù)學(xué)面貌。其中既包含作為文化活動(dòng)靜態(tài)結(jié)果的數(shù)學(xué)知識(shí)體系及動(dòng)態(tài)過程，也包含促動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的文化動(dòng)因，還包含數(shù)學(xué)在人類文明進(jìn)步中發(fā)揮的重要文化力量，形成了一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)產(chǎn)生發(fā)展的動(dòng)因、過程、結(jié)果以及發(fā)揮文化力量的完整譜系。這為更全面地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值提供了視角。數(shù)學(xué)教育的目的不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)的傳承，也不僅僅是數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，而是一種以數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)，包含數(shù)學(xué)方法、思想、精神于一體的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的涵養(yǎng)。正如喻平對(duì)知識(shí)教育與文化教育間的關(guān)系進(jìn)行分析后指出的，文化教育是知識(shí)教育的拓展，將教育內(nèi)容從知識(shí)擴(kuò)大到整個(gè)文化，強(qiáng)調(diào)的不僅僅是讓學(xué)生學(xué)習(xí)靜態(tài)的知識(shí)，還要使學(xué)生受到學(xué)科文化的全面熏陶，包括對(duì)創(chuàng)造知識(shí)的源泉、動(dòng)態(tài)的歷史過程的認(rèn)識(shí)，形成科學(xué)的理想、信念、精神、價(jià)值觀和人生觀[2]。

盡管我們過去在關(guān)于數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)的研究中，也充分地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)的文化實(shí)踐性以及數(shù)學(xué)問題鏈在教學(xué)改革中的文化基礎(chǔ)問題，但關(guān)注得比較多的還是數(shù)學(xué)內(nèi)部的思想、方法及其蘊(yùn)含的教育價(jià)值，其主要從數(shù)學(xué)方法論的視角提出了數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的關(guān)鍵點(diǎn)[3]1，73-106。上述從文化的角度理解數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教育的觀點(diǎn)能進(jìn)一步拓寬關(guān)于數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)的認(rèn)識(shí)。

（一）體現(xiàn)數(shù)學(xué)與文化聯(lián)系的多重性

筆者曾提出以數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)為數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的邏輯起點(diǎn)，其主要包括三大關(guān)聯(lián)，即表層信息關(guān)聯(lián)、思考方法關(guān)聯(lián)、思考視角關(guān)聯(lián)。上述關(guān)聯(lián)主要是基于數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容、思想、方法的普遍聯(lián)系并結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的相關(guān)理論提出來的，更多地體現(xiàn)了將“數(shù)學(xué)作為一個(gè)相對(duì)完整、獨(dú)立的文化體系”這一維度的認(rèn)識(shí)。因此，我們需要站在數(shù)學(xué)作為一個(gè)子文化和重要的文化力量的角度，進(jìn)一步拓展對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)的認(rèn)識(shí)，即認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與更廣泛的人類文化之間的普遍聯(lián)系。因此，在教學(xué)中，教師一方面需要關(guān)注數(shù)學(xué)與文化傳統(tǒng)之間的關(guān)系，使數(shù)學(xué)存在于更宏大的文化脈絡(luò)中;另一方面需要關(guān)注數(shù)學(xué)與社會(huì)生活、科技發(fā)展以及學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系。

（二）進(jìn)一步彰顯數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的文化性

從數(shù)學(xué)文化的角度來看，數(shù)學(xué)教學(xué)除了傳承作為文化結(jié)果的數(shù)學(xué)知識(shí)，還要體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)所存在的文化和發(fā)展的文化脈絡(luò)，以及數(shù)學(xué)發(fā)展中人的主體創(chuàng)造性。這些在過去的數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)實(shí)踐中也得到了廣泛關(guān)注，比如通過問題脈絡(luò)的設(shè)計(jì)，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的思維脈絡(luò);倡導(dǎo)為學(xué)生提供冷靜思考與充分表達(dá)的機(jī)會(huì)來彰顯學(xué)生在問題產(chǎn)生、知識(shí)建構(gòu)上的主體性。當(dāng)然，指向數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)需要進(jìn)一步彰顯文化性，特別是需要關(guān)注數(shù)學(xué)問題鏈如何幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)及其發(fā)展的文化脈絡(luò)，建立起數(shù)學(xué)與自身文化的意義關(guān)聯(lián)，從而實(shí)現(xiàn)文化育人的目的。

（三）數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容學(xué)科性與生活性的融合

數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)的其中一個(gè)重要思路是“數(shù)學(xué)教學(xué)回歸生活”。“數(shù)學(xué)教學(xué)回歸生活”的核心是人的主體性回歸，主體只有在用數(shù)學(xué)組織生活的同時(shí)建構(gòu)數(shù)學(xué)，才能反映出數(shù)學(xué)真正的生活本質(zhì)，也才能反映出數(shù)學(xué)發(fā)展中人的主體性[4]，只有這樣才能避免教學(xué)中只見數(shù)學(xué)的背景而看不到數(shù)學(xué)發(fā)展的文化本質(zhì)。當(dāng)然這里的生活不能窄化為學(xué)生的日常生活，在時(shí)空上應(yīng)該包括人類當(dāng)下的生活、歷史的生活甚至未來的生活，在生活領(lǐng)域上應(yīng)該包括日常生活、社會(huì)生活乃至科學(xué)生活。問題鏈教學(xué)在內(nèi)容上需將數(shù)學(xué)的學(xué)科性與學(xué)生乃至人類的生活加以融合，凸顯問題鏈教學(xué)中問題的歷史性、現(xiàn)實(shí)性。

二、數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的原則

指向數(shù)學(xué)文化的問題鏈教學(xué)除了應(yīng)體現(xiàn)如目標(biāo)指向的豐富性與高階性、問題設(shè)置的真實(shí)性與適切性、問題使用的靈活性與深刻性、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的伴隨性等基本特征[3]55-63，還應(yīng)遵循或者凸顯以下原則。

（一）數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)的多重性

指向數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)除了需要關(guān)注數(shù)學(xué)的表層信息、思考方法、思考視角的關(guān)聯(lián)，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在整體結(jié)構(gòu)與脈絡(luò)，還需要建立起數(shù)學(xué)與文化、數(shù)學(xué)與社會(huì)、數(shù)學(xué)與人之間的廣泛聯(lián)系，使問題鏈中問題的產(chǎn)生、分析與解決具有文化之源、社會(huì)之根及人的心理經(jīng)驗(yàn)之基。比如，隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代到來，人們?cè)絹碓綇?qiáng)調(diào)并適應(yīng)定量思維的趨勢(shì)，可以通過類似“如何刻畫學(xué)生身高正常與否的定性描述”等問題建立起與正態(tài)分布等學(xué)習(xí)內(nèi)容的聯(lián)系。因此，需要從數(shù)學(xué)內(nèi)外部對(duì)所存在的關(guān)聯(lián)進(jìn)行多重分析與選擇，以此為問題鏈的設(shè)計(jì)提供基礎(chǔ)。

（二）問題的境脈性

相對(duì)于一般的數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)，數(shù)學(xué)文化這一指向性要求體現(xiàn)問題，尤其是起點(diǎn)問題賴以存在的情境及情境發(fā)展的脈絡(luò)，從而彰顯問題的源頭與思考的脈絡(luò)性。誠然，數(shù)學(xué)中有一些問題確實(shí)是因?yàn)橐粫r(shí)靈感而產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)教學(xué)中也會(huì)有一些學(xué)生突然想到并提出一些非常有價(jià)值的問題，但一方面，從數(shù)量上來說這樣的現(xiàn)象并不是普遍的、占大多數(shù)的，另一方面真正有質(zhì)量的、頓悟式的提問往往也是在長時(shí)間的思考后產(chǎn)生的。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)該讓學(xué)生在有脈絡(luò)的情境中產(chǎn)生疑問，并利用數(shù)學(xué)的思維分析問題、解決問題。這里的情境既可以是來自數(shù)學(xué)內(nèi)部，也可以是來自數(shù)學(xué)外部的社會(huì)與文化。

（三）問題解決的實(shí)踐性

數(shù)學(xué)文化強(qiáng)調(diào)人（類）在數(shù)學(xué)發(fā)展中的主體地位，而學(xué)科實(shí)踐是在教學(xué)中體現(xiàn)人的主體地位的重要途徑。問題鏈教學(xué)在實(shí)施過程中需要讓學(xué)生成為問題解決的實(shí)踐主體，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)分析問題，形成問題解決的思路與方法，同時(shí)經(jīng)歷新問題的衍生過程。

三、指向數(shù)學(xué)文化的問題鏈案例分析

（一）等腰三角形的關(guān)聯(lián)分析

長期以來，人們認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門極具嚴(yán)密性的學(xué)科。而東西方的數(shù)學(xué)在其歷史發(fā)展中都在一定程度上表現(xiàn)出由不那么嚴(yán)密的數(shù)學(xué)（有時(shí)還只是蘊(yùn)含數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)）向嚴(yán)密的數(shù)學(xué)的發(fā)展過程。根據(jù)歷史相似性原理，人們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的過程與數(shù)學(xué)本身的發(fā)展過程具有相似性。這主要是指，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程也需要經(jīng)歷由不那么嚴(yán)密的數(shù)學(xué)（或數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)）向嚴(yán)密的數(shù)學(xué)發(fā)展的過程。依據(jù)上述思想，教師可以在“等腰三角形的性質(zhì)”教學(xué)中，讓學(xué)生觀察生活中廣泛存在的等腰三角形，以折紙為載體，經(jīng)歷“特殊幾何關(guān)系驅(qū)動(dòng)幾何探索”“操作觀察中形成猜想”“演繹推理中驗(yàn)證猜想”的數(shù)學(xué)嚴(yán)密化過程，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)密化精神[5]。

需要說明的是，無論在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還是在數(shù)學(xué)本身的研究中，人們有時(shí)是在一個(gè)猜想后馬上著手證明，有時(shí)又是一下子涌現(xiàn)出多個(gè)猜想之后才去逐個(gè)證明。從教學(xué)設(shè)計(jì)而言，如果為了更好地掌握知識(shí)，在一個(gè)猜想之后馬上證明并應(yīng)用也許會(huì)更好;但如果從數(shù)學(xué)活動(dòng)的角度來說，特別是若干個(gè)猜想都基于同一個(gè)活動(dòng)的情況下，就不一定非要按前一種思路進(jìn)行。因?yàn)橛袝r(shí)多個(gè)猜想會(huì)同時(shí)產(chǎn)生，如果硬是按“猜想—證明—應(yīng)用”的邏輯，反而會(huì)使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)受到諸多的限制，抑制學(xué)生進(jìn)一步探索的意愿。因此，在以下的案例呈現(xiàn)過程中采用的是第二種思路。

（二）教學(xué)過程

1.特殊幾何關(guān)系驅(qū)動(dòng)幾何探索

尋找?guī)缀我鼗驇缀螌?duì)象間存在的特殊關(guān)系，進(jìn)而以上述特殊關(guān)系為基礎(chǔ)探索更多的幾何性質(zhì)，這是幾何研究中的重要思路。在明確了等腰三角形是有兩條邊相等的本質(zhì)屬性后，學(xué)生便會(huì)自然地產(chǎn)生進(jìn)一步探索的愿望，進(jìn)而形成問題1。

問題1 生活中存在大量的如圖1的等腰三角形。等腰三角形除了兩邊相等，還有哪些特殊幾何關(guān)系？請(qǐng)觀察手頭的等腰三角形紙片，想一想可能存在怎樣的幾何關(guān)系，并折一折，從點(diǎn)、線段、角等幾何元素間的關(guān)系角度進(jìn)行討論。

問題1提問方向較寬泛，其目的并非在于解決這一問題，而在于引發(fā)學(xué)生折紙等幾何探索活動(dòng)。該問題讓學(xué)生從基本的幾何元素出發(fā)，從而發(fā)現(xiàn)更多的幾何關(guān)系。同時(shí)觀察也為折紙?zhí)峁┝朔较?，即既可能?huì)將兩條相等的邊折疊到一起，也可能會(huì)直觀猜想兩個(gè)底角也相等，進(jìn)而嘗試將兩個(gè)底角折疊到一起。

2.操作觀察中形成猜想

在幾何學(xué)習(xí)中，折紙的目的是借助活動(dòng)以及折紙而形成的折痕觀察，發(fā)現(xiàn)可能存在的幾何關(guān)系。因此，在問題1引發(fā)折紙活動(dòng)基礎(chǔ)上，可以引出更具體的問題2，并要求學(xué)生先獨(dú)立觀察再回答。

問題2 觀察折疊并展開后的等腰三角形圖形（如圖2），在增加折痕后，你發(fā)現(xiàn)哪些幾何關(guān)系？

學(xué)生通過觀察能發(fā)現(xiàn)并形成以下猜想：（1）折痕AD將等腰三角形分成位于其兩側(cè)的兩個(gè)全等的小三角形，由此得到等腰三角形ABC是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，AD為對(duì)稱軸;（2）點(diǎn)B和點(diǎn)C重合;（3）∠B和∠C重合;（4）∠BDA和∠CDA重合，即兩個(gè)角均為直角，AD是在邊BC上的高;（5）∠BAD和∠CAD重合，于是AD是∠BAC的角平分線;（6）BD與CD重合，于是AD是在邊BC上的中線。由此至少可以得到3組角、1組線段的等量關(guān)系，以及等腰三角形的軸對(duì)稱性，并通過進(jìn)一步思考認(rèn)識(shí)到AD既是底邊上的高線、中線，也是頂角的角平分線。經(jīng)歸納后，學(xué)生形成等腰三角形是軸對(duì)稱圖形、等腰三角形兩底角相等、等腰三角形頂角角平分線、底邊上的中線和高線三線合一的猜想。

在學(xué)生獨(dú)立形成上述猜想的基礎(chǔ)上，教師組織學(xué)生進(jìn)行全班分享與討論，使個(gè)人的猜想公開化，這也是進(jìn)一步用更多的操作、觀察、驗(yàn)證、猜想的過程。這一方面使獲得的數(shù)學(xué)猜想得到強(qiáng)化，對(duì)猜想的描述變得更加清晰，另一方面也為學(xué)生體會(huì)證明的必要性提供鋪墊。

為了進(jìn)一步強(qiáng)化猜想，還可以借助幾何畫板進(jìn)行更深入的幾何實(shí)驗(yàn)。即先根據(jù)定義畫出一個(gè)等腰三角形，再利用幾何畫板中的度量功能對(duì)所繪制的等腰三角形中的幾何量進(jìn)行測(cè)量，驗(yàn)證上述猜想中存在的等量關(guān)系及相應(yīng)的猜想。

有研究顯示，初中學(xué)生的抽象邏輯思維正處于從經(jīng)驗(yàn)型向理論型的過渡時(shí)期，學(xué)習(xí)幾何時(shí)還需較多地借助直觀操作[6]33-36。因此，在上述學(xué)習(xí)活動(dòng)中，應(yīng)強(qiáng)調(diào)以折紙以及觀察帶有折痕的等腰三角形紙片等操作性的活動(dòng)為基礎(chǔ)，即使是借助幾何畫板的驗(yàn)證也仍然是操作性的，從本質(zhì)上來說屬于幾何實(shí)驗(yàn)的范疇。

3.演繹推理中驗(yàn)證猜想

演繹推理既是數(shù)學(xué)嚴(yán)密化精神的集中體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)大廈屹立不倒的重要原因。通過操作、實(shí)驗(yàn)獲得的幾何結(jié)論還存在較強(qiáng)的經(jīng)驗(yàn)性和易謬性，在數(shù)學(xué)上還無法令人完全滿意。后者事實(shí)上就是數(shù)學(xué)嚴(yán)密化精神的重要作用。反過來，操作性的、幾何實(shí)驗(yàn)的活動(dòng)及以此為基礎(chǔ)形成的幾何猜想也為幾何證明提供了基礎(chǔ)。這種基礎(chǔ)既是認(rèn)知層面的，也是心理層面的。由實(shí)驗(yàn)幾何引起的證明欲望，或者對(duì)證明必要性的體驗(yàn)往往會(huì)更強(qiáng)烈[6]33-36。因此，在教學(xué)中，教師需要通過問題引發(fā)學(xué)生對(duì)操作性實(shí)踐中形成猜想的不確定性的感受，進(jìn)而將學(xué)生自然地引向演繹推理式的證明活動(dòng)中。

由以上的操作活動(dòng)，學(xué)生獲得了三個(gè)猜想，但這些猜想都只是從操作、觀察中獲得的，盡管已經(jīng)經(jīng)過了驗(yàn)證，但在數(shù)學(xué)邏輯上還是不能令人滿意的。那么，怎樣才能使得到的結(jié)論更具有說服力呢？

教師在與學(xué)生一起回顧數(shù)學(xué)中通過證明增強(qiáng)說服力的方法后，便自然產(chǎn)生了對(duì)猜想進(jìn)行證明的問題。由于只靠“兩邊相等”這個(gè)條件還無法展開更多的討論，因此需要增加一個(gè)條件。教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察折痕的特點(diǎn)，并任選其中一個(gè)作為先決條件。當(dāng)然，根據(jù)前述折疊的方法，這里將折痕作為底邊上的中線會(huì)更加自然，因?yàn)橐獙蓷l相等的邊疊到一起，就是要將點(diǎn)B和點(diǎn)C重疊到一起，于是就有BD=CD。這時(shí)需要證明以下問題3。

問題3 如圖3，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，BD=CD。求證：（1）三角形ABC是軸對(duì)稱圖形，且AD為對(duì)稱軸;（2）兩底角相等;（3）底邊上三線合一。

這個(gè)證明本身是比較簡單而直接的，即通過“邊邊邊”這一三角形全等的判定定理即可得到[ABD?ACD]，于是問題3的三個(gè)小問得到證明。

在教學(xué)中，教師還可以和學(xué)生討論上述證明中增加的條件的可變性，即將頂角角平分線或底邊上的高線作為先決條件再進(jìn)行證明。這里還可以適時(shí)地引入歷史上如帕普斯借助頂角角平分線給出的證明方法等，使學(xué)生有機(jī)會(huì)體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的歷史厚重感。

4.歷史中感受等腰三角形

無論是中國古代還是西方，等腰三角形都早已被人們發(fā)現(xiàn)，其性質(zhì)也得到了廣泛的應(yīng)用。比如中西方都利用等腰三角形中的三線合一定理制作了水準(zhǔn)儀。有意識(shí)地挖掘這些文化素材，并做教育學(xué)的轉(zhuǎn)化，既可以讓學(xué)生更深入地理解、應(yīng)用知識(shí)，達(dá)到掌握知識(shí)的目的，同時(shí)也可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在人類文化發(fā)展中做出的重要貢獻(xiàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)作為一種文化力量的存在?；谶@個(gè)目的，可以設(shè)計(jì)以下問題4。

問題4 圖4是一個(gè)古羅馬墓碑上的圖案，其中墓碑頂上是一個(gè)等腰三角形和一條鉛垂線;圖5是我國古代建筑工人的水準(zhǔn)儀，用一把等腰三角形尺和懸掛在頂點(diǎn)處的鉛錘線來檢查橫梁是否水平。你能說一說，這些水準(zhǔn)儀為什么能夠測(cè)定橫梁是否水平？

以上是從數(shù)學(xué)文化的角度進(jìn)一步拓展對(duì)數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)的認(rèn)識(shí)，初步給出了指向數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)需要進(jìn)一步關(guān)注的原則，并嘗試通過一個(gè)案例初步加以說明，未來還需要進(jìn)一步討論指向數(shù)學(xué)文化的問題鏈教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施策略。

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（責(zé)任編輯：陸順演）