看似尋常蘊(yùn)玄機(jī)，道似無情卻有情

林生

王國維在《人間詞話》中寫道：“詩人對(duì)宇宙人生，須入乎其內(nèi)，又須出乎其外. 入乎其內(nèi)，故能寫之;出乎其外，故能觀之. 入乎其內(nèi)，故有生氣;出乎其外，故有高致.”同樣我們對(duì)于高考題的研究同樣如此：既要入乎其內(nèi)——尋求解題的思路和突破口，找到最優(yōu)解題思路，提煉其中思想方法，從而得到這類題的常規(guī)解法，接著找出其共性的知識(shí)和通性通法，對(duì)其通法深度挖掘和提煉反思;還要出乎其外——尋求其知識(shí)的“源”與“流，通過對(duì)此基本類型進(jìn)行變式拓展推廣，探窺其本質(zhì). 而今年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第21題頗有“韻味”：看似尋常卻蘊(yùn)含“玄機(jī)”，但當(dāng)真正我們?nèi)プ龅臅r(shí)候卻發(fā)現(xiàn)運(yùn)算量比較大，頗有“食之無味，棄之可惜”的味道，但只要我們?cè)谄綍r(shí)注重運(yùn)算的算理和算法，掌握解析幾何的常規(guī)方法，會(huì)發(fā)現(xiàn)這道解析幾何大題對(duì)考生看似無情（運(yùn)算量大）卻有情（解法常規(guī)且入口多）. 下面我以2022年新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第21題這道題為載體，入乎其內(nèi)——對(duì)其解法進(jìn)行深度探究，突破這道題的運(yùn)算“瓶頸”，探窺其本質(zhì)，還出乎其外——對(duì)此類雙曲線的類型從特殊到一般，進(jìn)行推廣拓展，能“見”雙曲線而“思”圓錐曲線，實(shí)現(xiàn)深度探究.最終讓考生掌握這一類題型的基本方法和技巧，實(shí)現(xiàn)高效備考，探究出2023年高考圓錐曲線的高效備考的一些建議和策略，從而實(shí)現(xiàn)2023年高考解析幾何的高效備考.

一、看似尋常最崎嶇，成如容易卻艱辛——真題回放

（2022年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第21題）已知點(diǎn)A（2，1）在雙曲線C∶-=1（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0.

（1）求l的斜率;

（2）若tan∠PAQ=2，求△PAQ的面積.

【點(diǎn)評(píng)】本題面孔尋常，仍堅(jiān)持和去年一樣考查雙曲線，考查內(nèi)容常規(guī)、樸實(shí)，這樣設(shè)置有利于考生思維的展開，給考生一課“定心丸”，這里實(shí)際上是解析幾何的“手電筒模型”，利用其二級(jí)結(jié)論很快答案，但這是大題，需要嚴(yán)格的邏輯推理，按照常規(guī)思路做，會(huì)發(fā)現(xiàn)在第（1）問就設(shè)置了一個(gè)“高門檻”——運(yùn)算能力要求高，要求出直線l的斜率頗有難度;而第（2）問求△PAQ的面積，這里要轉(zhuǎn)化tan∠PAQ=2這個(gè)條件，很多考生也難以轉(zhuǎn)化，加上對(duì)長度、面積等幾何量進(jìn)行了多角度、深層次的考查，具有較強(qiáng)的綜合性。這會(huì)讓很多考生都會(huì)“望而生畏”，但回過頭來認(rèn)真思考該類問題，根據(jù)解題中的運(yùn)算難度及時(shí)尋求最優(yōu)思維路徑，這更能甄別出運(yùn)算求解能力強(qiáng)的考生，這十分符合新高考的命題理念. 這提醒我們?cè)趥淇歼^程中要注重通性通法，讓考生穩(wěn)扎穩(wěn)打備考，還要在平時(shí)的訓(xùn)練中注重運(yùn)算的算理和算法，不能一味追求所謂的特例和技巧.

二、云想衣裳花想容，春風(fēng)拂檻露華濃——解法探幽

1. 操千曲而后曉聲，觀千劍而后識(shí)器——點(diǎn)開第一重認(rèn)識(shí)：求直線斜率

【分析】該題中的第（1）問求直線l的斜率，這對(duì)考生來說是“老生常談”的問題，只要利用點(diǎn)A（2，1）在雙曲線上，直接求出a2=2，即可得雙曲線方程C∶-y2=1，但要求直線l的斜率，就要將條件AP，AQ的斜率之和為0進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 而易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l∶y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），再根據(jù)KAP+KAQ=0，即可得出直線l的斜率，這樣問題便可解決.

解析1：因?yàn)辄c(diǎn)A（2，1）在雙曲線C∶-=1（a>1）上，所以-=1，即4（a-1）2-a2=a2（a2-1），化簡得（a2-2）2=0，解得a2=2，即雙曲線C∶-y2=1.

設(shè)直線l∶y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯(lián)立方程y=kx+m，-y2=1，可得x2-2k2x2-4mkx-2m2-2=0，

即（1-2k2）x2-4mkx-2m2-2=0.

而1-2k2≠0，當(dāng)1-2k2=0時(shí)，即k=±，這時(shí)與雙曲線C∶-y2=1的漸近線平行，這種情況舍去. 所以x1+x2=，x1x2=……①

而？駐=（-4mk）2-4（1-2k2）（-2m2-2）>0，

化簡得16m2k2+4（2m2+2）（2k2-1）>0，即16m2k2+8m2+8-16m2k2-16k2>0，可得m2+2k2-1>0.

而KAP=，KAQ=，由KAP+KAQ=0，即+=0，化簡得（x1-2）（y2-1）+（x2-2）（y2-1）=0.

由P（x1，y1），Q（x2，y2）在直線l上，所以有y1=kx1+m，y2=kx2+m，所以得（x1-2）（kx2+m-1）+（x2-2）（kx1+m-1）=0，

化簡得kx1x2-mx1-x1-2kx2-2m+2+kx1x2+mx2-x2-2kx1-2m+2=0，

即2kx1x2-2k（x1+x2）+m（x1+x2）-（x1+x2）-4m+4=0，

可得2kx1x2+（m-1-2k）（x1+x2）-4（m-1）=0……②

將①代入②可得2k（）+（m-1-2k）（）-4（m-1）=0，

化簡得4km2+4k-4km2+4mk+4mk2-8mk2+4m+8k2-4=0，即8k2+4k+4mk+4m-4=0.

因此，有2k2+（m+1）k+m-1=0，所以（k+1）（2k-1+m）=0，

所以k=-1或m=1-2k.

而當(dāng)m=1-2k時(shí)，直線l為y=kx+m=kx+1-2k=k（x-2）+1，

因此，直線l過定點(diǎn)A（2，1），這與已知條件不符，這種情況應(yīng)舍去，

因此k=-1，所以直線l的斜率為-1.

【點(diǎn)評(píng)】上面的解法是常規(guī)解法，看似本手，實(shí)則是俗手——計(jì)算量大，在這個(gè)過程中實(shí)質(zhì)是將問題代數(shù)化——利用聯(lián)立直線與雙曲線方程來實(shí)現(xiàn)，而在這個(gè)過程中是利用KAP+KAQ=0的關(guān)系來達(dá)到代數(shù)化的目的，整個(gè)過程體現(xiàn)考查學(xué)生扎實(shí)的運(yùn)算能力.

2. 紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行——建立第二重認(rèn)識(shí)：直接求P，Q坐標(biāo)

【分析】由于本問是求直線l的斜率，能否利用點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)來求，可設(shè)直線AP或AQ的方程，求出P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)？只要認(rèn)真分析，注意到A（2，1）是直線AP和雙曲線方程相交的公共點(diǎn)，則聯(lián)立直線AP與雙曲線方程后，所得方程的一個(gè)根為2，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，可簡化運(yùn)算量，最后P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)即可.

解析2：依題意可得，直線AP的斜率存在，設(shè)直線AP的斜率為k（k≠0），

因此，設(shè)直線AP為y-1=k（x-2），P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯(lián)立y-1=k（x-2），-y2=1，可得（2k2-1）x2+4k（1-2k）x+8k2-8k+4=0……③

而？駐=[4k（1-2k）]2-4（2k2-1）（8k2-8k+4）>0，

整理得16k2-64k3+64k4-64k4+64k3-32k+16>0，即16k2-32k+16>0，

可得k2-2k+1=（k-1）2>0，因此k≠0.

結(jié)合③，由點(diǎn)A（2，1）在直線AP上，由根與系數(shù)的關(guān)系可得2x1=，

所以x1=，由y1-1=k（x1-2）可得y1-1=k（-2），

即y1=k（-2）+1，

化簡y1=k[-2]+1=k（2+-2）+1=+1，

所以可得P（，+1），即P（2+，+1）.

由AP，AQ的斜率之和為0，可得直線AQ斜率為-k，同理可得Q（2+，+1），

所以直線l的斜率KPQ====-1，

因此，直線l的斜率為-1.

【點(diǎn)評(píng)】上面的解法也是常規(guī)解法，雖計(jì)算量大，但也有一定的技巧，在這個(gè)過程中實(shí)質(zhì)是將問題代數(shù)化——利用聯(lián)立直線與雙曲線方程來實(shí)現(xiàn)，而在這個(gè)過程中仍是利用KAP+KAQ=0的關(guān)系來尋求解題突破口—代數(shù)化，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)后，利用替換的原則可得點(diǎn)Q坐標(biāo). 這樣的過程看似俗手，實(shí)則妙手，借助斜率關(guān)系求點(diǎn)，在一定程度上簡化運(yùn)算了，不過整個(gè)解題過程需要考生絕知此事要躬行——一步一步地運(yùn)算，仍需要扎實(shí)的運(yùn)算基本功.

3. 問渠那得清如許，為有源頭活水來——解法的優(yōu)化

【分析】通過上面解法的分析，可以發(fā)現(xiàn)上面兩種解法運(yùn)算量都較大，都需要聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理代進(jìn)去計(jì)算，這樣的運(yùn)算比較繁瑣，那我們能否“另辟蹊徑”，能否找到更為“簡捷”的計(jì)算方法？認(rèn)真分析后可知：利用直線的參數(shù)方程可大大減少運(yùn)算量.

解析3：因?yàn)辄c(diǎn)A（2，1）在直線AP和直線AQ上，設(shè)直線AP的傾斜角，由直線AP與AQ的斜率之和為0，因此直線AQ的傾斜角-.

設(shè)直線AP ∶x=2+t1cos，y=1+t1sin……④

直線AQ ∶x=2+t2cos（-），y=1+t2sin（-），即x=2-t2cos，y=1+t2sin……⑤

將④代入雙曲線方程C∶-y2=1可得：（2+t1cos）2-2（1+t1sin）2-2=0，

即4+4t1cos+t12cos2-2-4t1sin-2t12sin2-2=0，

化簡可得4t1（cos-sin）+t12（cos2-2sin2）=0.

因此，可得：t1=.

同理將⑤代入雙曲線方程C∶-y2=1，

可得：t2=.

因此直線KPQ====，

由t1=和t2=可得：

t1-t2=-=，

t1+t2=+=，

所以直線KPQ==×=××=-1，所以直線l的斜率為-1.

【點(diǎn)評(píng)】這里聯(lián)想到直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，可考慮借助直線參數(shù)方程來達(dá)到減少運(yùn)算量的目的.

4. 巧思妙想顯神通，火眼金星以簡破繁——解法的活化

【分析】這里可考慮到直線AP，AQ相交于一點(diǎn)A，以A點(diǎn)為原點(diǎn)建立新的坐標(biāo)系，利用齊次和方程的思想來突破，這種方法大大減少了運(yùn)算量，提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確率;除此之外，涉及到求直線的斜率，往往也可以考慮利用點(diǎn)差法，在這里利用點(diǎn)差法，將條件“直線AP，AQ的斜率之和為0”的關(guān)系巧妙地轉(zhuǎn)化為“x1+x2，y1+y2的關(guān)系”，這樣的解法和解法4的方法“異曲同工”——簡化運(yùn)算.

解析4：設(shè)直線l的方程為m（x-2）+n（y-1）=1，令x′=x-2，y′=y-1，

則直線l的方程為mx′+ny′=1，化簡可得雙曲線方程為x′2-2y′2+4x′-4y′=0，

聯(lián)立方程可得x′2-2y′2+4（x′-4y′）（mx′+ny′）=0，

即（2+4n）（）2+（4m-4n）（）-（1+4m）=0……⑥

由于KAP，KAQ為方程⑥的根，而由條件KAP+KAQ=0，

所以可得-=0，因此可得m=n，從而直線的斜率KPQ=-=-1.

解析5：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）在雙曲線上，

則-y12=1……⑦，-y22=1……⑧

由⑦-⑧得：-（y12-y22）=0，

化簡得：+（y2-y1）（y1+y2）=0，即=，

所以KPQ==，

而A（2，1）也在雙曲線上，因此-12=1……⑨

⑦-⑨得：-（12-y12）=0，化簡得：=，

同理可得：=;由AP，AQ的斜率之和為0，即==0，即得：（y1-1）（2-x2）=（x1-2）（y2-1），

化簡得：x1y2+x2y1-（x1+x2）-2（y1+y2）+4=0……⑩

而+=0，即得：2（x1+2）（y2+1）+2（x2+2）（y1+1）=0，

化簡得：x1y2+x2y1+（x1+x2）+2（y1+y2）+4=0……（1）

再⑩-（1）得：（x1+x2）+2（y1+y2）=0，

因此，可得KPQ====-1，從而直線l的斜率-1.

【點(diǎn)評(píng)】解法4利用方程的思想來達(dá)到化簡的目的，通過齊次化和方程的根來處理，大大減少了運(yùn)算量;而解法5則是利用點(diǎn)差法，采取整體代換的方法，將KPQ==進(jìn)行轉(zhuǎn)化，巧妙地將斜率問題轉(zhuǎn)化為“x1+x2，y1+y2的關(guān)系”，這體現(xiàn)了整體性的思想. 綜合以上五種解法來看，解法1和2是常規(guī)解法，解法3和解法4以及解法5本質(zhì)上是對(duì)減少聯(lián)立直線與雙曲線后的計(jì)算量，主要通過利用直線的參數(shù)方程或“規(guī)避”直接利用韋達(dá)定理的方法來達(dá)到減少運(yùn)算量的目的. 而要想簡化運(yùn)算，就要明確解題方向和切入點(diǎn)，注重整體分析以及尋求已知與要求目標(biāo)內(nèi)在存在的關(guān)系，同時(shí)在平時(shí)要不斷強(qiáng)化運(yùn)算能力，還要在平時(shí)的解題中，要注意解題之道——解題邏輯分析，再追求術(shù)——解法和技巧，方可“以道統(tǒng)術(shù)，以不變應(yīng)萬變”.

5. 通性通法最本真，扎扎實(shí)實(shí)顯真功——面積探求

【分析】這里的第（2）問由直線AP，AQ的斜率之和為0，可知直線AP，AQ的傾斜角互補(bǔ)，再結(jié)合條件tan∠PAQ=2，可求出AP，AQ的斜率，再分別聯(lián)立直線AP，AQ與雙曲線方程，可求出P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)（也可由點(diǎn)差法求出P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，如解法7），因此可得線段PQ，再求出點(diǎn)A到直線PQ的距離d，再利用S△PAQ=PQd即可得△PAQ的面積，這是最基本的方法. 當(dāng)然也可以借助直線的參數(shù)方程，利用S△PAQ=t1t2sin∠PAQ也可得面積.

解析6：設(shè)直線PA，AQ的傾斜角為，（< ），直線AP斜率與直線PQ的斜率之和為0，所以+=，因?yàn)閠an∠PAQ= 2，

所以tan（-）=tan（--）=tan（-2）=2，即tan2=2，

因此，有tan2==-2，化簡得tan2-tan-=0，

解得tan=或tan=-.

當(dāng)tan=-時(shí)，直線PA與雙曲線的漸近線平行，不滿足題意，應(yīng)舍去.

因此，tan=，所以可得直線PA∶y-1=（x-2），AQ∶y-1=-（x-2），聯(lián)立y-1=（x-2），-y2=1，

化簡得x2+2（1-2）x+10-4=0，

而點(diǎn)A（2，1）在雙曲線上，所以2xp=，即xp=.

因此，可得yp=，同理可得xQ=，yQ=，

由PQ坐標(biāo)可得直線PQ ∶x+y-=0，

PQ===，

即PQ ∶3x+3y-5=0，PQ=.

而A（2，1）到直線PQ ∶3x+3y-5=0的距離為=，

所以S△PAQ=PQd=××=，所以△PAQ面積為.

解析7：設(shè)直線PA，AQ的傾斜角為，（< ），直線AP斜率與直線PQ的斜率之和為0，所以+ =.

因?yàn)閠an∠PAQ=2，所以tan（-）=tan（--）=tan（-2）=2，即tan2=-2.

因此，有tan2==-2，化簡得tan2-tan-=0，解得tan=或tan=-.

當(dāng)tan=-時(shí)，直線PA與雙曲線的漸近線平行，不滿足題意，應(yīng)舍去.

因此，tan=，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），

因此，KAP==，由點(diǎn)P（x1，y1）和A（2，1）在雙曲線上，即：-y12=1，-12=1，兩式相減可得：+（12-y12）=0，即：（x1+2）（x1-2）-2（y1+1）（y1-1）=0，化簡可得：-=0.

因此，△PAQ面積為.

【點(diǎn)評(píng)】上面的解法6本質(zhì)上是聯(lián)立直線與雙曲線直接求解，解法7是利用點(diǎn)差法來求P，Q坐標(biāo)，在這個(gè)過程中很好地減少運(yùn)算量，解法8主要通過利用直線的參數(shù)方程“規(guī)避”直接利用韋達(dá)定理，這三種解法最終目標(biāo)都是要求△PAQ的面積問題，都要回歸到求面積的基本方法中來，而在整個(gè)過程都體現(xiàn)了解析幾何是用代數(shù)方法研究問題本質(zhì)的，同時(shí)對(duì)運(yùn)算能力、推理論證等素養(yǎng)都要有較高的要求，這樣的考查很好地減少了死記硬背和機(jī)械刷題的現(xiàn)象. 總之，在備考中掌握常規(guī)題型的通性通法，強(qiáng)化知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，提升運(yùn)算能力，這才是高效備考的“上上之策”.

三、千淘萬漉雖辛苦，吹盡黃沙始到金——?jiǎng)e有洞天

通過上面的分析可知，我們不斷進(jìn)行解法的優(yōu)化，尋求解法的最優(yōu)“捷徑”，但我們對(duì)此的研究不能只限于表面，要“執(zhí)果索因、追本溯源”，尋找其“源”和“流”，將會(huì)發(fā)現(xiàn)另外一個(gè)“天地”——?jiǎng)e有洞天，正如美國數(shù)學(xué)家波利亞所說：“好問題類似于采蘑菇，采到一個(gè)后還應(yīng)四處看看，也許可以采到更多.”同樣我們研究這道高考題，我們也要善于找“蘑菇”，要學(xué)會(huì)深入探索，要透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，這道試題能否進(jìn)行推廣？能否有一般結(jié)論？我們對(duì)試題的研究不能停留在單純的解題層面，要認(rèn)真研究題目的“來龍去脈”，經(jīng)過分析，其實(shí)我們可以對(duì)試題進(jìn)行一般的推廣，可得推廣1：點(diǎn)P（x0，y0）是橢圓C∶+=1（a>b>0）上的一個(gè)定點(diǎn)，A，B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且PA，PB直線的傾斜角互補(bǔ)，則直線AB的斜率為（方法與上面解法類似，證明過程略）. 同樣經(jīng)過探究，發(fā)現(xiàn)將上面推廣的結(jié)論和條件互逆也成立，即得到推廣2：點(diǎn)P（x0，y0）是橢圓C∶+=1（a>b>0）的一個(gè)定點(diǎn)，A，B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，作斜率為的直線AB與橢圓C∶+=1（a>b>0）交于A，B兩點(diǎn)，則直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)（方法與上面解法類似，證明過程略）. 繼續(xù)深入推廣探究，可發(fā)現(xiàn)雙曲線與拋物線也有類似的結(jié)論：推廣3：點(diǎn)P（x0，y0）是雙曲線C∶-=1（a>0，b>0）的一個(gè)定點(diǎn)，A，B是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，則直線AB的斜率為-（方法與上面解法類似，證明過程略）. 同樣逆推也成立，可得推廣4：點(diǎn)P（x0，y0）是雙曲線C∶-=1（a>0，b>0）的一個(gè)定點(diǎn)，A，B是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，作斜率為-的直線AB與雙曲線C∶-=1（a>0，b>0）交于A，B兩點(diǎn)，則直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)（方法與上面解法類似，證明過程略）. 對(duì)于拋物線也有這樣的結(jié)論，可得推廣5：點(diǎn)P（x0，y0）是拋物線C∶y2=2px（p>0）的一個(gè)定點(diǎn)，A，B是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，則直線AB的斜率為-（方法與上面解法類似，證明過程略）. 同樣逆推也成立，可得推廣6：點(diǎn)P（x0，y0）是拋物線C∶y2=2px（p>0）的一個(gè)定點(diǎn)，A，B是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作斜率為-的直線AB與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)（方法與上面解法類似，證明過程略）. 結(jié)合2021年全國數(shù)學(xué)高考Ⅰ卷的解析幾何21題的探究來看，其實(shí)今年高考這道題和它“緊密相連”，綜合這兩道題目來探究，可得一般性結(jié)論：（1）設(shè)A、B、C是圓錐曲線上的三點(diǎn)，且直線BC的斜率存在，若直線AB，AC斜率互為相反數(shù)（傾斜角互補(bǔ)），則直線BC的斜率與曲線在點(diǎn)A處的斜率互為相反數(shù)（證明過程略）;（2）已知曲線C∶mx2+ny2=1（mn≠0），過曲線C外（內(nèi)）任意一點(diǎn)P作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，分別交曲線C于A、B、C、D四點(diǎn)，則弦AC與BD、AD與BC所在的直線傾斜角互補(bǔ)（證明過程略）. 其實(shí)，在整個(gè)探究的過程中，我們從解析幾何的邏輯分析入手，分析題目的特殊性與普遍性，根據(jù)其中內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行推理論證，逐步看清問題本質(zhì)，會(huì)發(fā)現(xiàn)很多高考新題也是“新瓶裝舊酒”.

四、道似無情卻有情，更把金針度與人——尋找“源”和“流”

高考中的解析幾何對(duì)考生的運(yùn)算能力要求很高，在數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算的要求是“能夠把目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問題，確定運(yùn)算對(duì)象和運(yùn)算法則，明確運(yùn)算方向.能夠?qū)\(yùn)算問題，構(gòu)造運(yùn)算程序，解決問題.”綜合上面的解法和分析來看，今年的高考題對(duì)運(yùn)算要求的確如此，整體來分析整個(gè)過程和拓展推廣，其實(shí)今年這道高考題表面上看似“無情”，但我們仔細(xì)對(duì)比分析可知：其實(shí)今年這道高考題的原型源自于2021年廣東高考第21題，命題手法和思維“如出一轍”，整個(gè)過程卻是“有情”——考查基本的知識(shí)，要有扎實(shí)的童子功——運(yùn)算. 雖然解析幾何題的運(yùn)算過程一般是比較長，但我們?cè)谄綍r(shí)的訓(xùn)練中不能走一步看一步，要加強(qiáng)邏輯整體分析，要有全局觀，運(yùn)算之前要理順?biāo)械倪\(yùn)算程序，預(yù)判運(yùn)算的難度與時(shí)間，這樣我們就事半功倍. 其實(shí)本題的求直線斜率問題和面積問題都是從最基本的出發(fā)，注重通性通法，進(jìn)而進(jìn)行深度推廣探索，這樣的思維過程經(jīng)歷了“猶抱琵琶半遮面”到“活水源流隨處滿”的過程，最終達(dá)到了“無限風(fēng)光在險(xiǎn)峰”的高度. 綜合來看，今年的解析幾何高考題重視基礎(chǔ)，突出對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的考查，這也為我們以后的備考指明了方向：要加強(qiáng)解析幾何的算理和算法，注重運(yùn)算能力的技巧，同時(shí)還要注重解析幾何的通性通法，要掌握解析幾何典型題的拓展與延伸，要做到“鴛鴦繡出憑君看，更把金針度與人——找到其‘源與‘流”，把握住備考的根——落實(shí)通性通法，我這樣們就可以做到居高臨下覓悟出“備考之道”，因此我們要實(shí)現(xiàn)高考數(shù)學(xué)高效備考時(shí)要做好以下方面：

（1）切實(shí)回歸基礎(chǔ)是“正道”，注重通性通法為“上上策”

通過今年的高考題的題目分析可知：注重考查基本的知識(shí)，注重考查通性通法. 因此，在以后的備考中一定要重視基礎(chǔ)知識(shí)，要注重通性通法，但在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)和訓(xùn)練中恰恰是大搞“題海”戰(zhàn)術(shù)，盲目加大數(shù)學(xué)訓(xùn)練，往往忽視回歸教材、對(duì)基本的通性通法的訓(xùn)練.這種舍本逐末的做法導(dǎo)致了很多考生在今年高考吃了大虧，因此我們平時(shí)要懂得回歸教材，對(duì)課本中的概念、定義、定理、法則、公式必須記熟、理解;重視公式的正用、逆用和活用，重視定理的推導(dǎo)，要理清知識(shí)發(fā)生的本原（如公式的推導(dǎo)過程等），還要注意挖掘教學(xué)種的素材，引導(dǎo)考生研究、總結(jié)歸納，對(duì)于圓錐曲線的備考要抓住“三定”（定點(diǎn)、定值、定直線）問題，以聯(lián)立直線與圓錐曲線為“抓手”，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用整體的觀點(diǎn)要將有關(guān)知識(shí)有機(jī)地串聯(lián)起來，形成知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，用結(jié)構(gòu)性的觀念整體把握內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)對(duì)于解析幾何中的常規(guī)題型以及簡單的二級(jí)結(jié)論在教材中涉及的，可適當(dāng)探究拓展推廣. 總之，在備考中對(duì)于課本的基本概念、知識(shí)等要知其然，還要其所以然. 另外復(fù)習(xí)時(shí)考生還要深入研究教材. 以教材中的例、習(xí)題素材，深入淺出、舉一反三、加以推敲、延伸和適當(dāng)變形，典型例題. 在這個(gè)過程中不追求數(shù)學(xué)解題中的所謂“技巧”，不搞“偏題”“怪題”. 將最基本的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行提升和鞏固，突出思維能力和運(yùn)算能力，及時(shí)引申拓展、培養(yǎng)歸納能力，這樣考生在高考中才可以達(dá)到融會(huì)貫通、高屋建瓴的境界.

（2）強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，注重算理和算法

對(duì)于解析幾何的大題，有很多種題型，選擇入手的解題方法或許也有很多種，也突出考查考生的運(yùn)算能力，達(dá)到學(xué)會(huì)甄別解題方法的“優(yōu)劣”，要提升靈活運(yùn)用解題的能力. 因此我們?cè)趥淇紩r(shí)，要先學(xué)會(huì)整體分析，要注重解題的邏輯分析，要先從需引入變量開始，確定運(yùn)算程序，明確運(yùn)算步驟，逐級(jí)運(yùn)算，解決問題. 而對(duì)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程及方程的運(yùn)算的深入理解是確定運(yùn)算程序和預(yù)判運(yùn)算難度的重要依據(jù).要抓住核心問題——運(yùn)算能力的提升，要時(shí)刻注重強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，一步一個(gè)腳印，在進(jìn)行計(jì)算的時(shí)候注重算理、算法和技巧，不斷地在解題中滲透強(qiáng)化，長期不懈地加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的訓(xùn)練，只有這樣，考生才可以提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，不再“畏懼”解析幾何的運(yùn)算，從而達(dá)到高效備考.

（3）加強(qiáng)邏輯分析之道，監(jiān)控運(yùn)算過程，合理優(yōu)化

對(duì)于解析幾何的高考備考訓(xùn)練，我們首先要加強(qiáng)目標(biāo)分析：引導(dǎo)學(xué)生在具體的運(yùn)算過程中，學(xué)生是稍有想法后便立即動(dòng)手操作，還是三思而后行，反復(fù)尋找更優(yōu)化的解決路徑？在多種方案探尋以后，是憑直覺去感知判斷，還是經(jīng)過理性分析、比較異同之后，再去實(shí)踐操作？上面的解法運(yùn)算，平時(shí)在備考中最好結(jié)合上面5種解法解題線路圖進(jìn)行分析，思考每種方法的優(yōu)劣、每種運(yùn)算的成本，必然能事半功倍，要在這些設(shè)計(jì)、比較、操作、優(yōu)化、反思中形成和發(fā)展的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).其次要加強(qiáng)監(jiān)控運(yùn)算過程，主動(dòng)參與，形成經(jīng)驗(yàn)，在運(yùn)算思路、運(yùn)算程序確定以后，能否準(zhǔn)確、快捷地求得運(yùn)算結(jié)果，還需要有良好的運(yùn)算習(xí)慣、全程的運(yùn)算監(jiān)控. 在備考過程中，考生自我監(jiān)控運(yùn)算過程，主動(dòng)參與運(yùn)算方法的選擇、運(yùn)算法則的掌握、運(yùn)算錯(cuò)誤的規(guī)避、運(yùn)算結(jié)果的解釋的全過程.對(duì)于案例中的運(yùn)算，每種運(yùn)算的思維關(guān)鍵點(diǎn)、復(fù)雜運(yùn)算出現(xiàn)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)、運(yùn)算中易出現(xiàn)的錯(cuò)誤等我們應(yīng)實(shí)時(shí)進(jìn)行監(jiān)控，做到心中有數(shù)，并在長期的自我監(jiān)控、主動(dòng)參與之中形成良好的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn). 運(yùn)算是一種演繹推理，考生要學(xué)會(huì)理性地、有條理地進(jìn)行運(yùn)算和思考. 要從運(yùn)算的背景、內(nèi)容、過程、方法及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想等出發(fā)，全方位地思考提升數(shù)學(xué)運(yùn)算水平，通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

總之，我們?cè)趶?fù)習(xí)備考時(shí)要注意尋找知識(shí)的“源”和“流”，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)、深度探究，要以探究為徑，不斷啟發(fā)點(diǎn)燃思維火發(fā)，暴露思維過程，展示思維成果，大膽放手地來探究、來領(lǐng)悟：不能僅僅停留在解這道題，還要在解題后要多點(diǎn)思考：該題的算法有“優(yōu)化“嗎？這個(gè)問題能夠推廣嗎？改變一下條件如何？改變一下結(jié)論又如何？……要學(xué)會(huì)知其所以然，何由知其所以然.要學(xué)會(huì)在解題中鞏固對(duì)知識(shí)的理解，積累解題經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化運(yùn)算能力，加強(qiáng)運(yùn)算過程的監(jiān)控，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，掌握解題策略，形成解題意識(shí)，培養(yǎng)堅(jiān)忍不拔、鍥而不舍的意志品質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)高效備考，最終笑傲2023年高考.

【本文系廣東省教育科學(xué)規(guī)劃2022年度中小學(xué)教師教育科研能力提升計(jì)劃項(xiàng)目“深度學(xué)習(xí)視域下高中數(shù)學(xué)高效課堂的行動(dòng)研究”（課題號(hào)：2022YQJK319）和廣東省中小學(xué)“百千萬人才培養(yǎng)”專項(xiàng)科研項(xiàng)目“構(gòu)建高中數(shù)學(xué)高效課堂的行動(dòng)研究”（項(xiàng)目編號(hào)：BQW2021JGL021）的研究成果】

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)