巧設(shè)問題探究 提升建模能力

吳鶯

[摘? 要] 數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，其在具體教學(xué)中應(yīng)該如何落實(shí)呢？文章以“任意角三角函數(shù)”教學(xué)為例，通過建立圓周運(yùn)動(dòng)模型帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)三角函數(shù)定義的提煉過程，感受數(shù)學(xué)模型的價(jià)值，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)模型意識，提高他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模;核心素養(yǎng);問題探究

在素質(zhì)教育的影響下，教學(xué)中教師更加關(guān)注學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，數(shù)學(xué)建模能力自然成了高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)熱點(diǎn)話題. 在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模對學(xué)生的專業(yè)知識的要求比較高，由于高中生不僅數(shù)學(xué)專業(yè)知識有限，而且高考壓力大，沒有過多的時(shí)間和精力迎接數(shù)學(xué)建模的培養(yǎng)，故高中階段未形成良好的建模意識. 要知道，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，而不是為了應(yīng)對高考，因此教學(xué)中教師應(yīng)多鼓勵(lì)學(xué)生“動(dòng)手做”，進(jìn)而鍛煉學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 筆者教學(xué)“任意角三角函數(shù)”時(shí)，以學(xué)生的認(rèn)知為出發(fā)點(diǎn)，通過師生自主探究、合作交流，帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的價(jià)值，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力，現(xiàn)分享出來，如有不足請多指正.

[?]如何落實(shí)數(shù)學(xué)建模

三角函數(shù)是描述周期性現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，它不僅將幾何與代數(shù)緊密地聯(lián)系在一起，而且在物理學(xué)、天文學(xué)等方面也有著重要的應(yīng)用價(jià)值，是解決實(shí)際問題的重要工具. 因此，教學(xué)中有必要深入探究三角函數(shù)，發(fā)揮其數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值. 學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)時(shí)，大多數(shù)教師認(rèn)為以銳角三角函數(shù)為切入點(diǎn)，通過溝通兩者的區(qū)別與聯(lián)系完成任意角三角函數(shù)的建構(gòu)似乎順理成章;但在教學(xué)實(shí)際中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生容易受到已有認(rèn)知的干擾，無法更好地理解三角函數(shù)中“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，難以將任意角三角函數(shù)納入函數(shù)體系中，進(jìn)而影響到了數(shù)學(xué)模型的建構(gòu). 基于此，筆者運(yùn)用“勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型”共同體驗(yàn)三角函數(shù)的周期變化，通過提煉和抽象得到三角函數(shù)的定義.

1. 借助情境，呈現(xiàn)模型

數(shù)學(xué)建模前不僅要清晰地了解問題的實(shí)際背景，還要掌握與之有關(guān)聯(lián)的知識和信息，進(jìn)而對知識體系有一個(gè)更為清晰和完整的認(rèn)識，使建模過程更具整體性和針對性. 其實(shí)數(shù)學(xué)建模就是對現(xiàn)實(shí)問題的一個(gè)抽象過程，從數(shù)學(xué)的角度去思考、探究、抽象，從而得到問題的本質(zhì)屬性，獲得數(shù)學(xué)研究對象.

教學(xué)片段1：聯(lián)系舊知.

問題1：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，那么函數(shù)概念你還記得嗎？

問題2：函數(shù)是刻畫事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的重要模型，現(xiàn)在我們都學(xué)過哪些函數(shù)？又是如何刻畫的呢？

設(shè)計(jì)意圖：問題1引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)函數(shù)概念，便于學(xué)生在新知建構(gòu)過程中發(fā)現(xiàn)其關(guān)聯(lián)性，進(jìn)而為新知納入函數(shù)體系做好鋪墊;在問題2的引導(dǎo)下，學(xué)生容易聯(lián)想到一次函數(shù)中的勻速直線運(yùn)動(dòng)、二次函數(shù)的拋物線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而為接下來探究勻速圓周運(yùn)動(dòng)奠定基礎(chǔ). 這樣，通過開放性問題的創(chuàng)設(shè)，不僅發(fā)散了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而且通過溝通舊知掃清了思維障礙，樹立了學(xué)習(xí)信心.

教學(xué)片段2：引入情境.

師：生活中有很多現(xiàn)象是周期變化的，你們能簡單地列舉幾個(gè)嗎？

生1：時(shí)鐘、四季更替.

生2：日出日落.

……

師：很好，其實(shí)生活中這種周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)的現(xiàn)象有很多. 物理上你又學(xué)過哪些類似的現(xiàn)象呢？

設(shè)計(jì)意圖：聯(lián)系生活實(shí)際，體驗(yàn)事物“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，同時(shí)又聯(lián)系到其他學(xué)科內(nèi)容，逐漸引導(dǎo)學(xué)生抽象出勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型.

在新知引入階段，從學(xué)生熟悉的內(nèi)容出發(fā)，更易于引發(fā)學(xué)生情感的共鳴，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的探究欲望. 在教師精心的引導(dǎo)下，勻速圓周模型基本形成.

2. 通過探究，構(gòu)建模型

學(xué)生的直觀模型已經(jīng)建立，然若從數(shù)學(xué)的角度去建構(gòu)還需要經(jīng)歷一些探究過程，教師可以借助具體的數(shù)學(xué)模型引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、對比、歸納等思維活動(dòng)，從而得到事物的本質(zhì)屬性，最終構(gòu)建概念模型.

教學(xué)片段3：構(gòu)建模型.

問題3：想一想，如何用數(shù)學(xué)知識構(gòu)建勻速圓周模型呢？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，將幾何問題代數(shù)化，用坐標(biāo)刻畫單位圓，從實(shí)際模型中提煉出數(shù)學(xué)屬性，凸顯問題本質(zhì).

探究1：如圖1所示，請大家探究一下角α、射線OP、點(diǎn)P之間的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型構(gòu)造和探究過程，在過程中引導(dǎo)學(xué)生得到對應(yīng)關(guān)系“角α→射線OP→點(diǎn)P”，根據(jù)變化規(guī)律可知，若角α為固定實(shí)數(shù)，則有唯一對應(yīng)的實(shí)數(shù)x和實(shí)數(shù)y，若設(shè)點(diǎn)P（x，y），則根據(jù)函數(shù)定義可以推導(dǎo)出如下函數(shù)關(guān)系式：①x=f（α）;②y=g（α）.

3. 優(yōu)化模型，構(gòu)建體系

數(shù)學(xué)建模的目的就是解決實(shí)際問題，因此在模型建立后，要與實(shí)際情況和已有知識進(jìn)行比較，以此來檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的科學(xué)性和合理性，若所建模型與實(shí)際情況吻合度較高，則根據(jù)探究結(jié)果做出合理的解釋，并將其納入知識體系中;若兩者吻合度不高，則需要對模型進(jìn)行修改，以確保模型合適、合理.

教學(xué)片段4：優(yōu)化模型.

問題4：x=f（α）與y=g（α）兩函數(shù)都是刻畫點(diǎn)P的變化規(guī)律，若點(diǎn)P在第一象限，請聯(lián)系初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)相關(guān)內(nèi)容，你感覺以上兩個(gè)重要函數(shù)應(yīng)該叫什么，又該如何標(biāo)記呢？

設(shè)計(jì)意圖：與舊知建立聯(lián)系，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生向三角函數(shù)的思路轉(zhuǎn)化. 過點(diǎn)P作PM垂直x軸（如圖2所示），則有sinα==y，cosα==x.

這樣通過與已有認(rèn)知的關(guān)聯(lián)，給出了正弦、余弦函數(shù)的定義和符號：y=sinα，x=cosα. 這樣與舊知建立了聯(lián)系，優(yōu)化了函數(shù)模型，便于學(xué)生將新知納入三角函數(shù)的知識體系中，進(jìn)而逐漸完善認(rèn)識.

問題5：如圖2所示，在Rt△OPM中，tanα=，如果將角α推廣至任意角，是否還是函數(shù)模型.

設(shè)計(jì)意圖：聯(lián)系初中所學(xué)的內(nèi)容再探究，得到“實(shí)數(shù)α→唯一比值是函數(shù)關(guān)系”，由此構(gòu)建新的知識體系，得到三角函數(shù)y=sinα，x=cosα，tanα=.

4. 應(yīng)用模型，解鎖性質(zhì)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若要提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去應(yīng)用模型，通過解決實(shí)際問題來激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)建模熱情，并在應(yīng)用中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)實(shí)踐能力.

探究2：借助勻速圓周運(yùn)動(dòng)我們得到了任意角的三個(gè)三角函數(shù)（正弦、余弦、正切），那么根據(jù)模型能夠得到三角函數(shù)哪些性質(zhì)呢？

設(shè)計(jì)意圖：應(yīng)用模型，學(xué)生容易得到三個(gè)三角函數(shù)的定義域、值域，同時(shí)通過對比值和坐標(biāo)的理解，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)在不同象限的正負(fù)性，另外應(yīng)用模型有利于學(xué)生理解并掌握誘導(dǎo)公式一，如sin（α+2kπ）=sinα（k∈Z）.

[?]對數(shù)學(xué)建模的反思

1. 概念教學(xué)——數(shù)學(xué)建模的落腳點(diǎn)

數(shù)學(xué)概念是對客觀世界數(shù)量關(guān)系中本質(zhì)屬性的抽象和概括，是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心. 概念的形成一般從具體例證出發(fā)，經(jīng)過大量的實(shí)驗(yàn)和探究，抽象出事物的共性特征，這更能彰顯問題的本質(zhì). 其實(shí)，在概念形成過程中的探究就是一種數(shù)學(xué)建模的過程，例如“任意角三角函數(shù)”的概念教學(xué)，先借助情境初識模型，通過對模型的探究抽象出概念，在完善和優(yōu)化模型時(shí)進(jìn)一步深入地理解了概念，最后通過應(yīng)用模型，理解并掌握了三角函數(shù)的性質(zhì)：這樣一步步探究、一層層推進(jìn)，順應(yīng)學(xué)生的發(fā)展，讓數(shù)學(xué)建模找到了合適的落腳點(diǎn)，學(xué)生在概念形成過程中不僅學(xué)會了數(shù)學(xué)建模，而且通過數(shù)學(xué)建模幫助自己強(qiáng)化了對概念的理解.

2. 生成過程——數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵點(diǎn)

數(shù)學(xué)建模主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)探究過程中，而探究需要時(shí)間和空間，因此教師在教學(xué)過程中要為學(xué)生提供一個(gè)適宜探究的生成環(huán)境，讓學(xué)生親身經(jīng)歷、親身實(shí)踐，在探究中體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模過程，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識，提升其數(shù)學(xué)能力. 例如探究角α、射線OP、點(diǎn)P之間的關(guān)系時(shí)，大多數(shù)學(xué)生最初認(rèn)為是“點(diǎn)P→射線OP→角α”，然探討“唯一性”時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P不能唯一確定角α，因此得出了“角α→射線OP→點(diǎn)P”，從而得出了函數(shù)關(guān)系式. 在學(xué)習(xí)過程中，只有讓學(xué)生經(jīng)歷“過程教育”才能真實(shí)揭示事物的本質(zhì)，進(jìn)而培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

3. 學(xué)科關(guān)聯(lián)——數(shù)學(xué)建模的聚焦點(diǎn)

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活，還要多關(guān)注與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)性，要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的價(jià)值. 如通過源于生活的周期現(xiàn)象提煉圓周運(yùn)動(dòng)模型，又如從生物學(xué)中的遺傳學(xué)問題提煉概率模型，等等.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)中要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)自由探究的平臺，讓學(xué)生在探究中學(xué)會主動(dòng)觀察、發(fā)現(xiàn)、聯(lián)想、抽象，從而通過合作交流和動(dòng)手實(shí)踐讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)建模.