核心素養(yǎng)理念下初中數(shù)學(xué)動態(tài)幾何問題的研究

黃文趁

［摘 ?要］ 動態(tài)幾何問題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點，不僅要求學(xué)生熟練掌握基礎(chǔ)知識，還要求學(xué)生具備較強邏輯思維和直觀想象能力. 在中考試卷中，動態(tài)幾何試題常常以壓軸題形式出現(xiàn)，這要求學(xué)生具備較強的數(shù)學(xué)綜合能力. 初中數(shù)學(xué)動態(tài)幾何問題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，也是中考數(shù)學(xué)考查的重點，值得初中數(shù)學(xué)教師深入研究.

［關(guān)鍵詞］ 核心素養(yǎng)；初中數(shù)學(xué)；動態(tài)幾何問題

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生普遍反映動態(tài)幾何知識很難，部分學(xué)生還存在著抗拒心理，不愿意積極學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容，究其原因在于對該部分知識的認識不到位，不能準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)知識體系. 結(jié)合近幾年中考數(shù)學(xué)試卷來看，動態(tài)幾何問題往往以壓軸題的形式出現(xiàn)，考查的知識點在不斷變化，如何結(jié)合核心素養(yǎng)理念提升學(xué)生初中數(shù)學(xué)動態(tài)幾何解題能力成為教師數(shù)學(xué)課堂關(guān)注的焦點，應(yīng)當(dāng)予以足夠重視.

幾何動態(tài)問題解答中常見的問題

一般來說，初中學(xué)生在動態(tài)幾何問題解答中常會遇到以下問題：（1）不重視歸納總結(jié)，試題練習(xí)完后忽視了總結(jié)歸納，容易出現(xiàn)丟分現(xiàn)象，失去了學(xué)習(xí)信心；（2）閱讀能力較弱，動態(tài)幾何問題的題干信息量豐富，很多人內(nèi)心具有恐懼心理，考試中缺乏足夠的耐心閱讀題干材料，導(dǎo)致解題失??；（3）未能把握問題本質(zhì)，忽視了試題背后的數(shù)學(xué)思維，教師也未能培養(yǎng)學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識的能力，思維方式僵硬死板，不利于解答數(shù)學(xué)問題；（4）忽視了輔助線的作用，而解決動態(tài)幾何問題時輔助線至關(guān)重要，關(guān)乎到學(xué)生對知識的理解和掌握，但大多數(shù)學(xué)生不能快速、準(zhǔn)確地畫出輔助線，導(dǎo)致解題時間較長；（5）數(shù)形結(jié)合應(yīng)用對動態(tài)幾何解題過程至關(guān)重要，能幫助學(xué)生把復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，但很多學(xué)生在解題時忽視了數(shù)形結(jié)合思想的作用，解題步驟煩瑣.

核心素養(yǎng)理念下初中數(shù)學(xué)動態(tài)幾何問題教學(xué)策略

1. 注重知識分類

近些年來，初中數(shù)學(xué)試卷越來越重視考查學(xué)生的核心素養(yǎng)，統(tǒng)計動態(tài)幾何問題會發(fā)現(xiàn)，該類試卷大多數(shù)以函數(shù)為背景來探究幾何圖形在運動中的變化規(guī)律. 每次考試后，教師要引導(dǎo)學(xué)生進行總結(jié)歸納，尋找和發(fā)現(xiàn)試題解法，找到普遍性解題方法. 很多學(xué)生心中認為動態(tài)幾何問題并沒有解決的通用方法. 實際上，通過總結(jié)能夠發(fā)現(xiàn)試題類型，根據(jù)類型可以選擇合適的解題方法和思路.

根據(jù)統(tǒng)計分析，動態(tài)幾何問題一般分為兩類試題：（1）點動型動態(tài)幾何問題，即圖形中的一點在線段、射線或直線上做某種規(guī)律運動，探究該點在運動中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系或幾何圖形變化規(guī)律. 實際解題中，點動型問題又分為單點動問題和雙點動問題，判斷出點動型后結(jié)合函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)進行求解能夠簡化求解思路，找到正確的解答方式. （2）線動型動態(tài)幾何問題，即直線、線段在平面直角坐標(biāo)系或其他幾何圖形中做運動，需要結(jié)合圖形性質(zhì)尋找思路求解問題. （3）圖形動問題，即學(xué)過的三角形、四邊形或圓形等基本幾何圖形進行整體平移、翻折等運動，在運動過程中出現(xiàn)長度、面積等變化，進而探究變化規(guī)律，找到問題的求解方法.

2. 認真審好題目

在數(shù)學(xué)問題求解中，受限于時間和解題習(xí)慣，很多學(xué)生花費很少時間來審題導(dǎo)致找不到題干中的關(guān)鍵信息. 數(shù)學(xué)教師講課時要重視培養(yǎng)學(xué)生良好的讀題和審題的習(xí)慣，厘清題干信息中的圖形關(guān)系，必要時分解題目找到其中的數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系，從而把抽象表述變得具體化. 俗話說，“磨刀不誤砍柴工”，初中生在解答動態(tài)幾何問題時要重視審題過程，找到關(guān)鍵信息之間的聯(lián)系，為正確解答問題做好鋪墊.

例如，在直角三角形ABC中，斜邊AB=5，直邊BC=4，點D在邊BC上運動. 令CD=x，AD=y，試構(gòu)建起y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式. 在試題分析中，學(xué)生首先畫出圖形，發(fā)現(xiàn)這是一道典型的動態(tài)幾何（單點動）與函數(shù)知識相結(jié)合的問題. 材料顯示△ABC為直角三角形，AB為斜邊，動點D在直邊BC上運動，根據(jù)AB，BC的值求出AC的值，借助勾股定理實現(xiàn)幾何問題向函數(shù)問題轉(zhuǎn)化. 在△ACD中，可知AC=3，CD=x，AD=y，根據(jù)勾股定理得y=，x的取值范圍為［0，4］. 畫出圖形、解析題干信息后，學(xué)生找了到函數(shù)關(guān)系，列出公式即可求解.

3. 把握問題本質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大多數(shù)學(xué)生解題后并不思考是如何解答的，做完后就把問題放下不管，這是一種錯誤的做法. 在問題求解中，學(xué)生要找到問題的關(guān)鍵所在，發(fā)現(xiàn)題干信息中的關(guān)鍵點，把握問題本質(zhì)，找到正確思路有效求解問題. 另外，數(shù)學(xué)問題分析和求解中要關(guān)注題干背后隱藏的知識點之間的聯(lián)系，抓住關(guān)鍵信息進行求解，提升解題的正確率.

例如，如圖1所示，已知直線y=kx+b（k≠0）過點F（0，1），與拋物線y=x2相交于B，C兩點. （1）當(dāng)點C的橫坐標(biāo)為1時，求直線BC的解析式；（2）在第（1）問的條件下，點M是直線BC上一動點，過點M作y軸的平行線，與拋物線相交于點D，是否存在這樣的點M，使得以M，D，O，F(xiàn)為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

第（1）問較簡單，學(xué)生只需要根據(jù)待定系數(shù)法求解即可. 對第（2）問求解，需要根據(jù)方程思想列出公式，即設(shè)M，D點的坐標(biāo)，根據(jù)M，D，O，F(xiàn)為頂點的四邊形為平行四邊形得到MD=FO，由此求出M點的坐標(biāo). 本題求解中，要抓住題干中的本質(zhì)內(nèi)容即MDOF為平行四邊形求解.

4. 掌握解題規(guī)律

解題規(guī)律對學(xué)生來講至關(guān)重要. 解題規(guī)律針對著命題規(guī)律，針對著某類題型隱藏背后的規(guī)律，因此只有掌握好解題規(guī)律才能擺脫對“題海戰(zhàn)術(shù)”的依賴，學(xué)習(xí)效率才能更高、效果更好. 掌握解題規(guī)律一方面要在課后總結(jié)好解題方法，另一方面要進行適度練習(xí). 練習(xí)中難免會出現(xiàn)錯題，應(yīng)結(jié)合錯題找到錯誤原因、梳理出解題方法——題錯了，說明有的知識點沒有掌握好，是計算過程出現(xiàn)了錯誤，還是審題出現(xiàn)了錯誤，或解題思路不對？從中總結(jié)經(jīng)驗，針對遇到的問題找到解決方法.

以函數(shù)動點求三角形的面積為例，本類問題往往是尋找函數(shù)動點求其與兩定點圍成的三角形面積的最大值或定值. 在圍成的三角形中，若一邊固定，求其面積往往就轉(zhuǎn)化為點到直線的距離. 例如，已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸相交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C，拋物線對稱軸與拋物線相交于點P、與直線BC相交于點M. （1）求拋物線的解析式；（2）第一象限內(nèi)拋物線上存在點D，使得△BCD的面積最大，求出點D的坐標(biāo)和△BCD面積的最大值.

第（1）問較簡單，利用A，B點的坐標(biāo)即可求出拋物線的解析式. 針對第（2）問，如圖2所示，過D點作DH⊥x軸，則△BCD的面積為S=S+S-S，通過面積轉(zhuǎn)化求出D點的坐標(biāo)和△BCD面積的最大值. 本題考查了二次函數(shù)、梯形、三角形等多種知識點，過D點作輔助線的方法具有普遍意義，學(xué)生練習(xí)后要總結(jié)出普遍的解題規(guī)律.

5. 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合

初中數(shù)學(xué)相對于小學(xué)數(shù)學(xué)，知識內(nèi)容和數(shù)學(xué)思想方法都有所增加，特別是數(shù)形結(jié)合思想方法，初中的動態(tài)幾何問題更是離不開應(yīng)用. 動態(tài)幾何問題教學(xué)中，教師要關(guān)注學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用，幫助他們遇到動態(tài)幾何問題時能夠立刻想起數(shù)形結(jié)合思想方法，運用數(shù)形結(jié)合思想方法指導(dǎo)學(xué)生走出學(xué)習(xí)誤區(qū)，利用數(shù)形結(jié)合思想方法提升初中生做題的速度，強化解題正確率，提升個體應(yīng)用水平.

在一次課堂練習(xí)中，有這樣一道試題：已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-2，0），B（4，0），C（0，3）三點. （1）求拋物線的解析式；（2）在y軸上是否存在著點M，使△ACM為等腰三角形？請說明理由. 經(jīng)過分析，該試題是一道關(guān)于二次函數(shù)的動點問題，學(xué)生把A，B，C三點的坐標(biāo)代入拋物線很容易求出其解析式. 求解第（2）問時，很多學(xué)生缺乏解題思路，面對這一情況，教師需要幫助學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想方法討論△ACM為等腰三角形時表現(xiàn)出來的性質(zhì)，即討論AC為腰或底時，是否能夠建立起關(guān)于M點坐標(biāo)的方程. 在數(shù)形結(jié)合思想方法的引導(dǎo)下，學(xué)生從中能夠找到解題的關(guān)鍵所在. 數(shù)形結(jié)合思想方法在學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題時至關(guān)重要，教師要予以正確引導(dǎo)，明晰求解思路，為正確作答做好準(zhǔn)備.

總之，初中數(shù)學(xué)動態(tài)幾何問題作為近些年考試的熱點，數(shù)學(xué)教師要從上述幾個方面幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系，結(jié)合常見問題進行教學(xué)，提升動態(tài)幾何問題課堂教學(xué)效果.