立足情境 重視過程 深化變式

華利新

［摘 ?要］ 文章以“銳角三角函數(shù)（第1課時）”為例，提出概念教學的有效方法與路徑，以使學生體驗概念形成的過程，深化對概念的理解.

［關鍵詞］ 銳角三角函數(shù)；情境；初中數(shù)學

在數(shù)學教學中，概念教學是重要的一環(huán)，如何有效地進行概念教學呢？以下，筆者將結合“銳角三角函數(shù)（第1課時）”，談一談對概念教學的一些思考.

教學設計與意圖分析

1. 創(chuàng)設情境，導入新課

問題1：請同學們閱讀有關比薩斜塔的材料，如果把塔身中心線與鉛垂線的夾角作為比薩斜塔的傾斜程度，如何根據(jù)材料中的數(shù)據(jù)求出這個角度呢？

問題2：梳理上述問題，你可以抽象出什么幾何圖形？上述現(xiàn)實問題可以轉化成什么數(shù)學問題？

問題3：對于直角三角形，我們已經(jīng)研究了三邊關系即勾股定理，研究了兩銳角互余以及斜邊中線的性質，研究了含30°角的直角三角形的性質，我們還可以研究直角三角形的什么性質呢？

設計意圖 通過閱讀材料，引導學生了解本章學習的主體知識，喚起學生學習的興趣，為培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題做好鋪墊.

2. 設置探究情境，引入概念

（1）結合情境，首次感知.

問題情境：如圖1所示，在山坡上植樹，已知山坡的傾斜角α是30°，小明種植的兩棵樹之間的坡面距離AB是6米，要求相鄰兩棵樹之間的鉛垂距離BC在2.7～3.2米范圍內(nèi)，問小明種植的這兩棵樹是否符合這個要求？

問題4：試著用數(shù)學語言表達這個現(xiàn)實問題，如何解答這個現(xiàn)實問題呢？如果相鄰兩棵樹之間的坡面距離是7米，那么小明種植的這兩棵樹是否符合要求？

設計意圖 在真實的生活情境中，讓學生體會數(shù)學知識源于生活，引導學生經(jīng)歷現(xiàn)實問題轉化為數(shù)學問題的過程.

（2）去除現(xiàn)實意義，提煉概念.

問題5：如果一個直角三角形有一個銳角是30°，那么30°銳角所對的直角邊與這個直角三角形的斜邊有何數(shù)量關系？試用一個算式予以表達.

設計意圖 對于數(shù)學化后的問題，去掉了具體情境，讓學生形成共識：任何一個直角三角形，只要其有一個角是30°，那么這個角所對的直角邊就是斜邊的一半.

（3）同類比較，明晰概念.

問題6：任意畫一個等腰直角三角形ABC，如果∠C為直角，那么∠A，∠B都是45°，試計算∠A所對的直角邊與斜邊的比值；任意畫一個直角三角形ABC，∠C為直角，∠A=60°，試計算∠A所對的直角邊與斜邊的比值.

師：由上述兩個問題的討論我們可以看出，在直角三角形ABC中，當銳角A為30°時，它所對的直角邊與斜邊的比值為；當銳角A為45°時，它所對的直角邊與斜邊的比值為；當銳角A為60°時，它所對的直角邊與斜邊的比值為.由此你發(fā)現(xiàn)了什么結論？

設計意圖 先探究直角三角形ABC的特殊角，學生可以從中發(fā)現(xiàn)當銳角A是某一特殊角時，它的對邊與斜邊的比值是一個特殊的固定不變的值；同時，初步感受銳角三角函數(shù)就是研究直角三角形中的兩邊與角度之間的對應關系.

（4）推理論證，得到概念.

問題7：如圖2所示，兩個大小不等但形狀相同的直角三角形ABC和A′B′C′，且∠C，∠C′都是直角，∠A=∠A′，請?zhí)骄颗c有什么關系，你能解釋一下嗎？

生：因為∠C=∠C′，∠A=∠A′，所以△ABC∽△A′B′C′；根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，得=.

師：從這里可以看出，當直角三角形中的一個銳角固定時，那么它的對邊與斜邊的比值也就固定了. 在直角三角形ABC中，∠C為直角，我們把銳角A的對邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦，記作sinA；也就是說，sinA=. 在正弦概念中最重要的四個要素是什么？

剖析正弦概念：①概念的名稱是正弦；②概念的定義：在直角三角形ABC中，∠C為直角，我們把銳角A的對邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦，記作sinA， sinA=；③本質屬性：正弦是∠A的度數(shù)與∠A的對邊、斜邊之間的一種對應關系，在直角三角形ABC中，直角邊小于斜邊，因此sinA的取值范圍是0

設計意圖 從四個方面剖析正弦概念，讓學生準確掌握正弦.

3. 辨析概念，深化理解

例1 如圖3所示，求圖中各直角三角形銳角的正弦值.

分析 如圖3①所示，因為AC=1，BC=3，由勾股定理得AB==. 在直角三角形ABC中，根據(jù)正弦概念可得sinA===，sinB===. 如圖3②所示，因為DF=4，EF=3，由勾股定理得DE=. 在直角三角形DEF中，由正弦概念得sinF==，sinD==.

設計意圖 通過例題訓練，學生可以看到，求一個銳角的正弦值需要確定的要素，進而把正弦概念具體化，深化學生對正弦概念的理解.

例2 判斷下列說法是否正確：①在直角三角形DEF中，把直角三角形DEF的各邊都擴大10倍后，銳角E的正弦值也擴大了10倍. ②如圖4所示，△ABC為格點三角形，那么sinB=.

分析 ①此說法錯誤，因為當直角三角形DEF的各邊都擴大10倍后，擴大前后的兩個直角三角形相似，對應邊成比例，所以銳角E的正弦值沒有變化；②此說法錯誤，因為求一個銳角的正弦值必須放在直角三角形中，而不是任意的三角形中，所以sinB正確的結果為.

設計意圖 通過第一個反例，旨在說明一個銳角的正弦值不是邊長，而是邊長與邊長的比值；通過第二個反例，旨在說明求一個銳角的正弦值必須放在直角三角形中.

4. 變式訓練，加強應用

例3 在直角三角形ABC中，∠C為直角，a，b，c分別是各角的對邊，當c=12，sinA=時，求a，b的長.

分析 在直角三角形ABC中，sinA==，設a=x，則c=3x；因為c=12，所以3x=12，解得x=4，所以a=4. 由勾股定理得b==8.

設計意圖 讓學生利用正弦概念得到邊與邊的比值，通過方程求得直角邊a的長，然后利用勾股定理求得直角邊b的長. 這種變式訓練，實現(xiàn)了從知識到能力的轉化，為解直角三角形積累了經(jīng)驗.

5. 自我反思，總結評價

問題8：（1）什么叫做銳角的正弦？（2）我們是如何構建研究正弦函數(shù)的思路的？

設計意圖 梳理本課知識，進一步歸納探究數(shù)學活動的思路.

教學設計的反思

1. 重視概念的基礎性作用

數(shù)學概念是組成數(shù)學大廈的基石，是進行嚴謹推理與邏輯論證的基礎. 因此，教師應重視概念教學的基礎性作用. 在本節(jié)課教學中，教師首先通過四個環(huán)節(jié)讓學生掌握概念，即感受—提煉—類比—證明，這也是探究概念的一般規(guī)律，凸顯了本節(jié)課的重點；然后通過概念解讀、正反例辨析、變式訓練等活動，進一步深化學生對概念的理解.

2. 體驗概念形成的過程

數(shù)學概念是對生活的抽象化與符號化，方便了人們研究客觀世界的共性. 從發(fā)展的角度來看，概念教學不僅要關注其結果，更要關注其形成過程. 在本節(jié)課教學中，教師設計了三個步驟促進學生形成概念：一是從小明植樹的具體情境中提出概念；二是從30°，45°，60°中識別共性；三是去掉具體情境，提煉正弦符號sinA.使學生在數(shù)學活動中體驗到數(shù)學概念形成的過程.

3. 認識概念的內(nèi)涵與外延

如何準確把握正弦概念是本節(jié)課的關鍵，也是學生能否正確使用正弦的前提. 在本節(jié)課教學中，教師從四個方面引導學生去把握正弦概念：一是正弦的名稱；二是正弦的定義；三是正弦的屬性；四是針對正弦舉例. 對于符號sinA，學生比較陌生，為了防止學生在理解與使用上出現(xiàn)偏差，教師通過求一個直角三角形中兩個銳角的正弦值，深化了學生對正弦的理解；又通過兩個反例，強調(diào)了正弦中的兩個關鍵點，進而使學生全面準確地認識了銳角的正弦概念.

4. 提煉概念的表現(xiàn)形式

學習是為了進一步應用，特別是銳角三角函數(shù)，一定要轉化為對應的算式. 在變式訓練中，已知直角三角形的斜邊與一銳角的正弦，如何求其他兩條直角邊呢？必須把銳角的正弦轉化為直角邊與斜邊的比值，由此先求出一條直角邊，再用勾股定理求出另一條直角邊. 需要注意的是，已知一銳角的正弦，要轉化為直角三角形中直角邊與斜邊的比值才能應用.