七種方法求解直線方程

摘要：高考對(duì)直線方程的考查也是比較常見(jiàn)，本文嘗試用七種方法解決一道涉及角平分線的直線方程問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：直線方程；角平分線；內(nèi)切圓；正切

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）28-0031-02

收稿日期：2022-07-05

作者簡(jiǎn)介：盧會(huì)玉（1981.7-），女，甘肅省天水人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

高考對(duì)直線方程的考查也是比較常見(jiàn)，但是一般都是選擇或者填空題.有時(shí)用相關(guān)的平面幾何的知識(shí)解決問(wèn)題是非常快捷的，有時(shí)用適合題目特點(diǎn)的一些方法也是比較合適.本文對(duì)一道涉及角平分線的題進(jìn)行了深入的分析和探究，用七種方法揭秘這種類型問(wèn)題的解法.

1 試題呈現(xiàn)

題目已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，3），B（-2，0），C（2，0），則∠A的平分線所在直線l的方程為.

2 試題解析

解法1（利用角平分線的性質(zhì)求解）

易知直線AB的方程為3x-4y+6=0，直線AC的方程為x=2.

設(shè)Mx，y 是l上任意一點(diǎn)，則由點(diǎn)Mx，y到兩直線AB，AC的距離相等，得

|3x-4y+6|32+42=|2-x|.

化簡(jiǎn)，得2x-y-1=0 ，或x+2y-8=0（易知斜率為負(fù)的舍去）.

故所求直線l：2x-y-1=0.

解法2（利用角平分線的性質(zhì)及線性規(guī)劃知識(shí)求解）

易知直線AB的方程為3x-4y+6=0，直線AC的方程為x=2.

設(shè)Mx，y 是l上任意一點(diǎn)，則由點(diǎn)Mx，y到兩直線AB，AC的距離相等及線性規(guī)劃知識(shí)得3x-4y+632+42=2-x.

化簡(jiǎn)，得2x-y-1=0，即為所求.

解法3（利用角平分線的性質(zhì)及線性規(guī)劃知識(shí)求解）設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D（x0，0），又AB：3x-4y+6=0，AC：x=2，則由點(diǎn)D到直線AB，AC的距離相等及線性規(guī)劃知識(shí)，得3x0+632+42=2-x0（如圖1）.

則x0=12，即點(diǎn)D12，0.

則容易求得l：2x-y-1=0.

解法4（利用平面幾何知識(shí)求解）

依題意可知，直線l必過(guò)△ABC的內(nèi)切圓的圓心，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為P，半徑為r（如圖2）.

又由AB=5，BC=4，AC=3可知，△ABC為直角三角形.

則r=12（AC+BC-AB）=1.

所以P（1，1）.

由直線l過(guò)P（1，1）和A（2，3），

容易求得l：2x-y-1=0.

解法5（利用等面積法求解）

依題意可知，直線l必過(guò)Rt△ABC的內(nèi)切圓的圓心，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為P，半徑為r.

由直角三角形可知

SRt△ABC=12×BC×AC=12×4×3=6.

又SRt△ABC=12×3+4+5×r=6r，

所以6r=6.即r=1.則P（1，1）.

由直線l過(guò)P（1，1）和A（2，3），

容易求得l：2x-y-1=0.

解法6（利用等面積法求解）

設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D（x0，0），則點(diǎn)D到直線AB的距離d=DC=2-x0（如圖3）.

又BD=x0+2，則

S△ABD=12×BD×AC=12×AB×d.

所以3（x0+2）=5（2-x0）.

解得x0=12.

即點(diǎn)D12，0.

則容易求得l：2x-y-1=0.

解法7（利用兩角差的正切公式求解）

易知直線AB的斜率為34，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為

y-3=k（x-2）.

令y=0，則x=2-3k.

則DC=3k.

則tan∠BAD=tan（∠ADC-∠ABD）

=tan∠ADC-tan∠ABD1+tan∠ADC×tan∠ABD

=k-341+k×34.

又tan∠DAC=DCAC=3k3=1k，

則k-341+k×34=1k.

解得k=2，k=-12（易知斜率為負(fù)的舍去）.

故所求直線l：2x-y-1=0.

以上七種解法，有的靈活運(yùn)用了角平分線的定義、點(diǎn)到直線的距離公式、線性規(guī)劃等知識(shí)；有的巧用了三角形內(nèi)角平分線和圓的切線性質(zhì)，利用了內(nèi)切圓半徑r與Rt△ABC的三邊關(guān)系；有的靈活運(yùn)用了等面積法，從而快捷地求得內(nèi)心的坐標(biāo)及直線l的方程；有的利用了三角函數(shù)知識(shí)解決了問(wèn)題.應(yīng)該說(shuō)不同的方法打開(kāi)不同的思維通道，能給人很多啟發(fā).

參考文獻(xiàn)：

［1］劉輝.用直線系求解直線方程的幾種方法[J].中學(xué)生數(shù)理化（高一版），2013（11）：10.