高中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升策略

摘要：數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)重要方面，也是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的一個(gè)非常重要環(huán)節(jié).要想學(xué)好數(shù)學(xué)就要學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算，而且要算（數(shù)學(xué)運(yùn)算）得好、算得巧、算得快.正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算，樹(shù)立正確的運(yùn)算觀，掌握常見(jiàn)的運(yùn)算策略，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)運(yùn)算；核心素養(yǎng)；策略；反思；模型

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）28-0098-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡(jiǎn)介：紀(jì)政（1981.5-），男，安徽省利辛人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的定義，其是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段，是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)運(yùn)算的表現(xiàn)形式主要包括數(shù)字的計(jì)算、估值和近似計(jì)算，式子的組合變形與分解變形，以及幾何圖形各幾何量的計(jì)算求解等.

本文結(jié)合實(shí)例加以剖析，闡述數(shù)學(xué)運(yùn)算的養(yǎng)成與技巧策略，拋磚引玉.

1 樹(shù)立正確的運(yùn)算觀，學(xué)會(huì)勤于運(yùn)算

很多同學(xué)錯(cuò)誤地把“運(yùn)算”看成“死算”，以為不需要?jiǎng)幽X筋，是純粹的“體力活”.平時(shí)數(shù)學(xué)解題時(shí)“眼高手低”，做題時(shí)只注重研究解題思路，而不動(dòng)手去操作運(yùn)算，忽視了數(shù)學(xué)的運(yùn)算技巧，而只寫(xiě)數(shù)學(xué)解題過(guò)程不計(jì)算；片面專注于只做“技術(shù)人員”，專門進(jìn)行“計(jì)算器”的功能.還有部分同學(xué)有時(shí)做課外作業(yè)或練習(xí)時(shí)存在一些抄襲現(xiàn)象，這些不正確的運(yùn)算觀，都直接影響著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果，從而導(dǎo)致考試時(shí)“一算就錯(cuò)”，經(jīng)?！皶?huì)而不對(duì)”“對(duì)而不全”.其實(shí)，要讓學(xué)生從內(nèi)心認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要性，學(xué)會(huì)樹(shù)立正確的運(yùn)算觀，勤于運(yùn)算，不但是為了數(shù)學(xué)考試，更重要的是自身能力的提升.

2 加強(qiáng)自我監(jiān)控評(píng)價(jià)，學(xué)會(huì)反思運(yùn)算

在數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程中，要學(xué)會(huì)從運(yùn)算對(duì)象是否理解，運(yùn)算法則是否掌握，運(yùn)算思路是否恰當(dāng)，運(yùn)算程序是否合理，運(yùn)算過(guò)程是否簡(jiǎn)潔，運(yùn)算結(jié)果是否正確，書(shū)寫(xiě)表達(dá)是否規(guī)范，運(yùn)算速度是否快捷等不同層面加以分析、梳理、反思與探究，對(duì)存在的問(wèn)題進(jìn)行合理地歸納整理.在具體數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，學(xué)會(huì)反思運(yùn)算，從中挖掘出錯(cuò)誤的點(diǎn)，進(jìn)而從細(xì)節(jié)入手，自我深化，合理進(jìn)行模仿中鞏固，訓(xùn)練中摸索，比較中辨析，變式中優(yōu)化，綜合中創(chuàng)新等.

例1己知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的兩個(gè)焦點(diǎn)，C的短軸長(zhǎng)為4，且C上存在一點(diǎn)P，使得|PF1|=6|PF2|，試寫(xiě)出橢圓C的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程.

解析設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2a2+x24=1（a>2），c=a2-4.

根據(jù)橢圓的定義，可得|PF1|+|PF2|=2a.

由|PF1|=6|PF2|，得|PF1|=127a，|PF2|=27a.

由幾何不等式，有|PF1|-|PF2|≤|F1F2|=2c.

可得127a-27a≤2c.

整理有ca≥57.

所以c2a2≥2549.

即a2-4a2≥2549，解得a2≥496.

故答案：y29+x24=1（答案不唯一，只要滿足a2≥496即可）.

點(diǎn)評(píng)通過(guò)以上問(wèn)題的分析與解答，結(jié)合數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)質(zhì)，要學(xué)會(huì)多層面、多層次的反思：?jiǎn)栴}的來(lái)源其實(shí)就是確定橢圓離心率的取值范圍；問(wèn)題的解決還可以通過(guò)橢圓基本性質(zhì)、焦半徑公式以及橢圓第二定義等；問(wèn)題還可以進(jìn)一步加以系數(shù)的一般化處理，轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)選擇題形式出現(xiàn).

3 掌握常見(jiàn)運(yùn)算策略，學(xué)會(huì)善于運(yùn)算

3.1 模型化策略

解題時(shí)，分析所研究問(wèn)題的本質(zhì)屬性，經(jīng)過(guò)去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的工作，將問(wèn)題的基本特征構(gòu)建為數(shù)學(xué)模型，通過(guò)模型化方法探求數(shù)學(xué)運(yùn)算思路.常見(jiàn)的模型有：平面向量中的極化恒等式，導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移，立體幾何中的鱉臑陽(yáng)馬，平面解析幾何中的阿波羅尼斯圓以及阿基米德三角形等.

例2已知AB是過(guò)拋物線y2=4x焦點(diǎn)F的弦，P為該拋物線準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，則PA·PB的最小值為.

解析設(shè)點(diǎn)C是弦AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)D，根據(jù)拋物線的定義可知以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)D.

利用極化恒等式，可得

PA·PB=14[（PA+PB）2-（PA-PB）2]

=14（4PC2-BA2）

=PC2-BC2

=PC2-DC2≥0，

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)等號(hào)成立.

所以PA·PB的最小值為0.

點(diǎn)評(píng)合理巧妙地利用向量的極化恒等式可以快速對(duì)平面向量的數(shù)量積進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了平面向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體，含有線段中點(diǎn)等相關(guān)特征的平面向量問(wèn)題.

3.2 熟悉化策略

數(shù)學(xué)解題就是一個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化與變形的過(guò)程.具體操作時(shí)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的問(wèn)題，或把原問(wèn)題化歸為一個(gè)已經(jīng)解決的問(wèn)題，從而化難為易，化生為熟，化繁為簡(jiǎn)，化未知為已知，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的熟悉化.

例3如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從A（a1，a2）出發(fā)沿圖中路線依次經(jīng)過(guò)B（a3，a4），C（a5，a6），D（a7，a8），…，按此規(guī)律一直運(yùn)動(dòng)下去，則a2021+a2022+a2023+a2024等于.

解析由平面直角坐標(biāo)系可知，A（1，1），B（-1，2），C（2，3），D（-2，4），E（3，5），F(xiàn)（-3，6）.

即a1=1，a2=1，a3=-1，a4=2，a5=2，a6=3，a7=-2，a8=4，….

由此可知，數(shù)列中偶數(shù)項(xiàng)是從1開(kāi)始逐漸遞增的，且都等于其項(xiàng)數(shù)除以2；每四個(gè)數(shù)中有一個(gè)負(fù)數(shù)，且為每組的第三個(gè)數(shù)，每組的第一個(gè)數(shù)為其組數(shù)，每組的第一個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)互為相反數(shù).

因?yàn)?024÷4=506，所以a2021=506，a2022=1011，a2023=-506，a2024=1012.

則有a2017+a2018+a2019+a2020=2023.

點(diǎn)評(píng)將平面直角坐標(biāo)系中按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)進(jìn)行熟悉化處理，構(gòu)建與之對(duì)應(yīng)的數(shù)列，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題，利用數(shù)列的性質(zhì)特征化生為熟，化繁為簡(jiǎn)，從而得以巧妙轉(zhuǎn)化，合理應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與求解.

3.3 直觀化策略

數(shù)形結(jié)合思維可以很好體現(xiàn)數(shù)學(xué)的直觀化，一圖勝百算.特別在解決實(shí)數(shù)問(wèn)題時(shí)，以數(shù)軸加以直觀；在解決向量或復(fù)數(shù)問(wèn)題時(shí)，以坐標(biāo)加以直觀；在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，以圖象加以直觀；在解決方程問(wèn)題時(shí)，以曲線加以直觀等.同時(shí)掌握一些常見(jiàn)的模型加以合理直觀化處理，能很好地解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

例4在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A=π3，a=2，則BC邊上的中線AM長(zhǎng)的取值范圍是.

解析設(shè)△ABC的外接圓O的半徑為R，由A=π3，a=2，利用正弦定理可得2R=asinA=433，則有R=233.

根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，如圖2所示，此時(shí)點(diǎn)A的軌跡是以點(diǎn)O為圓心的圓的優(yōu)弧BC（不包括端點(diǎn)B，C）.

由于A=π3，可得∠BOC=2π3.

結(jié)合R=233，可得OM=33.

數(shù)形結(jié)合可知AM≤OM+R=3，當(dāng)且僅當(dāng)AM⊥BC，即點(diǎn)A與圓的優(yōu)弧BC的中點(diǎn)D重合時(shí)等號(hào)成立.

又AM>|MC-AC|>MC=1，此時(shí)點(diǎn)A無(wú)限接近于端點(diǎn)C（或另一邊的端點(diǎn)B）時(shí)，但不能重合，否則構(gòu)不成三角形.

綜上分析，可得AM∈（1，3].

點(diǎn)評(píng)涉及解三角形問(wèn)題中的線段長(zhǎng)度的最值問(wèn)題，經(jīng)常借助平面幾何圖形的直觀化策略來(lái)處理，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)的軌跡變化情況，數(shù)形結(jié)合，直觀分析，合理化“動(dòng)”為“靜”，“動(dòng)”中取“靜”，“動(dòng)”“靜”結(jié)合，確定極端最值問(wèn)題.

3.4 特殊化策略

合理的特殊化思維，就是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的一個(gè)重要策略，經(jīng)常取特殊數(shù)值，找特殊位置，選特殊函數(shù)（或數(shù)列），用特殊圖形，找極端位置等，以特殊化情境下所滿足的情況來(lái)分析，進(jìn)行合理的一般化處理.

例5著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理.已知△ABC的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點(diǎn)，且AB=4，AC=2，則下列各式正確的有（ ）.

A.AG·BC=4B.AO·BC=-6

C.OH=OA+OB+OCD.AB+AC=4OM+2HM

解析取特殊△ABC，此時(shí)A=π2，如圖3所示，分別以AB，AC所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系xAy.

則點(diǎn)A與點(diǎn)H重合，點(diǎn)M與點(diǎn)O重合.

可得A（0，0），B（4，0），C（0，2），M（2，1），G（43，23）.

所以AG·BC=（43，23）·（-4，2）=-4，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

AO·BC=（2，1）·（-4，2）=-6，選項(xiàng)B正確；

OA+OB+OC=OA=OH，選項(xiàng)C正確；

由于AB+AC=（4，2），4OM+2HM=4（0，0）+2（2，1）=（4，2），則選項(xiàng)D正確.

故選BCD.

點(diǎn)評(píng)根據(jù)題目條件，特殊化處理，利用特殊的直角三角形構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積公式等來(lái)分析與判斷.

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的一個(gè)展示平臺(tái)與綜合應(yīng)用，更是數(shù)學(xué)思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力以及創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)等的基石.數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升一定要堅(jiān)持不懈，并樹(shù)立正確的運(yùn)算觀，養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣.

參考文獻(xiàn)：

［1］賈東承.高中數(shù)學(xué)解題能力培養(yǎng)路徑探析[J].新課程導(dǎo)學(xué)，2019（35）：19.