以數(shù)解形，讓數(shù)形結合思想更加豐滿

呂立峰

【摘? ?要】數(shù)形結合是研究“數(shù)式”與“圖像”之間對應關系和轉化關系，“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”是其內(nèi)涵的兩個基本維度。針對教學中普遍存在的重“以形助數(shù)”而輕“以數(shù)解形”的課堂現(xiàn)象，從理念和內(nèi)容兩個層面對此現(xiàn)象進行歸因分析，并以《數(shù)與形》一課為例，描述了忽視“以數(shù)解形”教學價值的課堂容易出現(xiàn)的尷尬現(xiàn)象。結合教學實踐，架構了以“以數(shù)解形”為基本理念的課堂實施路徑，提出了“三環(huán)六步”的教學策略，為“數(shù)形結合”思想的真正落實做出了有益的嘗試。

【關鍵詞】以數(shù)解形；數(shù)形結合；數(shù)與形

“數(shù)”與“形”是數(shù)學中最基本的研究對象。數(shù)形結合思想就是把“數(shù)”和“形”結合起來，用統(tǒng)一的觀點來研究解決某一數(shù)學問題，即運用“數(shù)”與“式”來精確地刻畫、研究“形”，借助“形”的直觀來理解抽象的“數(shù)”，直觀與抽象相互配合，達到優(yōu)勢互補、取長補短的效用，從而有效地解決問題。這里的“數(shù)”是指數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)、數(shù)量關系式等，文中統(tǒng)稱為“數(shù)式”。這里的“形”主要是指幾何圖形和函數(shù)圖像等，文中統(tǒng)稱為“圖像”。數(shù)形結合思想有兩個維度的內(nèi)涵，分別是“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”。

什么是以形助數(shù)？以形助數(shù)一般是指借助圖像的直觀性來表達數(shù)式的數(shù)量關系。如圖1中，從右往左看，“5×4＝20（平方厘米）”的數(shù)式所表示的意義可以用“每行有5個1平方厘米的面積單位，有這樣的4行”所構成的長方形的面積來表征，這就是以形助數(shù)。

什么是以數(shù)解形？以數(shù)解形是指借助數(shù)式的精確化來刻畫圖像的某些屬性。如圖1中，從左往右看，“每行有5個1平方厘米的面積單位，有這樣的4行面積單位”所構成的長方形的面積可以用“5×4＝20（平方厘米）”這個數(shù)式來表征，這就是以數(shù)解形。

在數(shù)式和圖像的相互表征過程中，教師可以幫助學生建立“數(shù)與形”的對應關系。

一、“兩維內(nèi)涵”產(chǎn)生偏頗的歸因分析

“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”是有關聯(lián)、可互逆、相輔相成的教學方式。但在實際教學中，情況并非如此，教師注重“以形助數(shù)”的教學實踐，忽視“以數(shù)解形”的教學價值，已然成為當下“數(shù)形結合”思想真正落實的障礙。那么“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩維內(nèi)涵產(chǎn)生偏頗的原因是什么呢？

（一）理念層面：幾何直觀內(nèi)涵指向“以形助數(shù)”

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》的“課程目標”部分，提出小學階段11個核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，“幾何直觀”便是其中之一。幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣。在其內(nèi)涵描述中，特別強調(diào)“根據(jù)語言描述畫出相應的圖形；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構建數(shù)學問題的直觀模型；利用圖表分析實際情境與數(shù)學問題，探索解決問題的思路”。幾何直觀的這些內(nèi)涵無一不指向“以形助數(shù)”的教學方式。教師對幾何直觀的理解、把握和應用都是不折不扣的。因此，教師在日常中便養(yǎng)成了“先出數(shù)式，后畫圖像”的教學習慣。

（二）內(nèi)容層面：“以形助數(shù)”教學內(nèi)容極為豐富

從對國內(nèi)現(xiàn)行各個版本的數(shù)學教材中與“數(shù)形結合”有關的教學內(nèi)容分析來看，“以形助數(shù)”的教學內(nèi)容都是極為豐富的。以人教版數(shù)學教材“數(shù)與代數(shù)”領域為例，從數(shù)的認識到數(shù)的運算，從探索規(guī)律到解決問題，幾乎都在踐行“以形助數(shù)”的教學思路（如表1）。對豐富的“以形助數(shù)”教學內(nèi)容的長期教學，很容易讓教師形成“先出數(shù)式，后畫圖像”的教學習慣。

二、“兩維內(nèi)涵”產(chǎn)生偏頗的課堂尷尬

課程理念的指引和教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方式都讓教師在教學時一味注重“以形助數(shù)”的教學設計與思考，對“以數(shù)解形”的教學價值相對忽視。殊不知，數(shù)形結合兩維內(nèi)涵偏頗的課堂很容易產(chǎn)生尷尬，暴露問題。筆者以人教版教材六年級上冊《數(shù)與形》例1為例來作一些說明。

筆者在近兩年一共聽過18節(jié)同課異構的《數(shù)與形》，其中有12位教師選擇用“以形助數(shù)”的方式展開教學。具體來說，教師在課的起始階段，都是先呈現(xiàn)類似于“1+3+5+7”這樣的“從1開始連續(xù)若干個奇數(shù)的和”的數(shù)式，再讓學生借助圖像來直觀表征算式的意義。學生面對“從1開始連續(xù)若干個奇數(shù)的和”的數(shù)式是怎樣表征的呢？從學生表征的圖像樣式來看，形式非常單一，學生畫出來的圖像基本上只有橫向擺放的“線型”和縱向擺放的“三角形型”兩種（如圖2）。很顯然，用這些圖像進行表征并不能有效推進課堂教學。在對教師的訪談中得知，執(zhí)教者試圖用“以形助數(shù)”的方式展開教學，希望學生能夠呈現(xiàn)“正方形型”的圖像，有了這份素材，其他學生就能用直觀的方式發(fā)現(xiàn)類似于“1+3+5+7”這樣的數(shù)式就是一個正方形數(shù)。然而，筆者曾對42名學生的前測情況進行分析，發(fā)現(xiàn)只有4名學生能擺出符合這一數(shù)列本質的圖像。在對學生的訪談中發(fā)現(xiàn)，其中1名學生是在課外輔導班中提前習得這個知識點的，另有3名學生則是在翻閱教科書的時候無意中看到過這個圖像。在這樣的現(xiàn)實面前，教師只能尷尬地把“正方形型”圖像直接“給予”學生，并告訴他們“這樣的數(shù)式還可以用正方形擺放出來”。

上述“數(shù)與形”的案例，很清楚地展示了一味采用“以形助數(shù)”的方式展開教學容易產(chǎn)生的問題，即用圖像表征數(shù)式的結果單一趨同，無法反映出數(shù)式的本質屬性。

三、“兩維內(nèi)涵”保持平衡的教學策略

在實際教學中，如何保持數(shù)形結合兩維內(nèi)涵的平衡呢？首先看“以形助數(shù)”這個維度，因為有了幾何直觀內(nèi)涵的不斷滲透以及豐富教學內(nèi)容的反復出現(xiàn)，所以“以形助數(shù)”教學行為的落地是完全可以得到保證的。然后看“以數(shù)解形”這個維度，如何讓教師在關聯(lián)“數(shù)形結合”的教學內(nèi)容中強化“以數(shù)解形”的設計理念和課堂行為呢？在具體的課例中探尋實施路徑和教學策略是最為重要的。以《數(shù)與形》例1為例，在課堂教學中采用“三環(huán)六步”的教學路徑和策略（如圖3），把“以數(shù)解形”的設計理念和行為落到實處。

（一）第一環(huán)：多維視角，構造豐富數(shù)式

1.第1步，改造教材原圖

教材“序”是“先出圖像，再寫數(shù)式”，但是很多教師會主動改變教材“序”，選擇“以形助數(shù)”的教學“序”展開。教師的這種主動改變，除了上述分析的原因外，還有一個非常關鍵的因素，那就是教材中呈現(xiàn)的圖像。教材中的圖像是用若干個小正方形密鋪成大正方形來表征“平方數(shù)”的，實踐證明采用教材原圖，大多數(shù)學生只會從橫向和縱向兩個角度進行觀察，只會用“同數(shù)連加”的數(shù)式來表征小正方形的總個數(shù)。如果想要讓學生從“7字形”的角度進行觀察，得出符合正方形數(shù)特征的加法數(shù)式，那么就要對教材原圖進行改造。筆者嘗試把教材原圖改造成了一個用若干小圓形拼成的方陣圖（如圖4），收到了很好的效果。

2.第2步，構造豐富數(shù)式

改造之后的方陣圖構圖簡單、取材容易、操作方便（師生可以直接用小磁扣在黑板上擺放和演示），更為重要的是改造之后的方陣圖比原圖更加便于學生從多角度進行觀察。課堂上，學生圍繞改造之后的方陣圖，從不同的角度觀察，構造出了不同的加法數(shù)式。學生的作品如表2。

（二）第二環(huán)：數(shù)形互表，解釋數(shù)式本質

1.第3步，聚焦重點數(shù)式

教師通過方陣圖呈現(xiàn)學習材料，讓學生自主構造數(shù)式。學生從六個角度進行了觀察，一共構造出五個加法數(shù)式（如表2）。這五個數(shù)式中，全部學生都能構造出“5+5+5+5+5”，事實上這屬于低年級學生也應具備的能力，本節(jié)課無須過多回應。而“1+8+16”或“16+8+1”只有48.1%的學生能夠構造出來，且“回字形”視角構造的數(shù)式模型是不穩(wěn)定的，因為它會隨著方陣圖邊長（每條邊上的圓片數(shù)）的奇偶性不同而變化，這個數(shù)式模型更適合在初中階段進行研究。在剩余的三個數(shù)式，即作品③、作品④和作品⑥中，教師引導學生聚焦作品④的“1+3+5+7+9”這個重點數(shù)式，因為只有它才真正體現(xiàn)出正方形數(shù)的本質特征。

2.第4步，表征數(shù)式本質

正方形數(shù)的數(shù)式本質主要是數(shù)列的首項是1，公差為2，概括起來就是“從1開始連續(xù)若干個奇數(shù)的和就是正方形數(shù)”。筆者通過兩個問題的驅動引導學生自主探究，表征數(shù)式特征。

【片段1】研究“正方形數(shù)”的特征

師：如果繼續(xù)在“7字形”方陣圖外圍擺放小圓片，至少需要擺幾個才能拼成一個更大的方陣？

生：每次擺放的比前一次多2個就可以了。

師：你能通過擺一擺或畫一畫的方法具體說明嗎？

生：（邊比畫圖5，邊說明）“1+3+5+7+9”這個式子后面加11，我們剛才用9個小圓片去圍，結果發(fā)現(xiàn)要圍成更大的方陣一定還缺2個（學生邊說邊指著兩個黑色小圓片）。所以增加的小圓片數(shù)量至少應該是“前一個加數(shù)多2”。

師：繼續(xù)往下擺呢？

生：按照同樣的方法繼續(xù)往下擺，需要增加的小圓片數(shù)都是“前一個加數(shù)多2”。

師：一個正方形數(shù)如果去掉第一個加數(shù)1，剩余的小圓片還能擺成一個方陣圖嗎？

（學生不停地擺放圓片，嘗試擺方陣圖，部分學生作品如圖6。）

師：你們的努力成功了嗎？

生：沒有，只要拿走1個，剩下的小圓片永遠都擺不成一個方陣。

師：這說明什么問題呢？

生：任何兩個正方形數(shù)的差都不可能是1。

師：通過剛才的兩次操作活動，你認為怎樣的加法數(shù)式才是正方形數(shù)呢？

生：從1開始連續(xù)若干個奇數(shù)的和才是一個正方形數(shù)。

通過上述兩次操作活動，學生利用圖像的直觀表征，順利地掌握了正方形數(shù)的本質特征，即正方形數(shù)就是首項為1，公差為2的一組數(shù)列。

（三）類比關聯(lián)，拓展數(shù)式模型

1.第5步，由此及彼，關聯(lián)新數(shù)式

類比是一種推理思想，以“從1開始連續(xù)若干個奇數(shù)的和”為基點，學生能想到什么呢？學生通常會提出這樣兩個問題：第一個問題是從2開始連續(xù)若干個偶數(shù)的和是“什么數(shù)”？第二個問題是從1開始連續(xù)若干個自然數(shù)的和是“什么數(shù)”？通過類比推理，學生會從正方形數(shù)出發(fā)，主動關聯(lián)“2+4+6+8+10+……”和“1+2+3+4+5+……”這樣兩個新數(shù)式。

2.第6步，圖像變形，表征新數(shù)式

學生的兩個問題引出了兩個新的數(shù)式，對新數(shù)式的表征過程也讓圖像變形成為了可能。師生對“作品③”和“作品⑥”（如表2）兩份課堂生成資源的充分利用，便讓這種可能性成為了現(xiàn)實。

【片段2】研究“長方形數(shù)”的特征

師：“從2開始連續(xù)若干個偶數(shù)的和”會是怎樣的呢？請大家觀察剛才的作品③和作品⑥，思考該如何解決這個問題。請把你的想法畫出來。

（在學生思考和交流之后，教師選擇了三幅有代表性的作品，帶領學生經(jīng)歷了解決問題的過程。圖7中，圖像下面的數(shù)式是教師根據(jù)學生的表述相機寫的，這可以使研究過程更加清晰。）

師：通過剛才的研究，你知道了什么？

生：我們小組發(fā)現(xiàn)，從2開始連續(xù)若干個偶數(shù)的和是一個“長方形數(shù)”，而且“長方形圖”中的“長”和“寬”相差1。它們的和＝項數(shù)×（項數(shù)+1）。

師：“項數(shù)”和“項數(shù)+1”分別表示什么？

生：“項數(shù)”在數(shù)式中表示偶數(shù)的個數(shù)，“項數(shù)+1”表示比偶數(shù)個數(shù)多1?！绊棓?shù)”在圖形中表示長方形的寬所包含的小圓片個數(shù)，“項數(shù)+1”則表示長方形的長所包含的小圓片個數(shù)。

【片段3】研究“三角形數(shù)”的特征

師：“從1開始連續(xù)若干個自然數(shù)的和”又會是怎樣的呢？請大家用剛才的方法，想一想該如何解決這個問題？請把你的想法畫出來。

（在學生思考和交流之后，教師選擇了兩幅有代表性的作品，帶領學生經(jīng)歷了解決問題的過程。圖8中，圖像下面的數(shù)式是教師根據(jù)學生的表述相機寫的，這可以使研究過程更加清晰。）

師：通過剛才的研究，你知道了什么？

生：我們發(fā)現(xiàn)，從1開始連續(xù)若干個自然數(shù)的和是一個“三角形數(shù)”。它們的和＝項數(shù)×（項數(shù)+1）÷2。

師：“項數(shù)”和“項數(shù)+1”分別表示什么？

生：“項數(shù)”在數(shù)式中表示自然數(shù)的個數(shù)，“項數(shù)+1”表示比自然數(shù)的個數(shù)多1?！绊棓?shù)”在圖形中表示三角形的底所包含的小圓片的個數(shù)，“項數(shù)+1”表示比三角形的高所包含的小圓片的個數(shù)多1。

【片段4】研究“正方形數(shù)、長方形數(shù)和三角形數(shù)”的關系

師：我們一起來觀察正方形數(shù)、長方形數(shù)和三角形數(shù)，你們又有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：兩個完全一樣的三角形數(shù)可以組成一個長方形數(shù)。

生：兩個相鄰的三角形數(shù)可以組成一個正方形數(shù)。

生：正方形數(shù)加上它的末項就是一個長方形數(shù)。

（教師根據(jù)學生的回答，用課件呈現(xiàn)三者之間相互關聯(lián)的結構圖，如圖9。）

通過上述的思考與實踐，不難看出，重視“以數(shù)解形”，可以創(chuàng)生出豐富多元的數(shù)式表征，可以為學生提供更多合作學習的機會，可以讓知識間的關聯(lián)更加自然和豐富。當然，我們也要清醒地認識到，數(shù)形結合思想中，基礎是數(shù)形對應，關鍵是數(shù)形轉化，“數(shù)”與“形”相輔相成，不能偏頗。故有“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微”的說法。

參考文獻：

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（浙江省杭州市富陽區(qū)教育發(fā)展研究中心? ?311400）