“不聯(lián)立”解決一類圓錐曲線中直線過定點(diǎn)問題

摘要：本文以幾道高考試題和模擬題為例，探究了高考題和模擬題中一類圓錐曲線中直線過定點(diǎn)問題“不聯(lián)立”的解決辦法，同時(shí)對圓錐曲線相關(guān)性質(zhì)的教學(xué)給出了一點(diǎn)建議.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；聯(lián)立；定點(diǎn)；斜率

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）28-0060-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：魏東升（1985.4-），男，江西省安遠(yuǎn)人，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

圓錐曲線定點(diǎn)問題一直是高考的重點(diǎn)熱點(diǎn)問題，對于這類問題需要考生掌握扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本的解題方法.直線過定點(diǎn)問題常見的解題方法主要有兩種：一種是通過引進(jìn)參數(shù)表示出直線經(jīng)過的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，再由這兩點(diǎn)確定直線的方程，從而經(jīng)過化簡得到直線的定點(diǎn)；另一種是直接假設(shè)出直線的方程，然后和圓錐曲線聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理找出直線中參數(shù)的關(guān)系，從而得到直線的定點(diǎn). 這兩種方法一般都有聯(lián)立所設(shè)直線和圓錐曲線方程，計(jì)算量很大，不易找到定點(diǎn).本文專注于“不聯(lián)立”的思路來找直線過的定點(diǎn)，所給的解決方案具有普遍性：1 “不聯(lián)立”與橢圓

例1（2020年新高考山東卷第20題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的離心率為22，且過點(diǎn)A（2，1）.

（1）求C的方程；

（2）點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，點(diǎn)D為垂足.證明：存在定點(diǎn)Q，使得DQ為定值.

解析對于第（1）問，由題意可得橢圓方程為

x26+y23=1，詳細(xì)解答過程略.

以下對第（2）問進(jìn)行探究：

直線過定點(diǎn)x0，y0的問題，常通過假設(shè)直線的截距式y(tǒng)=kx+b方程，進(jìn)而找到方程系數(shù)之間的關(guān)系來求得定點(diǎn)，這種解法是一種常用的方法，也是高考參考答案給出的方法.但許多考生并不能準(zhǔn)確找到系數(shù)之間的關(guān)系，而且有的問題并不能用這種方法.這個(gè)時(shí)候我們可以嘗試采用另一種思路：

假設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），當(dāng)直線AM，AN的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AM的方程為

y=k（x-2）+1.

因?yàn)锳M⊥AN，所以直線AN的方程為

y=-1k（x-2）+1.

聯(lián)立y=k（x-2）+1和x26+y23=1可得

（1+2k2）x2-（8k2-4k）x+8k2-8k-4=0.

由2·x1=8k2-8k-41+2k2，得

x1=4k2-4k-21+2k2.

代入y=k（x-2）+1，得

y1=-2k2-4k+11+2k2.

即M（4k2-4k-21+2k2，-2k2-4k+11+2k2）.

同理可得N（-2k2+4k+42+k2，k2+4k-22+k2）.

故kMN=

k2+4k-2-2+k2-

-2k2-4k+11+2k2

-2k2+4k+42+2k2-

4k2-4k-21+2k2

=k2+3k-1-2k2+3k+2

所以直線MN的方程為

y=k2+3k-1-2k2+3k+2（x-4k2-4k-21+2k2）+-2k2-4k+11+2k2

=k2+3k-1-2k2+3k+2（x-23）+1+2k23（1+2k2）

=k2+3k-1-2k2+3k+2（x-23）-13.

即直線MN過定點(diǎn)E（23，-13）.

當(dāng)直線AM，AN的斜率有一個(gè)為0時(shí)，可得M（-2，1），N（2，-1），所以直線MN的方程為x+2y=0，過定點(diǎn)E（23，-13）.

由于AE為定值，且ΔADE為直角三角形，AE為斜邊，

所以AE中點(diǎn)Q滿足DQ為定值（AE長度的一半

12

（2-23）2+（1+13）2=423）.

由于A（2，1），E（23，-13），所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得Q（43，13）.

故存在點(diǎn)Q（43，13），使得DQ為定值.

與第一種思路相比，這種假設(shè)直線的方法相對更自然，但最后一步要準(zhǔn)確找到直線的定點(diǎn)卻并不容易，我們來看“不聯(lián)立”的解決辦法：

假設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），則x226+y223=1.

變形可得y2-1x2-2=x2+2-2（y2+1）.

因?yàn)閗AM·kAN=y1-1x1-2·y2-1x2-2=y1-1x1-2·x2+2-2（y2+1）=-1，

整理，得

2x1y2-x2y1-4y2-2y1+2x1+x2-2=0.

同理可得2x2y1-x1y2-4y1-2y2+2x2+x1-2=0.

兩式作差，得

3（x1y2-x2y1）-2（y2-y1）+x1-x2=0.

即x1y2-x2y1x1-x2=-2（y2-y1）3（x1-x2）-13.

所以直線MN的方程為

y=y2-y1x2-x1（x-x1）+y1=y2-y1x2-x1x-x1y2-x2y1x2-x1=y2-y1x2-x1（x-23）-13.

所以過定點(diǎn)E（23，-13），以下解法同上.

2 “不聯(lián)立”與雙曲線

例2（2021年江西贛州高三期末第20題）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為F，半焦距c=2，點(diǎn)F到右準(zhǔn)線x=a2c的距離為12，過點(diǎn)F作雙曲線C的兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明：直線MN必過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo).

解析對于第（1）問，由題意可得c-a2c=12，c=2，所以a2=3，b2=c2 -a2=1.

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23-y2=1.

對于第（2）問，常規(guī)思路是通過假設(shè)直線AB，CD的方程，分別和雙曲線聯(lián)立可得M，N的坐標(biāo)，從而用點(diǎn)斜式的方式得到定點(diǎn)，這個(gè)時(shí)候還要考慮直線AB，CD和坐標(biāo)軸平行的情況.我們來看“不聯(lián)立”的解決辦法：

假設(shè)點(diǎn)A（m1，n1），B（m2，n2），點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），則m213-n21=1，m223-n22=1.

作差變形，得

n1-n2m1-m2·n1+n2m1+m2=13.

即y1x1-2·y1x1=13.

同理可得y2x2-2·y2x2=13.

從而kAB·kCD=y1x1-2·y2x2-2=y1x1-2·x23y2=-1.

整理，得3x1y2+x2y1-6y2=0.

同理可得3x2y1+x1y2-6y1=0.

兩式作差，得

x1y2-x2y1=3（y2-y1）.

所以直線MN的方程為

y=y2-y1x2-x1（x-x1）+y1

=y2-y1x2-x1x-x1y2-x2y1x2-x1

=y2-y1x2-x1（x-3）.

所以直線MN過定點(diǎn)E（3，0）.

3 “不聯(lián)立”與拋物線

例3（2022年福建漳州質(zhì)檢第20題）拋物線y2=2px（p>0）上的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（12，0），過拋物線內(nèi)的點(diǎn)P（1，1）作兩條斜率分別k1，k2的動(dòng)弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N.

（1）若P（1，1）是AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程；

（2）若k1+k2=1，證明：直線MN必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).

解析對于第（1）問，由題意可得拋物線y2=2x，利用點(diǎn)差法可得直線AB的方程為y=x.

對于第（2）問，其和例2中的雙曲線一樣，都是弦中點(diǎn)連線過定點(diǎn)問題的.我們來看“不聯(lián)立”的解決辦法：

假設(shè)點(diǎn)A（m1，n1），B（m2，n2），點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），則n21=2m1，n22=2m2.

作差變形，得

n1-n2m1-m2=2n1+n2.

即y1-1x1-1=1y1.

同理可得y2-1x2-1=1y2.

從而k1+k2=y1-1x1-1+y2-1x2-1=y1-1x1-1+1y2=1.

整理，得x1y2=x1-1+y1y2.

同理可得：x2y1=x2-1+y1y2.

兩式作差，得

x1y2-x2y1=x1-x2.

所以直線MN的方程為

y=y2-y1x2-x1（x-x1）+y1

=y2-y1x2-x1x-x1y2-x2y1x2-x1

=y2-y1x2-x1x+1.

所以直線MN過定點(diǎn)E（0，1）.

需要指出的是，例1中的點(diǎn)A（2，1）在橢圓上，所以是利用橢圓方程轉(zhuǎn)化斜率之間的關(guān)系.而例2和例3中的點(diǎn)雖然不在橢圓上，但都是中點(diǎn)，故而可以用點(diǎn)差法的思路迅速得到斜率之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.

圓錐曲線中的定點(diǎn)問題在高考中有廣泛的應(yīng)用，像這樣以小專題的形式介紹圓錐曲線中存在的問題，短、平、快地一次性徹底地解決與其有關(guān)的問題，對學(xué)生解題水平的訓(xùn)練、思維能力的培養(yǎng)和學(xué)科素養(yǎng)的提升，想來都是極好的.

參考文獻(xiàn)：

［1］魏東升.衣帶漸寬終不悔為“e”消得人憔悴——以“e2-1”為定值的有心二次曲線問題探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2021（09）：29-31.