切線放縮在函數(shù)雙零點(diǎn)問題中的應(yīng)用

摘要：文章介紹了函數(shù)的凹凸性，并從函數(shù)凹凸性的視角，利用切線放縮對一類雙零點(diǎn)的函數(shù)壓軸題進(jìn)行解答，并歸納其規(guī)律.

關(guān)鍵詞：凹凸性；切線放縮；雙零點(diǎn)；數(shù)形結(jié)合

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0023-04

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：林國紅（1977-），男，廣東省佛山人，本科，中學(xué)高級教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

函數(shù)的凹凸性是高等數(shù)學(xué)研究函數(shù)的性質(zhì)之一，雖然高中數(shù)學(xué)中沒有對函數(shù)的凹凸性作具體要求，但以函數(shù)凹凸性為背景的試題屢見不鮮，這些試題情景新穎，能考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì)，常作為壓軸題出現(xiàn).

下面簡單介紹函數(shù)的凹凸性，并從函數(shù)凹凸性的視角，利用切線放縮對一類雙零點(diǎn)的函數(shù)壓軸題進(jìn)行探究，供大家參考.

1 函數(shù)的凹凸性及常用性質(zhì)

1.1 凹凸函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上連續(xù)，如果對于x1，x2∈I，恒有f（x1+x22）

設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上連續(xù)，如果對于x1，x2∈I，恒有f（x1+x22）>f（x1）+f（x2）2，則稱y=f（x）的圖象是凸（上凸）的，函數(shù)y=f（x）為凸（上凸）函數(shù).

1.2 凹凸函數(shù)的常用性質(zhì)

1.2.1 凹凸函數(shù)的判定定理

設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么：

若f（x）在（a，b）內(nèi)有f ″（x）>0，則f（x）在［a，b］上是下凸函數(shù)；

若f（x）在（a，b）內(nèi)有f ″（x）<0，則f（x）在［a，b］上是上凸函數(shù).

1.2.2 切線放縮（切線不等式）

若f（x）在區(qū)間I為下凸函數(shù)，則對于x0∈I，有f（x）≥f ′（x0）（x-x0）+f（x0）；

若f（x）在區(qū)間I為上凸函數(shù)，則對于x0∈I，有f（x）≤f ′（x0）（x-x0）+f（x0）.

評注下凸函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)的切線在函數(shù)圖象的下方，上凸函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)的切線在函數(shù)圖象的上方.

2 切線放縮估計函數(shù)雙零點(diǎn)范圍的基本原理

若f ″（x）>0，則f（x）在區(qū)間Ⅰ為下凸函數(shù)，因此f ′（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增，從而f（x）最多有一個最小值，即下凸函數(shù)的圖象僅有兩種形態(tài)：無最小值型（如圖1）和有一個最小值型（如圖2）.

若f（x）在區(qū)間Ⅰ為下凸函數(shù)，且f（x）有最小值，f（x）的圖象與y=m交于A（x1，m），B（x2，m）兩點(diǎn)，f（x）在點(diǎn)C處的切線l1，在點(diǎn)D處的切線l2（如圖3）.這樣我們就可以利用切線l1與l2和y=m的交點(diǎn)來估計x1與x2相關(guān)的范圍，這是切線放縮估計函數(shù)雙零點(diǎn)范圍的基本原理.

對于上凸函數(shù)，其原理與下凸函數(shù)類似，限于篇幅，不再給出.

3 典型例題

例1（2021年新高考Ⅰ卷22題）已知函數(shù)f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b，證明：2<1a+1b

解析（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+），且f ′（x）=-lnx，故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+）上單調(diào)遞減.

（2）由（1）可知，f（x）在（0，+）上只有一個極值點(diǎn)1.

因?yàn)閎lna-alnb=a-b

blna-alnbab=a-bab

lnaa+1a=lnbb+1b

1a（1-ln1a）=1b（1-ln1b）

f（1a）=f（1b）.

若令x1=1a，x2=1b，則原命題等價于：

已知f（x1）=f（x2），證明：2

下面僅證x1+x2

設(shè)0

設(shè)f（x）與y=m，m∈（0，1）交于A，B兩點(diǎn)，

A（x1，m），B（x2，m），則0

由于f（x）在點(diǎn)（e，0）處的切線方程為

y=-x+e

設(shè)切線與y=m交于點(diǎn)C（xc，m），則

xc=-m+e.

直線y=x與y=m的交點(diǎn)為（m，m），如圖4，所以0

兩式相加，即得x1+x2

例2（2021年湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考21題）已知函數(shù)f（x）=3x-x3，若關(guān)于x的方程f（x）=a有兩個正實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）求證：x2-x1<2-a2.

解析（1）a的取值范圍為（0，2），過程略.

（2）由于f ′（x）=3-3x2，f ″（x）=-6x，可得

f（x）在（0，+）上是上凸函數(shù).

易得f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，故當(dāng)x∈［0，3］時，f（x）max=f（1）=2，作出f（x）的圖象，如圖5.

設(shè)y=f（x）與y=a，a∈（0，2）交于A，B兩點(diǎn)，

A（x1，a），B（x2，a），則0

由于f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y=3x，設(shè)切線y=3x與y=a交于點(diǎn)C（xc，a），則xc=a3.

由于f（x）在點(diǎn)（3，0）處的切線方程為

y=-6x+63，設(shè)切線y=-6x+63與y=a交于點(diǎn)D（xD，a），則xD=3-a6.

如圖5可知，

x2-x1

=3-a6-a3

=3-a2.

故x2-x1<2-a2.

例3（2020年合肥三診理科21題）已知函數(shù)f（x）=1-x2ex（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)x0，以及曲線y=f（x）在x=x0處的切線方程；

（2）設(shè)方程f（x）=m（m>0）有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，求證：|x1-x2|<2-m（1+12e）.

解析（1）當(dāng)f（x）=1-x2ex=0時，解得x=1或x=-1，故f（x）的零點(diǎn)為1或-1.

由于f ′（x）=（x-1）2-2ex，

則f ′（1）=-2e.

所以曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為

y=-2e（x-1）.

由于f ′（-1）=2e，

所以曲線y=f（x）在x=-1處的切線方程為

y=2e（x+1）.

（2）由（1）可知f ′（x）=（x-1）2-2ex，

則f ′（0）=-1，且f（0）=1.

所以曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為

y=-x+1.

又因?yàn)閒 ″（x）=-（x-2）2+3ex，

故當(dāng)x∈（-1，2-3）時，f ″（x）<0；

當(dāng)x∈（2-3，1）時，f ″（x）>0.

所以f（x）在［-1，2-3］是上凸函數(shù)，在（2-3，1］是下凸函數(shù).

從而當(dāng)x∈（-1，0］時，直線y=2e（x+1）在曲線y=f（x）上方.

即2e（x+1）>1-x2ex；

當(dāng)x∈（0，1）時，直線y=-x+1在曲線y=f（x）上方.

即1-x2ex<-x+1.

因?yàn)榉匠蘤（x）=m（m>0）有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，設(shè)直線y=m與曲線y=f（x）交于A，B兩點(diǎn)，則

A（x1，m），B（x2，m），直線y=2e（x+1）與直線y=m交于點(diǎn)C（x3，m），直線y=-x+1與直線y=m交于點(diǎn)D（x4，m），如圖6.

聯(lián)立y=2e（x+1），y=m，

解得x3=m2e-1.

以及y=-x+1，y=m，

解得x4=1-m.

如圖6可知，

|x1-x2|<|x3-x4|

=1-m-（m2e-1）

=2-m（1+12e）.

評注上述典例中問題（2）的命題背景都是立足于函數(shù)凹凸性中的切線放縮，解題思路是通過切線與直線y=m的交點(diǎn)橫坐標(biāo)來估計出兩個零點(diǎn)和（或差）的范圍.切線放縮法能降低思維強(qiáng)度，簡化推理和運(yùn)算過程，具有直觀、簡潔的特點(diǎn)，解題方法新穎獨(dú)到，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的魅力.需要注意的是，在例3中如果選擇曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y=-2e（x-1）來放縮，則得不到想要的結(jié)果，因?yàn)楫?dāng)x∈（0，1）時，切線y=-2e（x-1）并不在曲線y=f（x）的上方（如圖7）.所以，準(zhǔn)確選擇切線是解題的關(guān)鍵.

以函數(shù)凹凸性中的切線放縮為命題背景的試題還有很多，通過以上幾道例題，不難體會函數(shù)凹凸性等相關(guān)知識的豐富性，雖然函數(shù)凹凸性不屬于高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，將其“鑲嵌”在高中試題中可謂獨(dú)具匠心.這也表明：高等數(shù)學(xué)的相關(guān)理論是命制一些具有創(chuàng)新力與區(qū)分度試題的重要來源.若能多了解一些函數(shù)凹凸性的相關(guān)理論知識，可以“登高望遠(yuǎn)”，便于找到問題的本質(zhì)內(nèi)涵，養(yǎng)成對試題背后的內(nèi)在關(guān)系進(jìn)行分析與思考習(xí)慣.

最后提供兩個題目作為練習(xí)，以加深體會切線放縮的解題思路.

練習(xí)1（2020年哈爾濱二模理21題）已知函數(shù)f（x）=mxlnx-（m+1）lnx，f ′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù).

（1）討論函數(shù)f ′（x）的單調(diào)性；

（2）若當(dāng)m>0時，函數(shù)f（x）與g（x）=3e-x的圖象有兩個交點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1

練習(xí)2（2020年1月清華大學(xué)中學(xué)生學(xué)術(shù)能力測試?yán)?1題）已知函數(shù)f（x）=（x+1）（ex-1）.

（1）求f（x）在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線方程；

（2）若方程f（x）=b有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1

參考文獻(xiàn)：

［1］林國紅.撥云見月 解法自然來——2018年全國卷Ⅲ理科第21題的解法探析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2019（07）：53+1-2.

[2] 林國紅.2020年高考全國Ⅲ卷理科第21題的探析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2021（01）：53+1-3.

［3］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.