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    2019年揚州市中考數(shù)學(xué)壓軸題的解法探究與啟示

    2022-05-30 03:19:44張雪
    關(guān)鍵詞:壓軸題教學(xué)啟示中考

    [摘? 要] 研究者探究了2019年揚州市中考壓軸題的多種解法,得到了幾個教學(xué)啟示:注重夯實基礎(chǔ),以培養(yǎng)學(xué)生運用圖形運動的思維分析幾何圖形的習(xí)慣;關(guān)注專題研究,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng),以體現(xiàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題考創(chuàng)新與考發(fā)展的要求.

    [關(guān)鍵詞] 中考;壓軸題;多種解法;教學(xué)啟示

    原題呈現(xiàn)

    2019年(揚州中考·數(shù)學(xué))第28題:如圖1,已知等邊△ABC的邊長為8,點P是AB邊上的一個動點(與點A,B不重合).直線l是經(jīng)過點P的一條直線,把△ABC沿直線l折疊,點B的對應(yīng)點是點B′.

    (1)如圖2,當(dāng)PB=4時,若點B′恰好在AC邊上,則AB′的長度為______;

    (2)如圖3,當(dāng)PB=5時,若直線l∥AC,則BB′的長度為______;

    [A][B][C][P][l][B′][A][B][C][P][l][B′][圖2][圖3]

    (3)如圖4,點P在AB邊上運動過程中,若直線l始終垂直于AC,△ACB′的面積是否變化?若變化,說明理由;若不變化,求出面積;

    (4)當(dāng)PB=6時,在直線l變化過程中,求△ACB′面積的最大值.

    試題解法探究

    (一)對于第(1)問的解法探究

    思考方向1:

    由題目已知條件可以得到:如圖5,當(dāng)PB=4時,點P是邊AB的中點,由折疊的性質(zhì)可以知道PB=PA=PB′;當(dāng)點B′在邊AC上時,△APB′是等腰三角形,再由△ABC是等邊三角形可知∠A=60°,這樣就可知△APB′是等邊三角形,所以AB′的長度為4.

    思考方向2:

    由題目已知條件可以得到:如圖6,當(dāng)PB=4時,點P是邊AB的中點,由折疊的性質(zhì)可以知道PB=PA=PB′;因此由圓的集合定義可以知道點A,B,B′在以點P為圓心,AB長為直徑的圓上,連接BB′,由直徑所對的圓周角為直角可以知道∠BB′A=90°;再由△ABC是等邊三角形可知∠A=60°,可以知道△BB′A是一個含有60°的直角三角形,由特殊角的三角函數(shù)可以求解AB′=AB=4.

    方法感悟 本小題雖是動態(tài)幾何的基礎(chǔ),但因動點P的位置確定,而轉(zhuǎn)化成了“靜態(tài)”幾何. 學(xué)生需要準(zhǔn)確地畫出符合條件的圖形,并依據(jù)軸對稱的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓的集合定義、60°角的三角函數(shù)來求解. 關(guān)鍵之處是抓住了“折疊出等腰”、借助折疊不變性,如對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等,實現(xiàn)導(dǎo)角轉(zhuǎn)化,輕松獲解.

    (二)對于第(2)問的解法探究

    思考方向1:

    由l∥AC可知△BPE∽△BAC,即△ABC與△PBE都是等邊三角形.由折疊不變性可知△PB′E也是等邊三角形,PB=PB′,所以∠BPB′=120°,再由PB=5,頂角為120°的等腰三角形的腰∶底=1∶可得:BB′=5.(如圖7)

    思考方向2:

    如圖7,由“對稱點的連線被折痕垂直平分”可得BB′=2OB. 再由l∥AC可知△BPE∽△BAC,即△ABC與△PBE都是等邊三角形,所以∠BPO=60°,結(jié)合PB=5,在Rt△OBP中運用60°角的正弦可以求出BO=,所以BB′=5.

    方法感悟 本小題是抓住動直線l與AC平行時,△ABC與△PBE相似,兩個三角形都是等邊三角形. 再根據(jù)“折疊不變性”得到△BPB′是一個頂角為120°的等腰三角形.當(dāng)BP=5長度確定時,根據(jù)“定角定比”巧施比例,直接求解. 也可以借助“折疊的性質(zhì)”得到BB′=2OB,當(dāng)BP=5長度確定時,Rt△OBP就是確定的,并通過解直角三角形求解OB,間接求解BB′. 學(xué)生抓住了在動點變化中不變的圖形性質(zhì)以及某些變量確定時帶來的新的變量確定,巧妙地定性分析. 然后再結(jié)合基本圖形的性質(zhì)來解答,比如含有120°角的等腰三角形底與腰的特殊比、解直角三角形等.

    (三)對于第(3)問的解法探究

    思考方向:

    由本小題條件可知雖然點P位置不確定,但是過點P的直線l始終都滿足:l⊥AC(如圖8). 再由“對稱點的連線被折痕垂直平分”可以得到l⊥BB′,所以BB′∥AC.依據(jù)平行線之間的距離處處相等,再由“同底等高”可知△ACB′面積不變,即S=S=16.

    方法感悟 本小題中因為點P的位置不確定,所以過點P的直線l有無數(shù)條.但都滿足l⊥AC,因此直線l是一組互相平行的線,同時點B′隨著直線l 位置的變化而變化,點B′也有無數(shù)個,由“對稱點的連線被折痕垂直平分”可知始終都有:BB′⊥l,所以BB′∥AC,即點B與點B′到AC邊的距離相等,所以學(xué)生會發(fā)現(xiàn)雖然△ACB′的形狀不能確定,但是根據(jù)“同底等高”可以知道△ACB′面積不變. 學(xué)生在思考本小題的解決方法時,可緊扣“變中有恒”,巧妙轉(zhuǎn)化,化未知為已知.

    (四)對于第(4)問的解法探究

    思考方向:

    本題中點P位置確定,BP=6,根據(jù)“折疊不變性”可得PB′=PB=6. 所以根據(jù)圓的集合定義可知:點B′始終在以點P為圓心,6為半徑的定圓上(如圖9).需要求當(dāng)過點P的直線l在變化過程中,△ACB′面積的最大值,因AC邊長度為8,所以當(dāng)點B′到直線AC的距離最大時,△ACB′面積最大. 當(dāng)B′P⊥AC時,垂足為點H,此時距離最大,最大值為B′H(如圖10). 借助于Rt△APH中60°正弦可以求解PH=,所以S最大值=24+4.

    方法感悟 本小題在點P確定的前提下,結(jié)合了點B′的軌跡是圓的思想,及“折疊出隱圓”,從而將問題轉(zhuǎn)化為“在圓上找一點到直線AC的距離最大”.而圓上一點到已知直線的距離最大是圓學(xué)習(xí)中常見的基本圖形,在求解過程中又利用基本圖形——直角三角形,通過三角函數(shù)求解邊的長度.

    本考題中涉及動點P、過P點的直線l、定點關(guān)于動直線l的對稱點B′,有三個不確定的量,并且彼此之間有著內(nèi)在的聯(lián)系. 第(1)問中確定了點P,B′的位置;第(2)問確定了點P,直線l的位置都是將“動”變?yōu)椤办o”,利用折疊不變性解決問題;第(3)問直線l隨著點P的運動而運動,但是始終與邊AC垂直,要求學(xué)生能夠“動中求靜”,分析在變化過程中圖形存在的不變的本質(zhì)性質(zhì)是什么. 學(xué)生可以設(shè)想“靜態(tài)”下圖形的特征,研究“靜態(tài)”之下圖形存在的性質(zhì);第(3)問中抓住了雖然在變化過程中B′的位置不確定,但是BB′與直線l垂直,即BB′始終與AC平行,發(fā)現(xiàn)高不變,進而解決問題;第(4)問中點P位置確定但其他都在變化,透過“動態(tài)”現(xiàn)象看本質(zhì),尋找不變的關(guān)系:PB′=6,可得知點B′的軌跡是圓. 再將面積最大值問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離最大. 在整個解答過程中,數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想被發(fā)揮得淋漓盡致.

    幾何教學(xué)啟示

    (一)注重夯實基礎(chǔ),培養(yǎng)學(xué)生運用圖形運動的思維分析幾何圖形的習(xí)慣

    新課標(biāo)提出,注重培養(yǎng)學(xué)生的“四基”:基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗.

    圖形與幾何中的三大圖形變換:圖形平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱(翻折). 在教學(xué)中,既要關(guān)注學(xué)生對這一部分基本知識、基本性質(zhì)的掌握,又要注重培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的能力. 教師要注重數(shù)學(xué)基本思想和方法在教學(xué)過程中的滲透與梳理,鼓勵學(xué)生大膽嘗試,尋找數(shù)學(xué)本質(zhì),達到舉一反三、觸類旁通的學(xué)習(xí)效果. 幾何折疊是近幾年中考中的高頻考題,在平時的復(fù)習(xí)教學(xué)中,教師要讓學(xué)生關(guān)注折疊變化、深究折疊本質(zhì)——折疊前后的圖形是全等的,可以導(dǎo)出等角、等邊等結(jié)論. 學(xué)生遇到折疊問題時常常會以直角三角形、等腰(邊)三角形、特殊的四邊形、圓等圖形為背景進行操作,教學(xué)中教師要注重培養(yǎng)學(xué)生從圖中提煉特殊圖形,并會應(yīng)用特殊圖形的性質(zhì)解決問題的能力,引導(dǎo)學(xué)生注重知識之間的關(guān)聯(lián),學(xué)會從復(fù)雜圖形中分解出簡單基本的圖形,學(xué)會將復(fù)雜問題簡單化.

    (二)關(guān)注專題研究,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng),高效組織中考專題復(fù)習(xí)

    數(shù)學(xué)新課標(biāo)倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方法,注重培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力,注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力. 課程內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)注意層次性和多樣性,在平時的中考復(fù)習(xí)教學(xué)過程中多開展“拓展與反思”,讓學(xué)生在經(jīng)歷探究知識的過程中,感悟相關(guān)的數(shù)學(xué)思想,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,從而達到提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)這一總目標(biāo). 為了避免過度注重數(shù)學(xué)模型的反復(fù)機械的模仿訓(xùn)練,教師在挑選專題復(fù)習(xí)時,在緊扣教學(xué)大綱的前提下要學(xué)會創(chuàng)造性地使用教材以及各地具有代表性的中考試題等,并進行有機整合,分解題干中的條件和結(jié)論,將零散的條件以問題串的形式出現(xiàn),讓學(xué)生主動參與、合作探究、歸納總結(jié),引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考,給每位學(xué)生足夠的時間和空間進行深度思考和學(xué)習(xí),在時間緊、任務(wù)重的前提下提高中考復(fù)習(xí)的效率.

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