激發(fā)合理猜想，成就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的翅膀

卜英俊

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)猜想是學(xué)生根據(jù)已知規(guī)律做出的合理推斷，并能通過推理論證發(fā)現(xiàn)新知的過程. 提高猜想能力可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，激發(fā)學(xué)生探究未知的樂趣，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)插上想象的翅膀.

［關(guān)鍵詞］ 猜想；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；推理論證

猜想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中是一種重要的探索手段，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上很多偉大的定理都是通過猜想發(fā)現(xiàn)的，當(dāng)然也有一些猜想被驗(yàn)證是不正確的. 無論成功與失敗，都表明猜想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要的能力. 學(xué)生具備了猜想的能力，就為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)插上了想象的翅膀，學(xué)會(huì)了提出問題并解決問題，使自身的思維得到進(jìn)一步的鍛煉.

關(guān)于數(shù)學(xué)猜想的含義

數(shù)學(xué)猜想不同于想象，它是以數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)，在已有規(guī)律的基礎(chǔ)上，通過數(shù)學(xué)方法進(jìn)行推斷或者推測(cè). 猜想的過程是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析和判斷的過程，因此提出猜想本身就包含著創(chuàng)造性的勞動(dòng). 正是因?yàn)橛泻芏鄠ゴ蟮牟孪?，推?dòng)著數(shù)學(xué)理論不斷發(fā)展，甚至在論證一些猜想的過程中還能發(fā)現(xiàn)其他的數(shù)學(xué)定理. 因此培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力，對(duì)于促進(jìn)學(xué)生敢于質(zhì)疑、敢于提出問題、敢于創(chuàng)新具有非常重要的意義.

如何培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力

數(shù)學(xué)猜想能力的培養(yǎng)體現(xiàn)在課堂的每一個(gè)環(huán)節(jié)、每一個(gè)設(shè)計(jì)當(dāng)中，教師只有深知教學(xué)活動(dòng)與學(xué)生思維之間的關(guān)系，才能在活動(dòng)中訓(xùn)練學(xué)生的思維，讓課堂充滿活力.

（一）動(dòng)手實(shí)踐，激發(fā)猜想興趣

思維的鍛煉與實(shí)踐密切相關(guān)，學(xué)習(xí)過程中如果都是間接經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生不會(huì)有深刻的體會(huì). 而通過直接的動(dòng)手操作，可以讓學(xué)生在獲得直接經(jīng)驗(yàn)的過程中，激發(fā)猜想的興趣.

案例1三角形中位線定理

師：同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形中位線的概念，那么三角形的中位線有哪些性質(zhì)和特征呢？同學(xué)們不妨來自己動(dòng)手畫一畫，看一看，想一想.

同學(xué)們應(yīng)注意任何線與線的關(guān)系都有兩種，一種為位置的關(guān)系，一種為數(shù)量之間的關(guān)系. 同學(xué)們可以大膽地猜想一下.

生：我根據(jù)剛才畫的幾條中位線發(fā)現(xiàn)，三角形的中位線與三角形的第三邊平行而且長(zhǎng)度等于第三邊的一半.

師：好的，同學(xué)們既然有了猜想，那我們要試著去論證一下這個(gè)猜想是否正確. 大家可以試著動(dòng)手做一下. 大家做一個(gè)如圖1的三角形，沿著三角形的中位線把△ADE剪下來，試著把△ADE和四邊形BDEC拼接成一個(gè)平行四邊形（如圖2）.

師：看來同學(xué)們都拼接成功了，其實(shí)我們發(fā)現(xiàn)拼接的過程就相當(dāng)于將DE延長(zhǎng)，使E成為DF的中點(diǎn)，那么如何證明剛才你們的猜想呢？

生：通過三角形相似原理，BD∥CF，DF∥BC，也就證明了四邊形BDFC是平行四邊形，那么BC和DF相等，而E成為DF的中點(diǎn)，因此DE是BC的一半.

本例中教師并沒有將定理直接告知學(xué)生，而是引導(dǎo)學(xué)生通過自己的作圖和觀察進(jìn)行猜想，繼而又通過剪拼發(fā)現(xiàn)了證明猜想的辦法，這一系列的思維活動(dòng)通過發(fā)現(xiàn)問題到證明問題，最終使學(xué)生獲得成功的喜悅，激發(fā)了探究的興趣.學(xué)生有了興趣的驅(qū)使，學(xué)習(xí)就變得輕松愉快，自然愿意投入更多的時(shí)間和精力，愿意發(fā)揮自己的主觀能動(dòng)性去積極的探索和學(xué)習(xí)，讓學(xué)習(xí)真正成為一種自覺.

教學(xué)中教師要積極創(chuàng)設(shè)活動(dòng)，讓學(xué)生主動(dòng)參與，動(dòng)手實(shí)踐，大膽猜想，運(yùn)用自己所學(xué)的知識(shí)大膽設(shè)疑、充分證明，激發(fā)自身學(xué)習(xí)的積極主動(dòng)性.

（二）掌握方法，培養(yǎng)猜想能力

數(shù)學(xué)猜想是在已有數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，采用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行的推理，因此掌握數(shù)學(xué)方法是猜想需要的前提. 猜想過程中普遍需要用到歸納和類比轉(zhuǎn)化的思想，在教學(xué)中教師要不斷培養(yǎng)學(xué)生歸納和類比的數(shù)學(xué)推理方法.

1. 學(xué)會(huì)歸納方法

歸納是學(xué)生提高學(xué)習(xí)效果的重要方法. 簡(jiǎn)而言之，歸納是由零散到整體的總結(jié)，是由特殊的例子推而廣之成為普遍的定理.

案例2 凸多面體中面、棱和頂點(diǎn)的關(guān)系

探究這其中的關(guān)系較難，凸多面體也無法窮盡，所以可以采用舉例研究特殊圖形來找到規(guī)律. 教師引導(dǎo)學(xué)生通過列表格進(jìn)行分類整理（如表1），在整理的過程中發(fā)現(xiàn)面、頂點(diǎn)和棱雖然增長(zhǎng)的數(shù)量不一致，但是都有著同樣的增加或者減少的趨勢(shì). 再仔細(xì)研究學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)面與頂點(diǎn)的和等于棱的數(shù)量加上2.

本案例是典型地采用了歸納推理的方法. 研究一種較難的數(shù)學(xué)定理或者猜想時(shí)，不要妄想一步登天，可以從最簡(jiǎn)單的部分著手，為了更加清楚直觀，可以盡量采用列表、舉例的方法，多舉一些簡(jiǎn)單的例子進(jìn)行觀察，從變化當(dāng)中發(fā)現(xiàn)不變的規(guī)律，自然可以發(fā)現(xiàn)其中的定理. 在教學(xué)中教師要逐步引導(dǎo)學(xué)生通過特殊到一般的推理，有效簡(jiǎn)化推理的過程，論證猜想.

2. 學(xué)會(huì)類比思想

類比思想是根據(jù)同類事物進(jìn)行猜想和推理，在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，類比思想應(yīng)用非常廣泛，很多重要的數(shù)學(xué)定理的論證就是通過類比思想完成的.

案例3 多邊形內(nèi)切圓半徑

問題1：如圖4，已知三角形ABC的周長(zhǎng)為l，三角形內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切圓O，其半徑為r，以O(shè)為頂點(diǎn)劃分成三個(gè)三角形. 經(jīng)過證明可知三角形ABC的面積等于三角形周長(zhǎng)乘以內(nèi)切圓半徑的一半. 由此得出猜想1：若四邊形ABCD有一個(gè)面積為s的內(nèi)切圓，四邊形各邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，求推導(dǎo)出內(nèi)切圓的半徑.

問題2：如圖5，圓O為四邊形ABCD的內(nèi)切圓，OA，OB，OC，OD將四邊形ABCD分割成四個(gè)三角形，△OCD，△OCB，△ODA，△OAB的高都是圓的半徑，因此r=. 據(jù)此可得出猜想2：若一個(gè)n邊形存在內(nèi)切圓，且已知圓的面積為s，邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d…n，根據(jù)以上的猜想可以得到這個(gè)內(nèi)切圓的半徑為r=.

本題通過典型的類比思想，先從三角形推理到四邊形，進(jìn)而再推廣到n邊形，使一個(gè)復(fù)雜的問題得以推理論證.類比思想就是對(duì)相似的性質(zhì)、過程或者結(jié)構(gòu)等進(jìn)行聯(lián)想和推理，教師在進(jìn)行定理的講解、習(xí)題的練習(xí)時(shí)都可以潛移默化地滲透這種思想，使學(xué)生利用知識(shí)之間的聯(lián)系和類比，進(jìn)行合理的猜想和推理.

加強(qiáng)變式練習(xí)，提高猜想能力

變式訓(xùn)練是有效拓展學(xué)生思維的方法，教師只有進(jìn)行大膽的思維訓(xùn)練，才能讓學(xué)生大膽質(zhì)疑和猜想，提高猜想能力.

案例4

原題：如圖6，以△ABC的兩條邊AB和AC為邊，向外作正三角形ABD和ACE.請(qǐng)證明BE=DC.

本題是一道并不困難的證明題，如果只是講解這道題，并沒有很好地發(fā)揮它的作用，可以改變已知條件，也可以改變結(jié)論，還可以將圖形與函數(shù)相結(jié)合，讓這道題真正發(fā)揮出它的潛在價(jià)值——一題多變.

變式1：在已知條件不變的情況下，增加求答問題.

以△ABC的兩條邊AB和AC為邊，向外作正三角形ABD和正三角形ACE.（1）證明BE=DC. （2）猜想直線CD與直線BE的夾角有什么特征？

變式2：增加新的結(jié)論，逆向推導(dǎo)已知條件.

如圖7，以△ABC的三條邊AB，AC，BC為邊，在BC邊的一側(cè)作等邊三角形BCF、等邊三角形ACE和等邊三角形ABD，請(qǐng)證明四邊形DAEF是平行四邊形.

猜想：當(dāng)△ABC在什么情況下，四邊形DAEF是矩形？當(dāng)△ABC在什么情況下，四邊形DAEF是菱形？當(dāng)△ABC在什么情況下，四邊形DAEF不存在.

通過改變已知條件，將試題變成一道幾何綜合題，增加了題目的難度，也需要學(xué)生運(yùn)用綜合思維能力以及分析和邏輯推理能力，在變式練習(xí)的過程中，學(xué)生的猜想能力得到了提高. 猜想是思維的綜合運(yùn)用，在教學(xué)中教師需要鼓勵(lì)學(xué)生大膽思考，對(duì)學(xué)生的想法要多鼓勵(lì)和表揚(yáng)，不能直接否定，可以通過引導(dǎo)分析，讓學(xué)生逐漸找到思路. 只有在不斷的訓(xùn)練過程中，學(xué)生的猜想能力才能得到提高.

總之，猜想可以使學(xué)生鍛煉思維，學(xué)會(huì)類比轉(zhuǎn)化思想，進(jìn)行更加綜合的思考，讓知識(shí)更加深刻；猜想還能增加學(xué)生的自信，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí). 猜想是興趣使然，反過來又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，所以教師要充分利用好猜想，讓它為學(xué)生的學(xué)習(xí)插上飛翔的翅膀，讓學(xué)生飛得更高、更遠(yuǎn).