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    立足數學模型,建立知識結構,生成方法思想

    2022-05-30 20:38:31仲進勇
    數學教學通訊·初中版 2022年11期
    關鍵詞:思想方法知識結構數學模型

    仲進勇

    [摘? 要] 文章以“全等三角形”復習課的教學為例,提出復習課的教學策略,認為復習課教學應遵循以生為本的原則,通過設計有價值的問題,幫助學生構建知識網絡,生成數學思想方法,培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng).

    [關鍵詞] 數學模型;知識結構;思想方法

    復習課應體現以學生為主體的教學理念,通過精心設計問題,讓學生建構科學的知識體系,從中提煉好的數學思想方法,使數學素養(yǎng)得到培養(yǎng). 筆者曾主講的一堂“全等三角形”的復習課,獲得了同人的一致好評,現將案例整理成文,與各位同行交流.

    課例簡錄

    (一)教學環(huán)節(jié)1——基本圖形出發(fā),回顧全等判定

    問題1:如圖1所示,射線OC是∠AOB的角平分線,PE⊥OB于點E,PD⊥OA于點D,觀察圖形,你能從中得到哪些結論呢?為什么?

    生1:因為射線OC是∠AOB的角平分線,PE⊥OB于點E,PD⊥OA于點D,根據角平分線性質定理,得PE=PD;因為∠EOP=∠DOP,∠OEP=∠ODP=90°,所以∠EPO=∠DPO,即PO平分∠EPD.

    生2:在△EOP與△DOP中,因為PE=PD,OP公用,根據斜邊直角邊定理,得Rt△EOP≌Rt△DOP,所以OE=OD. 因為OE=OD,EP=DP,根據線段垂直平分線的逆定理,得直線OC是線段ED的垂直平分線.

    師:很好,這兩位同學重點關注了△EOP與△DOP的對應相等關系,如果從圖形的整體來看,觀察四邊形EODP有什么特殊性質呢?

    生3:四邊形EODP是一個對角互補的四邊形,因為∠OEP=∠ODP=90°,四邊形內角和為360°,所以∠EOD+∠EPD=180°.

    設計意圖 通過復習回顧角平分線性質的基本圖形,讓學生從線段之間的關系、角之間的關系、三角形之間的關系三個方面初步認識基本圖形,為后續(xù)圖形變換的學習做好鋪墊. 其中,引導學生觀察四邊形對角互補的特征,旨在培養(yǎng)學生整體感知圖形的意識,讓學生養(yǎng)成善于觀察思考和善于總結的良好思維意識.

    (二)教學環(huán)節(jié)2——變換圖形,探究發(fā)現

    問題2:如圖2所示,射線OC是∠AOB的角平分線,∠PEO+∠PDO=180°,你能從圖中得到哪些結論呢?

    生4:因為∠PEO+∠PDO=180°,根據四邊形內角和等于360°,得∠EOD+∠EPD=180°. 因為射線OC是∠AOB的角平分線,如圖3所示,過點P向∠AOB兩邊作垂線,即PM⊥OB,PN⊥OA,垂足分別為點M,N,根據角平分線的性質,得PM=PN.

    師:在圖3中,根據角平分線的性質,得線段PM=PN,那么線段PE與PD有何數量關系呢?

    生5:線段PE=PD,因為四邊形PMON是對角互補的四邊形,即∠EOD+∠MPN=180°,而∠EOD+∠EPD=180°,根據同角的補角相等,得∠MPN=∠EPD,所以∠EPM=∠DPN,在△PME與△PND中,因為∠EMP=∠DNP=90°,∠EPM=∠DPN,PM=PN,所以△PME≌△PND(ASA),所以PE=PD.

    師:很好!這位同學應用全等三角形證明了PE=PD,關于證明PE=PD還有其他的思路嗎?

    生6:既然四邊形PEOD是對角互補的四邊形,那么四邊形EODP是圓的內接四邊形,如圖4所示,當點E,O,D,P四點共圓時,因為射線OC是∠AOB的角平分線,所以∠EOP=∠DOP,根據圓周角定理,得弧EP=弧DP,根據圓心角定理,得EP=DP.

    師:從這里我們初步發(fā)現,在對角互補的四邊形中,如果一條對角線平分一個角,那么對角的兩邊相等.

    設計意圖 筆者首先讓學生獨立思考,自主得到結論,然后順著學生作出的兩條垂線引導學生探究線段PE與PD的數量關系,學生自然能利用全等三角形去證明. 為了拓展學生思維,加強知識融合,筆者引導學生尋找不同的解法,于是有了輔助圓的解法. 此題主要培養(yǎng)學生學會分析題意和善于將未知圖形轉化為基本圖形,在教學過程中,學生可能說出的結論比較多,這就需要教師抓住核心——探究的結論進行引導,進行總結歸納,讓教學主線更突出.

    (三)教學環(huán)節(jié)3——典例剖析,強化模型

    問題3:如圖5所示,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,點D是AC的中點,∠EDF=90°,求證:DE=DF.

    師:題中重要的已知條件是什么?欲求證的結論是什么?

    生7:題中重要的已知條件包括:(1)△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,AB=BC;(2)點D是底邊AC的中點;(3)∠EDF=90°.欲求證的結論是:DE=DF.

    師:圖5中存在前面學過的幾何模型嗎?為什么?如何把幾何模型轉化為基本型呢?

    生8:圖5中存在前面學過的幾何模型,即對角互補的四邊形EBFD,因為∠ABC=90°,∠EDF=90°,所以四邊形EBFD是對角互補的四邊形. 為了轉化幾何模型,需要連接BD,如圖6,過點D作DM⊥AB于點M,作DN⊥BC于點N.

    生9:因為△ABC是等腰直角三角形,點D是底邊AC的中點,根據等腰三角形三線合一,得BD平分∠ABC. 因為DM⊥AB,DN⊥BC,根據角平分線的性質,得DM=DN. 在四邊形BMND中,因為∠DMB=∠DNB=∠ABC=90°,所以∠MDN=90°. 因為∠EDF=90°,根據同角的余角相等,得∠MDE=∠NDF. 因為∠DMB=∠DNF=90°,DM=DN,所以△MDE≌△NDF(ASA),所以DE=DF.

    師:很好!這位同學使用了作垂線的方法構造對角互補的基本圖形. 除了這種方法,還有沒有其他的方法呢?

    生10:也可以只連接BD,通過證明△EBD≌△FCD,得到DE=DF. 因為在△EBD與△FCD中,∠EBD=∠C=45°,BD=DC,∠EDB=∠FDC,所以△EBD≌△FCD(ASA).

    生11:也可以連接BD,證明△AED≌△BFD,得到DE=DF. 因為△AED與△BFD中,∠A=∠DBF=45°,AD=BD,∠ADE=∠BDF,所以△AED≌△BFD(ASA).

    設計意圖 問題中BD是∠ABC的角平分線是隱含條件,有利于培養(yǎng)學生挖掘隱含條件的能力.通過引導,學生發(fā)現了解決這個問題的三種方法,提高了靈活運用知識解決問題的能力.

    (四)教學環(huán)節(jié)4——變式訓練,提高轉化能力

    問題4:讓圖5的∠EDF繞點D旋轉一定的角度,如圖7所示,BD是所在直角的平分線,DE交直角的反向延長線于點E,∠EDF=90°,求證:DE=DF.

    師:題中的圖形能否轉化為對角互補的四邊形呢?方法是什么?

    生12:題中的圖形可以轉化為對角互補的四邊形,方法仍然過點D作直角兩邊的垂線DM,DN,垂足分別是點M,N,其中四邊形MBND就是對角互補的四邊形,如圖8所示.

    師:接下來如何證明DE=DF?

    生13:可以通過證明△MDE≌△NDF,得到DE=DF. 因為BD是角平分線,DM,DN是垂線,根據角平分線性質定理,得DM=DN,因為∠MBN=90°,所以∠MDN=90°;因為∠EDF=90°,根據同角的余角相等,得∠MDE=∠NDF;在△MDE與△NDF中,因為∠MDE=∠NDF,DM=DN,∠DME=∠DNF=90°,所以△MDE≌△NDF(ASA),所以DE=DF.

    師:這位同學利用作雙垂線構造對角互補的四邊形獲得了證明,還有其他的方法嗎?

    生14:還可以過點D作BD的垂線交BF于點N,通過證明△BDE≌△NDF,得到DE=DF,如圖9所示.

    生15:還可以過點D作BD的垂線交EB的延長線于點M,通過證明△MDE≌△BDF,得到DE=DF,如圖10所示.

    ……

    課例反思

    (一)復習基礎,構建網絡

    思想方法的形成必須以知識為依托.因此,在復習過程中,要加強基礎知識的復習與回顧,把零散的知識串聯起來,構建完整的知識網絡. 本節(jié)課在深入研究對角互補的幾何模式時,加強全等三角形判定方法與性質的復習整理,同時強調用多種方法解答同一問題,實現知識的有效串聯.

    (二)形成方法,優(yōu)化方法

    學習方法的形成有利于達到會一題、通一類的教學目的. 本節(jié)課從角平分線的基本圖形出發(fā),從特殊到一般,從常規(guī)到變形,不斷總結歸納解題思路與方法,達到了多題一解的目的,使學生有效掌握了解決問題的基本方法.

    (三)關注思想,有效滲透

    數學思想是數學的靈魂,在中考復習中,教師要設計拓展提高題,滲透數學思想方法,以提高學生的數學能力. 在本節(jié)課中,通過基本數學模型的構建,滲透了數學建模的思想;通過將非常規(guī)圖形轉化為常規(guī)圖形,滲透了轉化思想,有效提高了教學效果.

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