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    APOS理論視角下數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)概念教學(xué)的探析

    2022-05-30 10:48:04蔡璐韓祥臨
    關(guān)鍵詞:APOS理論初中數(shù)學(xué)教學(xué)

    蔡璐 韓祥臨

    [摘? 要] 基于APOS理論的四個教學(xué)階段探尋初中生數(shù)學(xué)知識建構(gòu)的心理過程,以“平方差公式”教學(xué)為例,先依據(jù)史料適切性原則合理選取歷史素材,再采用多元化方式巧妙融入教學(xué)活動,以問題為主軸、思維為主攻、體驗為主線設(shè)計教學(xué)活動,使學(xué)生明確平方差公式學(xué)習(xí)的必要性,同時彰顯數(shù)學(xué)史的育人價值.

    [關(guān)鍵詞] APOS理論;HPM;初中數(shù)學(xué)教學(xué);平方差公式

    引言

    APOS理論是美國學(xué)者杜賓斯基等人提出的一種基于建構(gòu)主義學(xué)說的數(shù)學(xué)概念教學(xué)理論,深入探討了學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的解構(gòu)與建構(gòu)過程,并將數(shù)學(xué)概念的獲得劃分為“操作(Action)、過程(Process)、對象(Object)、圖式(Schema)”四個相互銜接、層層遞進的階段,彰顯了以生為本的教育理念. 立足初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容,落實APOS教學(xué)理論,踐行HPM(數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育)教學(xué)方法,以數(shù)學(xué)史和相關(guān)典故為載體,引經(jīng)據(jù)典、以文載道,可以將枯燥的數(shù)學(xué)概念、抽象的數(shù)學(xué)思想、刻板的數(shù)學(xué)內(nèi)容變得生動形象. 因此,教師應(yīng)充分考慮初中生的最近發(fā)展區(qū),選取適切的歷史素材,以問題為主軸、思維為主攻、體驗為主線設(shè)計教學(xué)活動,自然地融入數(shù)學(xué)史料,使學(xué)生感悟不同時代、不同背景下數(shù)學(xué)文化的無限魅力,領(lǐng)會其中所蘊含的人文精神,發(fā)揮數(shù)學(xué)史獨特的育人價值.

    史料的選取與融入

    (一)遵循史料適切性原則選取教學(xué)素材

    在史料選取方面,應(yīng)該嚴格遵循史料適切性原則,依據(jù)汪曉勤教授提倡的“趣味性、科學(xué)性、有效性、可學(xué)性和新穎性”等五項原則[1],貼合教材內(nèi)容和課標要求選取適宜初中生知識建構(gòu)的歷史素材.

    操作階段強調(diào)創(chuàng)設(shè)合理的問題情境,讓學(xué)生親身體驗,感悟數(shù)學(xué)史中平方差公式的巧妙應(yīng)用,形成初步認知.據(jù)古希臘評注家普羅克洛斯(Proclus,410—485)記載,由于農(nóng)民的知識和經(jīng)驗有限,在分配土地時經(jīng)常受到土地主的欺騙,將周長相等面積更小的土地租給農(nóng)民,從中牟利. 著名數(shù)學(xué)家歐拉(Euler,1707—1783)小時候利用等周知識“智改羊圈”,幫父親解決了在周長100米不變情況下所得羊圈面積最大的問題. 與芝諾多羅斯(Zenodorous,約公元前2世紀)在《論等周圖形》中證明的“在邊數(shù)相同的等周多邊形中,等邊且等角的多邊形面積最大”這一命題有著異曲同工之妙[2]. 因此,該階段選用能夠引起學(xué)生認知沖突的等周問題,可以激發(fā)學(xué)生的探索欲望.

    過程階段在學(xué)生對平方差公式的概念有初步認知的基礎(chǔ)上,不斷加強對公式的內(nèi)化理解,了解其幾何背景,明確其幾何表達. 公元3世紀,中國古代數(shù)學(xué)家趙爽就利用“面積割補法”證明了平方差公式(c+b)(c-b)=c2-b2,揭示了其幾何意義(如圖1),并在《周髀算經(jīng)》中將其注釋為“勾股圓方圖”:“勾實之矩以股弦差為廣,股弦并為袤,而股實方其里. 股實之矩以勾弦差為廣,勾弦并為袤,而勾實方其里.”[3]劉徽所注釋的《九章算術(shù)》也有類似論述. 因此,該階段引導(dǎo)學(xué)生利用“面積割補法”得到更加豐富的面積表達形式,不僅可以提高學(xué)生的動手操作能力,還能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

    對象階段注重揭示概念本質(zhì),結(jié)合教材和史料逐步把平方差公式的表達轉(zhuǎn)化為符號語言,賦予其形式化的定義,形成具體數(shù)學(xué)對象. 例題采用古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖(Diophantus,公元3世紀)所著《算術(shù)》第1卷第27題:“已知兩個正數(shù)和與積,求這兩個數(shù).”解法與古巴比倫泥板記載的“和差術(shù)”一致[4],其實質(zhì)在于將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題. 該階段重在利用經(jīng)典例題辨析平方差公式的本質(zhì),使學(xué)生明確可以應(yīng)用公式的具體情形,引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)公式繪制圖形,提升直觀想象素養(yǎng),實現(xiàn)符號、圖形和文字語言的自如轉(zhuǎn)換.

    圖式階段的關(guān)鍵在于將所學(xué)概念納入知識體系,能與舊知建立內(nèi)在聯(lián)系,也能為新知學(xué)習(xí)提供生長點.平方差公式既鞏固了多項式乘法法則,又為完全平方公式、因式分解的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).因此,該階段應(yīng)注重知識系統(tǒng)性,適當(dāng)融入歐幾里得(Euclid,公元前3世紀)《幾何原本》第Ⅱ卷命題5的幾何圖形(如圖2),其中C為AB中點,將圖形轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代符號語言ab=

    -

    ,這是有關(guān)平方差公式的精彩變形,體現(xiàn)字母表示數(shù)的整體性,豐富學(xué)生對平方差公式的認識.

    (二)落實多元化方式融入教學(xué)素材

    “平方差公式”是人教版八年級上冊第14章第二節(jié)的內(nèi)容,是在學(xué)生掌握多項式乘法的基礎(chǔ)上展開學(xué)習(xí)的特殊形式的多項式乘法,體現(xiàn)了由一般到特殊的教學(xué)思路. 教材以3道運算探究題入手引導(dǎo)學(xué)生在計算過程中發(fā)掘運算規(guī)律,觀察算式共性特征,并用字母簡潔表示平方差公式,借助圖形面積展示平方差公式的幾何意義,最后以典型的計算例題作為本節(jié)的結(jié)尾. 教材中相關(guān)內(nèi)容的呈現(xiàn)主要集中于精練的文字語言和形象的符號語言,這得益于16世紀數(shù)學(xué)家韋達(Fran?ois Viète,1540—1603)創(chuàng)立的符號代數(shù),使得平方差公式能夠由幾何形式發(fā)展為符號形式,但教材并未將這一發(fā)展過程體現(xiàn)出來,更未交代學(xué)習(xí)平方差公式的必要性. 作為初中階段學(xué)生接觸的第一個數(shù)學(xué)公式,教師應(yīng)該有意識地將相關(guān)數(shù)學(xué)史融入教學(xué)內(nèi)容,讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識和方法的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用過程.

    基于APOS理論的特點,梳理了與每一階段相對應(yīng)的平方差公式史料,但還需結(jié)合初中生的認知水平及生活經(jīng)驗設(shè)計史料的融入方式. 附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式是目前最為常見的數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的方式[4],在充分考慮每種方式的作用及特點后設(shè)計如下史料融入方式(見表1).

    結(jié)合以上思考與分析,從HPM視角擬定了以下三維教學(xué)目標:

    知識與技能:

    (1)經(jīng)歷平方差公式的探索及推導(dǎo)過程,掌握平方差公式的本質(zhì),即結(jié)構(gòu)不變性和字母可變性;

    (2)理解平方差公式的幾何意義,能進行符號、圖形及文字語言的轉(zhuǎn)換.

    過程與方法:

    (1)通過等周問題引入平方差公式,站在歷史的角度感悟公式的實際應(yīng)用,再采用面積割補法深入理解(a+b)(a-b)=a2-b2的幾何意義;

    (2)在和差術(shù)背景下辨析公式應(yīng)用情況,能進行簡單的運算,培養(yǎng)運用平方差公式解決相應(yīng)問題的能力.

    情感態(tài)度與價值觀:

    (1)通過對幾何圖形的裁剪拼接,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng),增強幾何圖形表達能力,提升數(shù)形結(jié)合思想;

    (2)強調(diào)公式中a,b的整體性,讓學(xué)生樹立數(shù)學(xué)整體思想,加強符號意識,體會符號表達公式的簡潔美;

    (3)通過融入數(shù)學(xué)史感知數(shù)學(xué)文化的魅力,增強學(xué)生的愛國情懷和民族自信,體驗數(shù)學(xué)背后的人文精神.

    教學(xué)的設(shè)計與實施

    (一)操作階段——等周情境,感悟公式

    問題1:為防止草地退化,某部門規(guī)定每只羊平均占地面積不多于6平方米. 一牧民家中有羊100只,為響應(yīng)號召,牧民打算在羊圈周長不變的情況下,按照圖3將原先邊長為25米的正方形羊圈進行改造,即將其中一邊長削減的5米添加到鄰邊,請你幫牧民計算一下,改造后的羊圈滿足了這一規(guī)定嗎?你又是如何判斷的呢?

    (252>(25+5)(25-5)=600)

    揭示數(shù)學(xué)史:“智改羊圈”問題來自著名數(shù)學(xué)家歐拉小時候的故事. 小歐拉曾一邊牧羊,一邊讀書,運用數(shù)學(xué)知識幫父親解決了等周情況下所得正方形羊圈面積最大的問題. 你能運用代數(shù)或幾何的形式對其進行解釋嗎?

    預(yù)設(shè):代數(shù),設(shè)正方形邊長為a,面積為a2. 將一邊長削減b(0≤b

    設(shè)計意圖 操作階段為貼合學(xué)生的認知水平和當(dāng)前教學(xué)實際,采用順應(yīng)式合理改編小歐拉“智改羊圈”的等周問題. 首先,以草場退化為背景,滲透環(huán)保意識,以具體數(shù)字呈現(xiàn)牧民羊圈面積大小,降低學(xué)習(xí)難度,初步搭建幾何圖形與代數(shù)式之間的關(guān)系,探究出前后面積之差為陰影部分的小正方形面積,并列出等式252=(25+5)(25-5)+52,讓學(xué)生對平方差公式的幾何意義有所感知. 其次,揭示情境中蘊含的數(shù)學(xué)史,用字母表示數(shù),將算式由特殊推廣到一般,再結(jié)合幾何圖形得出平方差公式為過程階段做好鋪墊,讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識的實際應(yīng)用.

    (二)過程階段——面積割補,探究新知

    問題2:如圖5,從邊長為a的大正方形紙片中減去一邊長為b的小正方形,剩余圖形面積為多少?除了列式計算,你能用幾何拼接的形式將其表示出來嗎?請小組利用課前準備的正方形紙片進行裁剪拼接,3分鐘后由同學(xué)來分享合作探究的成果.

    預(yù)設(shè):

    ①沿小正方形邊長作切割線(如圖6);

    ②沿正方形對角線作切割線(如圖7).

    由以上兩種切割方式最終拼接圖形面積都可表示為:(a+b)(a-b)=a2-b2.

    揭示數(shù)學(xué)史:①中所運用的切割方法是公元3世紀我國古代數(shù)學(xué)家趙爽“負薪余日,聊觀《周髀》”所發(fā)現(xiàn)的面積割補法(如圖1),用以證明平方差公式,在《周髀算經(jīng)》中注釋為“勾股圓方圖”. 面積割補法是一種常見的作圖解題的數(shù)學(xué)方法,在劉徽所注釋的《九章算術(shù)》中稱為出入相補原理(又稱以盈補虛),將一個圖形經(jīng)過分割、移補來計算面積,是數(shù)量中平均思想在幾何上的體現(xiàn).

    設(shè)計意圖 過程階段通過小組合作的形式探究平方差公式的幾何意義,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力的同時,有益于提升學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng). 采用重構(gòu)式引導(dǎo)學(xué)生在剪拼正方形紙片的過程中,思路自然接軌中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“面積割補法”,將不規(guī)則陰影圖形轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的四邊形,利用等積關(guān)系建立等式,讓學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)家的深刻思想與巧妙方法,樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心,增強愛國情懷和民族自豪感.

    (三)對象階段——典例分析,揭示本質(zhì)

    問題3:幾何視角下的面積探究得到了式子(a+b)(a-b)=a2-b2,你能發(fā)現(xiàn)該式子蘊含的結(jié)構(gòu)特征并用語言進行描述嗎?

    預(yù)設(shè):整個式子含有兩個數(shù),前一個括號是兩數(shù)之和,后一個括號是這兩數(shù)之差,其中符號相同的a稱為相同項,符號相反的b稱為相反項,二者乘積等于這兩數(shù)平方差,故稱為平方差公式(如圖8).

    問題4:判斷下列各式計算是否正確?若錯誤請加以修改,并指出α,b分別表示什么.

    判斷正誤:

    (1)(a+b)(b-a)=a2-b2;

    (2)(x+2)(x-2)=x2-2;

    (3)(-3a-2)(3a-2)=9a2-4;

    (4)

    n+m

    n-m

    =n2-m2;

    (5)(-x+2y)(-x-2y)=-x2-4y2;

    (6)(x-2y+1)(x+2y-1)=x2-(2y+1)2.

    問題5:公元3世紀,古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖在其《算術(shù)》第1卷第27題中記載:已知兩數(shù)和為20,乘積為96,求這兩個數(shù).你能利用平方差公式解決這一問題嗎?

    預(yù)設(shè):兩個數(shù)不能同時大于10,也不能同時小于10,必定一個大于10,一個小于10.可設(shè)一個數(shù)為10+x,另一個數(shù)為10-x,二者乘積形式(10+x)(10-x)符合公式結(jié)構(gòu),運用平方差公式(10+x)(10-x)=102-x2計算得x=2,兩個數(shù)分別為12和8.

    揭示數(shù)學(xué)史:丟番圖“二元問題”的解法與古巴比倫數(shù)學(xué)泥板記載的“和差術(shù)”不謀而合,能讓學(xué)生從中體會到數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)文化的傳承及應(yīng)用. “YBC4663泥板”載有這樣一道二元問題

    x+y=6,

    xy=7.[5]你能用和差術(shù)進行求解嗎?

    預(yù)設(shè):設(shè)x=3+t,y=3-t,于是得xy=

    3+t

    3-t

    =7,即

    -t2=7,于是t=1,x=5,y=1.

    設(shè)計意圖 操作和過程階段我們從“形”的視角探索了(a+b)(a-b)=a2-b2,對象階段我們選取“數(shù)”的視角對(a+b)(a-b)=a2-b2進行剖析,揭示本質(zhì). 問題4采用了教材例題,體現(xiàn)教材的示范性,其中a,b分別以數(shù)、單項式、多項式呈現(xiàn),著重對公式中相同項和相反項進行辨析,加深學(xué)生對結(jié)構(gòu)不變性和字母可變性的理解. 問題5以數(shù)學(xué)史的方式融入平方差公式在解決二元一次方程組中的有效應(yīng)用,不同于先前直接呈現(xiàn)式子判斷正誤,此處滲透了方程和換元思想,豐富了公式的運用情形.

    (四)圖式階段——拓展深化,豐富認知

    問題6:公元前300年,古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》第Ⅱ卷命題5中,用巧妙的幾何圖形證明了平方差公式,但其形式與今天所學(xué)存在差異,你能依據(jù)圖2列出圖形所示公式嗎?

    預(yù)設(shè):由于AD=a,BD=b,C為AB中點,所以CB=,CD=,由S+S=S-S可得b

    +

    =

    -

    ,化簡得ab=

    -

    .

    由面積關(guān)系可發(fā)現(xiàn)S+S=S=S-S.

    課堂小結(jié):

    (1)你能用圖形、符號和文字語言表達平方差公式嗎?

    (2)平方差公式的本質(zhì)是什么?

    (3)看似枯燥的平方差公式居然蘊藏了如此豐富的數(shù)學(xué)史,哪一個令你印象最深刻?

    揭示數(shù)學(xué)史:歐幾里得用圖2巧妙證明的公式屬于平方差公式的精彩變形,其相同項為,相反項為. 歐幾里得的《幾何原本》建立了人類歷史上第一個公理體系(也稱演繹邏輯體系),它的邏輯演繹范式幾乎決定了自它之后整個西方數(shù)學(xué)和科學(xué)的表達方式.在這一部宏偉著作中還蘊含了許多以后我們要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識,讓我們一起期待與它們的相遇.

    設(shè)計意圖 在之前的學(xué)習(xí)中,我們已經(jīng)從代數(shù)和幾何兩個角度對平方差公式進行了探究,對其結(jié)構(gòu)不變性和字母可變性的特征已有所掌握. 引入歐幾里得幾何圖解所得的變形公式,能突破學(xué)生思維定式,豐富學(xué)生對平方差公式的認識. 簡述《幾何原本》的歷史地位使學(xué)生感悟所學(xué)知識的重要性,并為后續(xù)學(xué)習(xí)做好了鋪墊. 以提問反思形式進行的課堂小結(jié)有利于梳理學(xué)生的知識體系,搭建幾何、代數(shù)和文字相互轉(zhuǎn)譯的橋梁,為完全平方公式和因式分解的學(xué)習(xí)提供了思維方向.

    結(jié)束語

    APOS理論的本質(zhì)是用操作、過程、對象和圖式來表示數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的動態(tài)心理過程,為搭建結(jié)構(gòu)化的知識體系助力. 數(shù)學(xué)史的自然融入使原本單調(diào)的數(shù)學(xué)課堂變得有趣起來,能在不同階段的知識探索過程中選取典型素材推陳出新,感悟數(shù)學(xué)家的所思所想,體現(xiàn)了知識之諧、方法之美和探究之樂. 適切的歷史素材和多元的融入方式保障了教學(xué)活動的豐富性,古巴比倫、古希臘、古代中國以及近現(xiàn)代等諸多數(shù)學(xué)著作上記載著平方差公式的探究與應(yīng)用,不僅能使學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識在傳承與發(fā)展中展現(xiàn)的文化魅力,還能體現(xiàn)數(shù)學(xué)史料在課堂教學(xué)運用中彰顯的德育功效.

    參考文獻:

    [1] 沈中宇,李霞,汪曉勤. HPM課例評價框架的建構(gòu)——以“三角形中位線定理”為例[J]. 教育研究與評論(中學(xué)教育教學(xué)),2017(01):35-41.

    [2] 汪曉勤,郭錦融. 古希臘數(shù)學(xué)中的“均值不等式”[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2015(02):54-56.

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