運(yùn)算教學(xué)中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換

李海東

摘 要：培養(yǎng)小學(xué)生的運(yùn)算能力是教師的重要教學(xué)任務(wù)之一。數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能有效幫助學(xué)生明晰運(yùn)算對(duì)象、理解運(yùn)算算理、掌握運(yùn)算方法、發(fā)展推理能力，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展和提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

關(guān)鍵詞：運(yùn)算教學(xué)；運(yùn)算能力；數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力是教師的重要教學(xué)任務(wù)之一?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力。能夠明晰運(yùn)算的對(duì)象，理解算法與算理之間的關(guān)系；能夠理解運(yùn)算的問(wèn)題，選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算策略解決問(wèn)題；能夠通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展，形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度。”數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)。因此，數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)離不開(kāi)數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換。在有效的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換中，學(xué)生可以明晰運(yùn)算對(duì)象、理解法理關(guān)系、選擇運(yùn)算策略、發(fā)展推理能力、規(guī)范思考品質(zhì)……教師要引導(dǎo)學(xué)生正確、迅速地進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，才能有效培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算水平。

一、閱讀中轉(zhuǎn)換，明晰運(yùn)算對(duì)象

閱讀是學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的有效方法之一，也是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)信息的基礎(chǔ)，更是學(xué)生形成運(yùn)算能力的前提。有效的數(shù)學(xué)閱讀有助于學(xué)生明晰運(yùn)算對(duì)象。教師要引導(dǎo)學(xué)生在閱讀中了解運(yùn)算信息，并在去偽存真、由表及里中準(zhǔn)確把握運(yùn)算對(duì)象的本質(zhì)。有時(shí)，學(xué)生對(duì)運(yùn)算對(duì)象的內(nèi)涵、名稱等未必熟悉或理解。教師要鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，努力對(duì)關(guān)鍵信息進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，盡量用自己熟悉或容易理解的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述運(yùn)算對(duì)象，為正確運(yùn)算做好充分準(zhǔn)備。

比如，蘇教版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)“整數(shù)四則混合運(yùn)算”例1的情境圖（如圖1）。

學(xué)生仔細(xì)觀察情境圖，很容易發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)信息：買(mǎi)一副中國(guó)象棋要12元，買(mǎi)一副圍棋要15元，買(mǎi)了3副中國(guó)象棋和4副圍棋。問(wèn)題是一共要付多少元。要求購(gòu)買(mǎi)中國(guó)象棋和圍棋兩種棋的總費(fèi)用，需要先求出買(mǎi)兩種棋各用多少元，再把這兩種數(shù)相加。可以分步列式，也可以列綜合算式解決問(wèn)題。這是在三年級(jí)學(xué)習(xí)兩步運(yùn)算的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的新知識(shí)。區(qū)別在于三年級(jí)只要先求一種商品的費(fèi)用，這里要先求兩種商品的費(fèi)用。

明晰運(yùn)算對(duì)象就是要弄清題意，知道題目想干什么。能否明晰運(yùn)算對(duì)象的本質(zhì)是學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀水平的重要標(biāo)志，也是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的前提條件之一。通過(guò)數(shù)學(xué)閱讀，學(xué)生可以把生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化，情境圖可以逐漸抽象為3個(gè)12元和4個(gè)15元的和是多少。明晰運(yùn)算對(duì)象的過(guò)程就是把圖形語(yǔ)言（情境圖）轉(zhuǎn)換為文字語(yǔ)言的過(guò)程。這樣轉(zhuǎn)換，學(xué)生就能整體認(rèn)識(shí)運(yùn)算對(duì)象，弄清題意，把握知識(shí)本質(zhì)。準(zhǔn)確進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，為學(xué)生有效地理解運(yùn)算對(duì)象奠定了基礎(chǔ)。

二、探究中轉(zhuǎn)換，理解算理與算法關(guān)系

引導(dǎo)學(xué)生理解算理、掌握算法是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的關(guān)鍵：算法能幫助學(xué)生解決“怎樣算”的問(wèn)題，算理能幫助學(xué)生解決“為什么要這樣算”的問(wèn)題。算理和算法都需要學(xué)生在運(yùn)算教學(xué)過(guò)程中獨(dú)立探究和自主發(fā)現(xiàn)。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材一般不直接揭示運(yùn)算方法，而是通過(guò)一些提示語(yǔ)，如“在小組里說(shuō)一說(shuō)，乘法可以怎樣算？”，引導(dǎo)學(xué)生在探索和交流中逐步抽象、概括運(yùn)算法則。因此，教師要“設(shè)計(jì)必要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流、反思等，感悟知識(shí)的形成和應(yīng)用?！苯?jīng)歷探究活動(dòng)過(guò)程時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換過(guò)程中正確理解算理與算法的關(guān)系，幫助學(xué)生逐步形成運(yùn)算技能。

教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)乘法”時(shí)，教師出示例題（如圖2）。

做一朵綢花要用[310]米綢帶。

1.小芳做3朵這樣的綢花，一共用綢帶幾分之幾米？

2.小華做5朵這樣的綢花，一共用綢帶幾分之幾米？

解決問(wèn)題1時(shí)，學(xué)生可以列加法算式[310]+[310]+[310]，或乘法算式[310]×3。從圖中學(xué)生可以看出3個(gè)[310]是[910]米，即[310]×3=[910]米，也可以根據(jù)加法算式求出[310]+[310]+[310]=[3+3+310]=[910]米。因此，[310]×3=[310]+[310]+[310]=[3+3+310]=[910]米。

教師追問(wèn)學(xué)生：“[3+3+310]為什么等于[910]？”有的學(xué)生認(rèn)為[310]+[310]+[310]=[3+3+310]=[3×310]=[910]米，有的學(xué)生認(rèn)為[310]×3表示3個(gè)[110]×3就是9個(gè)[110]，也就是[910]米。學(xué)生從中不但能了解分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算理，而且能初步感知分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的運(yùn)算方法。

解決問(wèn)題2時(shí)，個(gè)別學(xué)生列加法算式[310+][310+310+310+310]，多數(shù)學(xué)生列乘法算式[310]×5，并根據(jù)剛積累的經(jīng)驗(yàn)，類比出[310]×5=[3×510]=[1510]=[32]米，知道[310]×5表示3個(gè)[110]×5，就是15個(gè)[110]，也就是[1510]，即[32]米。學(xué)生在獨(dú)立思考和小組交流中理解了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算理，并歸納出運(yùn)算法則——分?jǐn)?shù)和整數(shù)相乘，用分子和整數(shù)相乘的積做分子，分母不變。

分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算理和算法對(duì)學(xué)生而言都很抽象。教師要引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖理解算理、探究算法。學(xué)生把同分母分?jǐn)?shù)加法的算理和算法順利遷移到分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的運(yùn)算過(guò)程中，知道了[310]×3為什么可以寫(xiě)成[3×310]。根據(jù)題意列式并求出結(jié)果的過(guò)程是學(xué)生把圖文結(jié)合的圖形語(yǔ)言（情境圖）轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言（算式）的過(guò)程，講算理、說(shuō)算法是把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為自然語(yǔ)言，最終用文字語(yǔ)言概括出運(yùn)算法則。學(xué)生不但需要借助直觀圖經(jīng)歷探索和感悟過(guò)程探究算法，而且需要根據(jù)算法進(jìn)一步理解算理。在有效的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換中，學(xué)生能主動(dòng)、積極地經(jīng)歷運(yùn)算法則的形成過(guò)程，從而在經(jīng)歷“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”知識(shí)的“再創(chuàng)造”過(guò)程中逐漸理解算理、掌握算法，并溝通兩者之間的關(guān)系，在“法”“理”和諧中“知其然且知其所以然”。

三、理解中轉(zhuǎn)換，選擇運(yùn)算策略

理解運(yùn)算問(wèn)題就是要弄清楚運(yùn)算教學(xué)的目的和問(wèn)題的本質(zhì)。正確理解運(yùn)算問(wèn)題，學(xué)生才能確定合理的運(yùn)算思路，才能選擇正確、合理、簡(jiǎn)潔的運(yùn)算策略去解決問(wèn)題。運(yùn)算策略的選擇決定了學(xué)生解決運(yùn)算問(wèn)題的過(guò)程是否高效快捷，體現(xiàn)了學(xué)生自身運(yùn)算水平。如果選擇的運(yùn)算策略比較簡(jiǎn)潔，學(xué)生的運(yùn)算過(guò)程就會(huì)比較簡(jiǎn)潔，運(yùn)算速度就會(huì)比較快；反之，學(xué)生的運(yùn)算過(guò)程就會(huì)比較繁雜，就會(huì)事倍功半。在理解運(yùn)算問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生需要不斷進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換。學(xué)生理解運(yùn)算問(wèn)題越深刻，數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換就越迅速，選擇的運(yùn)算策略就會(huì)越簡(jiǎn)潔、越合理。

比如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下冊(cè)“解決問(wèn)題的策略”的例2是求[12]+[14]+[18]+[116]。很多學(xué)生會(huì)按照從左往右的順序依次通分相加，即[12]+[14]+[18]+[116]=[34]+[18]+[116]=[78]+[116]=[1516]；也有的學(xué)生會(huì)一次性通分，即[12]+[14]+[18]+[116]=[816]+[416]+[216]+[116]=[1516]。兩種運(yùn)算方法無(wú)疑都是正確的，但比較麻煩，而且反映了學(xué)生沒(méi)有真正理解運(yùn)算問(wèn)題。因?yàn)榻滩牡脑O(shè)計(jì)是希望學(xué)生通過(guò)轉(zhuǎn)化策略迅速、簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題。學(xué)生只有能正確理解運(yùn)算問(wèn)題，才有可能想到轉(zhuǎn)化的策略，才能聯(lián)想到“分?jǐn)?shù)意義”中把一個(gè)圓、一個(gè)正方形或一個(gè)線段看作單位“1”的知識(shí)，才會(huì)想到用轉(zhuǎn)化的策略畫(huà)圖（如圖3）解決問(wèn)題，即[12]+[14]+[18]+[116]=1-[116]=[1516]。

無(wú)論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算教學(xué)中，教師只有引導(dǎo)學(xué)生正確理解運(yùn)算思路，并且關(guān)注學(xué)生的差異化運(yùn)算思路，才能啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生想到用不同的運(yùn)算策略去解決相同的運(yùn)算問(wèn)題，才能引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化運(yùn)算策略，才能提高學(xué)生的運(yùn)算速度和運(yùn)算能力。如果學(xué)生想不到轉(zhuǎn)化策略，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考例1中的不規(guī)則圖形是怎樣進(jìn)行比較的，學(xué)生就會(huì)想到轉(zhuǎn)化策略，就會(huì)聯(lián)想到分?jǐn)?shù)意義中的單位“1”。學(xué)生理解運(yùn)算問(wèn)題的過(guò)程要把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為文字語(yǔ)言，選擇運(yùn)算策略的過(guò)程要把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為新的符號(hào)語(yǔ)言或圖形語(yǔ)言。通過(guò)有效轉(zhuǎn)換，學(xué)生才能正確選擇運(yùn)算策略，才能使解決問(wèn)題的策略更簡(jiǎn)潔、更合理。

四、推理中轉(zhuǎn)換，形成運(yùn)算品質(zhì)

思維品質(zhì)是學(xué)生思維的個(gè)性特征，反映了學(xué)生個(gè)體智力或思維水平的差異，主要包括思維的深刻性、思維的靈活性、思維的獨(dú)創(chuàng)性、思維的敏捷性和思維的批判性。運(yùn)算能力和推理意識(shí)是小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的主要表現(xiàn)。運(yùn)算教學(xué)中的推理主要以歸納或演繹的方式存在，具有一定的嚴(yán)密性和邏輯性，這種嚴(yán)密的邏輯思維就包括分析能力、類比歸納能力、推理論證能力、抽象概括能力等。在運(yùn)算教學(xué)中，教師雖然不要求學(xué)生具體說(shuō)出自己是如何進(jìn)行推理的，但學(xué)生說(shuō)算理或運(yùn)算程序的過(guò)程包含了數(shù)學(xué)推理。當(dāng)然，學(xué)生在推理過(guò)程中需要不斷進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換。教師要恰當(dāng)引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生在推理中形成良好的運(yùn)算品質(zhì)。

學(xué)生探究規(guī)律的過(guò)程往往要經(jīng)歷歸納推理的過(guò)程。教學(xué)“加法交換律”時(shí)，教師先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)情境圖（如圖4）中的跳繩問(wèn)題，列式28+17=45或17+28=45，得出28+17=17+28后，再寫(xiě)出幾個(gè)類似的例子，如1+2=2+1，123+321=321+123等，再引導(dǎo)學(xué)生在觀察中歸納出算式中蘊(yùn)含的規(guī)律——兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置和不變，也有的學(xué)生用甲數(shù)+乙數(shù)=乙數(shù)+甲數(shù)、○+□=□+○、?+◎=◎+?……表示規(guī)律，最后引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出用字母表達(dá)的加法交換律——a+b=b+a。學(xué)生歸納加法交換律的過(guò)程中多次進(jìn)行了數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換：分析情境圖，要把圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言（算式）；把算式中蘊(yùn)含的規(guī)律用文字語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言表述出來(lái)，要把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為文字語(yǔ)言或新的符號(hào)語(yǔ)言；把規(guī)律用a+b=b+a表達(dá)，就統(tǒng)一轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言了。引導(dǎo)學(xué)生迅速歸納概括規(guī)律，能有效培養(yǎng)學(xué)生的思維敏捷性；鼓勵(lì)學(xué)生用不同形式表達(dá)規(guī)律，能有效培養(yǎng)學(xué)生的思維獨(dú)創(chuàng)性……

豎式計(jì)算和簡(jiǎn)便運(yùn)算過(guò)程中蘊(yùn)含了演繹推理，也是培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的有效途徑。在簡(jiǎn)便運(yùn)算3.2×1.25時(shí)，只要教師能充分提供思考時(shí)間和空間，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)很多不同的方法：用乘法分配律包括3.2×1.25=（4－0.8）×1.25=4×1.25－0.8×1.25=5-1=4或3.2×1.25=（3+0.2）×1.25=3×1.25+0.2×1.25=3.75+0.25=4；用乘法交換律和結(jié)合律包括3.2×1.25=4×0.8×1.25=（4×1.25）×0.8=5×0.8=4或3.2×1.25=0.4×8×1.25=0.4×（8×1.25）=0.4×10=4等。無(wú)論哪種方法的運(yùn)算過(guò)程中都蘊(yùn)含了演繹推理。用乘法交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的推理過(guò)程如下：大前提是乘法交換律和結(jié)合律，小前提是3.2=0.4×8或3.2=0.8×4，結(jié)論是3.2×1.25=（4×1.25）×0.8=5×0.8或3.2×1.25=0.4×8×1.25=0.4×（8×1.25）=0.4×10。學(xué)生在演繹推理中多次進(jìn)行了數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換：遞等式是把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成新的符號(hào)語(yǔ)言，交流不同的運(yùn)算思路或運(yùn)算方法要把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為文字語(yǔ)言。鼓勵(lì)學(xué)生用不同方法進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，能有效培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、獨(dú)創(chuàng)性和深刻性，學(xué)生只有對(duì)運(yùn)算律有深刻認(rèn)識(shí)，靈活運(yùn)用運(yùn)算律，才能想出不同方法，甚至想到比較獨(dú)特的運(yùn)算方法；鼓勵(lì)學(xué)生把自己的思路表達(dá)出來(lái)，能有效促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)密的推理論證，從而促進(jìn)學(xué)生規(guī)范化思考問(wèn)題，幫助學(xué)生養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度。

總之，在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”，以便學(xué)生在運(yùn)算中明晰運(yùn)算對(duì)象，理解運(yùn)算“法”“理”，選擇運(yùn)算策略，形成思維品質(zhì)，從而有效培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。當(dāng)然，培養(yǎng)小學(xué)生的運(yùn)算能力不是一蹴而就的事，需要教師在長(zhǎng)期的運(yùn)算教學(xué)中持之以恒地進(jìn)行引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生逐步養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度觀察現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)與習(xí)慣，逐步養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣和理性精神。有效的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生運(yùn)算能力的有效保障。

（作者單位：江蘇省泰興市南沙小學(xué)）

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