新課標初中數(shù)學“統(tǒng)計與概率”部分的主要變化與教學實施策略

欒長偉

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）中“統(tǒng)計與概率”部分內容相對于《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011年版課標”）有了較大變化，新增了四分位數(shù)、百分位數(shù)、組內離差平方和等新知識的同時，也對簡單隨機抽樣等知識的能力要求層次進一步提高，這種變化對教師是一種挑戰(zhàn)。筆者對新課標與“2011年版課標”中“統(tǒng)計與概率”部分內容進行對比，對新增加的內容如何在教學中進行實施提出了建議。

“統(tǒng)計與概率”的核心是培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)觀念。新課標中關于數(shù)據(jù)觀念的描述如下：數(shù)據(jù)觀念主要是指對數(shù)據(jù)的意義和隨機性有比較清晰的認識。知道數(shù)據(jù)蘊含著信息，需要根據(jù)問題的背景和所要研究的問題確定數(shù)據(jù)收集、整理和分析的方法；知道可以用定量的方法描述隨機現(xiàn)象的變化趨勢及隨機事件發(fā)生的可能性大小。形成數(shù)據(jù)觀念有助于理解和表達生活中隨機現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律，感知大數(shù)據(jù)時代數(shù)據(jù)分析的重要性，養(yǎng)成重證據(jù)、 講道理的科學態(tài)度。

自2001年以來，課程標準中“統(tǒng)計與概率”部分在不斷調整，《義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》第一次將統(tǒng)計與概率作為與代數(shù)、幾何平行的獨立學習領域設置，第一次在小學設置概率內容，且在第一學段就要求學習概率內容。

在2011年版課標中，概率內容后移一個學段，在小學第二學段學習概率，只要求定性描述隨機現(xiàn)象發(fā)生可能性大小。主要原因是對于第一學段的學生來說，他們很難理解“隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小”。有學者曾對第一學段的學生進行過調查，“若不透明袋子中有大小相同的2個白色乒乓球、1個黃色乒乓球，隨機摸出一個，摸出哪個顏色乒乓球的可能性大？”，學生回答“黃色”。糾其原因，學生說：“我喜歡黃色?！边@說明第一學段的學生還不具備區(qū)分可能性大小的能力。同時，在2011年版課標中，統(tǒng)計的一些內容也后移一個學段，小學第一學段平均數(shù)移到第二學段，第二學段中中位數(shù)、眾數(shù)移到第三學段。同樣，在新課標中，“統(tǒng)計與概率”部分也發(fā)生了較大的變化。

一、新課標中“統(tǒng)計與概率”的主要變化

（一）內容結構的變化

如下頁表1，與2011年版課標相比較，新課標將以前的三個學段分為小學部分、初中部分共四個學段，即第一學段（1～2年級），第二學段（3～4年級），第三學段（5～6年級），第四學段（第7～9年級）；“統(tǒng)計與概率”的內容螺旋上升，尤其是統(tǒng)計部分，分為數(shù)據(jù)的分類，數(shù)據(jù)的收集、整理與表達，隨機事件發(fā)生的可能性，抽樣與數(shù)據(jù)分析，隨機事件的概率五個主題組成。

（二）內容呈現(xiàn)方式的變化

“統(tǒng)計與概率”內容的設計思路有所變化，2011年版課標中的課程內容按照“學段+領域”的思路設計，即“統(tǒng)計與概率”領域的內容分散在三個學段呈現(xiàn)。新課標中的課程內容按照“階段+領域+學段”的思路設計，即小學與初中部分，“統(tǒng)計與概率”領域集中呈現(xiàn)各學段內容要求。其更加體現(xiàn)了同一領域下不同學段的縱向要求，更加體現(xiàn)了各學段之間的關聯(lián)性。

（三）內容表述形式的變化

新課標中各領域最大的變化就是內容表述形式的變化，其主要分為內容要求、學業(yè)要求、教學提示三個方面，不僅說明了學什么，同時說明了學到什么程度，怎樣學。

例如，“概率”部分的內容要求為“知道通過大量重復試驗，可以用頻率估計概率?！?/p>

學業(yè)要求為：知道經(jīng)歷大量重復試驗，隨機事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，能用頻率估計概率；體會數(shù)據(jù)的隨機性以及概率與統(tǒng)計的關系；能綜合運用統(tǒng)計與概率的思維方法解決簡單的實際問題。

教學提示為：引導學生通過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)隨機事件發(fā)生頻率的穩(wěn)定性，感悟用頻率估計概率的道理，會用頻率估計概率。

在這樣的過程中，引導學生會從統(tǒng)計與概率的角度認識、理解和表達現(xiàn)實世界中大量存在的隨機現(xiàn)象；這樣的教學實踐活動會涉及大量的數(shù)據(jù)計算（樣例84和樣例85），建議與信息科技教師合作，設計跨學科的項目式學習課程，引導學生會使用計算機處理數(shù)據(jù)，養(yǎng)成利用信息技術開展研究的習慣。

（四）內容要求的變化

新課標以下內容發(fā)生變化：通過實例認識簡單隨機抽樣（內容要求從了解層次提升到理解層次）；理解中位數(shù)、眾數(shù)的意義（增加）；經(jīng)歷數(shù)據(jù)分類的活動，知道按照組內離差平方和最小的原則對數(shù)據(jù)進行分類的方法（增加）；會計算四分位數(shù)，了解四分位數(shù)與箱線圖的關系，感悟百分位數(shù)的意義（增加）；分布式計算平均數(shù)和百分數(shù)（樣例86）（增加）。

二、新課標中“統(tǒng)計與概率”的內容分析

新課標指出，數(shù)學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)，主要包括“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”三個方面。其中，“統(tǒng)計與概率”在整個義務教育階段分為五個主題，即第一學段的數(shù)據(jù)分類，第二、三學段的數(shù)據(jù)收集、整理與表達，第三學段的隨機事件發(fā)生的可能性，第四學段的抽樣與數(shù)據(jù)和概率。

第一學段的“數(shù)據(jù)分類”是其他四個主題的基礎，包括對具有共同特征的“事物”的分類和對調查等取得的“數(shù)據(jù)”進行分類，旨在培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)意識和應用意識，后期的第二、三、四學段我們都要用統(tǒng)計圖整理與表達數(shù)據(jù)，以及新增加的利用組內離差平方和最小的原則進行數(shù)據(jù)分類，都是第一學段“數(shù)據(jù)分類”的具體方法。如條形統(tǒng)計圖是直觀呈現(xiàn)不同類別數(shù)據(jù)的數(shù)量情況；折線統(tǒng)計圖不僅呈現(xiàn)不同類別數(shù)據(jù)的數(shù)量情況，還反應出增減變化；扇形統(tǒng)計圖直觀呈現(xiàn)不同類別數(shù)據(jù)數(shù)量在整體中的占比情況；頻數(shù)分布直方圖是直觀呈現(xiàn)不同類別數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)分布情況。

第二、三學段數(shù)據(jù)的收集、整理與表達旨在培養(yǎng)學生的幾何直觀、運算能力、模型觀念、數(shù)據(jù)觀念和應用意識。同時，引進了統(tǒng)計量，設置了如平均數(shù)、百分數(shù)等內容，對統(tǒng)計圖進一步進行了強化和應用。

第三學段中的隨機事件發(fā)生的可能性旨在培養(yǎng)學生的推理能力、數(shù)據(jù)觀念和應用意識，通過實例幫助學生認識到生活中有些事情發(fā)生是不確定的，而不確定事件中可能發(fā)生的不同結果的可能性是有大小的，引導學生初步學會根據(jù)所有可能發(fā)生的情況正確判斷某種結果發(fā)生的可能性大小，但是僅僅限于定性描述。

第四學段中的抽樣與數(shù)據(jù)分析旨在培養(yǎng)學生的抽象能力、幾何直觀、創(chuàng)新意識、運算能力、推理能力、模型觀念、數(shù)據(jù)觀念和應用意識；使學生經(jīng)歷收集（即簡單隨機抽樣），利用統(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行整理與描述，再借助統(tǒng)計量（平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)）反應數(shù)據(jù)的集中趨勢，借助方差、組內離差平方和反應數(shù)據(jù)的離散程度以及新課標中新增加的四分位數(shù)、百分位數(shù)來反應數(shù)據(jù)的分布位置。教學內容圍繞數(shù)據(jù)分析的整個過程展開，以推斷性統(tǒng)計分析為主。

第四學段中的隨機事件的概率旨在培養(yǎng)學生的抽象能力、創(chuàng)新意識、運算能力、推理能力、模型觀念、數(shù)據(jù)觀念和應用意識。主要包括兩方面：一是用古典概型刻畫概率，需要滿足簡單隨機抽樣的特征——簡單隨機抽樣要求被抽取的樣本的總體個數(shù)N是有限的；簡單隨機樣本數(shù)n小于等于樣本總體的個數(shù)N；簡單隨機抽樣的每個個體發(fā)生的可能性均為n/N（概率相同）；樣本的每個單位（個體）完全獨立，彼此間無一定的關聯(lián)性和排斥性。二是用頻率刻畫概率。主要分為全樣本抽取法，即制作N個簽（標號為1到N），將總體的單元分別編上1到N的號碼，然后均勻混合制作的N個簽，從中抽取n個簽，則這n個簽上的號碼對應的單元組成的樣本即為隨機樣本。全樣本抽取是一種自然抽取方法。但對于較大的N，這種方法操作起來不方便，通常用逐個抽取法代替，即在總體的N個單元中，等概率抽取1個單元，然后在剩余的（N-1）個單元中等概率抽取1個單元；接著，在剩余的（N-2）個單元中等概率抽取1個單元，依次繼續(xù)抽取，每次都在尚未抽取的單元中等概率抽取1個單元且不放回，直到抽取n個單元為止。

三、新課標中“統(tǒng)計與概率”的實施策略

（一）理解“分布式計算”

“分布式計算”是一種計算方法，它和“集中式計算”是相對的。隨著計算技術的發(fā)展，有些應用需要巨大的計算能力才能完成，如果采用“集中式計算”，需要耗費相當長的時間才能完成。“分布式計算”將該應用分解成許多小的部分，分配給多臺計算機進行處理。這樣可以節(jié)約整體計算時間，大大提高計算效率。

例題：（1）已知若干網(wǎng)站的用戶日人均上網(wǎng)時間，估計這些網(wǎng)站所有用戶的日人均上網(wǎng)時間；（2）已知若干網(wǎng)站的用戶對某個熱點話題的關注度，估計網(wǎng)民對這個熱點話題的關注度。

【說明】以兩家網(wǎng)站為例進行分析，設這兩家網(wǎng)站分別為A網(wǎng)站和B網(wǎng)站。

教師要啟發(fā)學生思考這樣的現(xiàn)實情境：知道兩家網(wǎng)站的用戶日人均上網(wǎng)時間分別為a和b，希望知道這兩家網(wǎng)站所有用戶的日人均上網(wǎng)時間。顯然，基于這些信息不可能得到結論，教師要通過啟發(fā)最終使學生理解，如果還知道兩家網(wǎng)站平均每天的上網(wǎng)用戶人數(shù)分別為n和m，那么就可以得到兩家網(wǎng)站所有用戶的日人均上網(wǎng)時間，即[na+mbn+m]=[nn+ma]+[mn+mb]。這是兩家網(wǎng)站的用戶日人均上網(wǎng)時間a和b的加權平均數(shù)。

教師還要啟發(fā)學生：對于某一個熱點話題，知道兩家網(wǎng)站認為“這個話題重要”的用戶所占百分比分別為 75%和62%，希望知道這兩家網(wǎng)站所有用戶中認為“這個話題重要” 的用戶所占比例。與上一個問題類似，基于這些信息不可能得到結論，教師要通過啟發(fā)最終使學生理解，如果還知道兩家網(wǎng)站參與評價的用戶人數(shù)分別為n和m，那么可以得到兩家網(wǎng)站所有用戶中認為 “這個話題重要”的用戶比例為[0.75n+0.62mn+m]=[nn+m]×0.75+[mn+m]×0.62。這也是兩家網(wǎng)站認為“這個話題重要”的用戶所占百分比75%和62%的加權平均數(shù)。最后，只需要把這個結果化成百分數(shù)就可以了。

通過上面例子可以看到，如果按照定義，無論是平均數(shù)還是百分數(shù)的計算，都需要用數(shù)量總數(shù)除以參與計算的個數(shù)。如平均數(shù)的問題，需要用兩家網(wǎng)站用戶上網(wǎng)的總時間除以用戶總人數(shù)；百分數(shù)的問題，需要用兩家網(wǎng)站認為熱點話題重要的用戶總人數(shù)除以參與評價的用戶總人數(shù)。而現(xiàn)在利用已經(jīng)計算出的兩家網(wǎng)站各自的平均數(shù)或者百分數(shù)，可以非常方便地通過加權直接計算得到兩家網(wǎng)站的所有用戶日人均上網(wǎng)時間或對某個熱點話題的關注度。這樣的計算，在形式上是加權平均，在程式上是分別計算，是分布式計算的最簡單形式，是大數(shù)據(jù)計算的熱門算法。

（二）理解“四分位數(shù)”

如果把一組數(shù)據(jù)從小到大排序，用m50表示中位數(shù)，稱為第50百分位數(shù)，那么中位數(shù)把這組數(shù)據(jù)分為兩部分，分別記為S和T；進一步，用m25和m75分別表示S和T的中位數(shù)，那么，所有數(shù)據(jù)中小于或等于m25的占25%、小于或等于m75的占75%。這樣，m25，m50，m75這三個數(shù)值把所有數(shù)據(jù)分為個數(shù)相等的四個部分，因此稱為“四分位數(shù)”。

例如，共有12個數(shù)據(jù)，從小到大排列為2.02，2.15，3.18，3.21，3.64，3.85，3.98，4.10，4.11，4.77，4.89，6.44。用m50表示這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)（第50百分位數(shù)或50％分位數(shù)），則m50是第6個和第7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，m50=（3.85+3.98）/2=3.915；中位數(shù)m50把這組數(shù)據(jù)分成兩部分；用m25表示S的中位數(shù)（第25百分位數(shù)或25％分位數(shù)或第一四分位數(shù)），則m25是第3個和第4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，m25=（3.18+3.21）/2=3.195；意義是：所有數(shù)據(jù)小于或等于3.195的占25%（12 × 25%=3）；用m75表示T的中位數(shù)（第75百分位數(shù)或75％分位數(shù)或第三四分位數(shù)），則m75是第9個和第10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，m75=（4.11+4.77）/2=4.44；意義是：所有數(shù)據(jù)小于或等于4.44的占75%。（12 × 75%=9）

（三）理解“組內離差平方和”

新課標要求“會計算一組簡單數(shù)據(jù)的離差平方和，經(jīng)歷數(shù)據(jù)分類的活動，知道按照組內離差平方和最小的原則對數(shù)據(jù)進行分類的方法”。在大數(shù)據(jù)分析中，數(shù)據(jù)的分組是重要的方法之一。雖然可以有多種方法對數(shù)據(jù)進行分組，但是，使得“組內離差平方和最小”的方法是最傳統(tǒng)的，也是非常合理的。下面來說明理由。

假設有n個數(shù)據(jù)，不失一般性，假設這些數(shù)據(jù)都不相等，表示為x1，x2，……，xn，如果把這些數(shù)據(jù)分成兩組，如前m個數(shù)據(jù)為一組（稱為第一組），后（n-m）個數(shù)據(jù)為一組（稱為第二組）即x1，x2，x3，x4，……，xm ，xm+1，xm+2，……，xn。假設前m個數(shù)據(jù)平均數(shù)為[x1=1m]（x1+x2+…+xm），后（n-m）個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為[x2]=[1n-m]（xm+1+xm+2+……+xn），這n個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為[xn=1n]（x1+x2+……+xn），則組內離差平方和為：S12=（x1-[x]）2+（x2-[x]）2+……+（xm-[x]1）2+（xm+1-[x]2）2+（xm+2-[x]2）2+……+（xn-[x]2）2；組間離差平方和為：S22=m（x1-[x]）2+（n-m）（[x]2-[x]）2；

總體離差平方和為：S2=（x1-[x]）2+（x2-[x]）2+……+（xn-x）2；S2=S12+S22；補充兩數(shù)和的平方為零。

[S12]為組內離差平方和，它表達了兩個組內數(shù)據(jù)的離散程度；[S22]為組間離差平方和，它表達了兩個組間的差異。一個合理的分組原則是使[S12]達到最小，[S22]達到最大。由于總體離差平方和[S2]不變，只需考慮使組內離差平方和達到最小即可。

例題，下頁表2中記錄了我國10個省份2020年人均地區(qū)生產總值（人均 GDP）的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)表明，這10個省份的人均GDP是有區(qū)別的。如果要把這10個省份依據(jù)人均GDP的多少分為兩個組，你認為應當如何劃分？請說出你劃分的道理。

若第1組5個數(shù)據(jù)，第2組5個數(shù)據(jù)：[x1]= [6.24+7.16+7.18+7.37+8.855] =7.36，

[x2]=[10.07+10.11+12.13+15.68+16.425=]12.882，S1，52=（6.24-7.36）2+（7.16-7.36）2+（7.18-7.36）2+（7.37-7.36）2+（8.85-7.36）2+（10.07-12.882）2+（10.11-12.882）2+（12.13-12.882）2+（15.68-12.882）2+（16.42-12.882）2=（1.2544+0.04+0.0324+0.0001+2.2201）+（7.907344+7.683984+0.565504+7.828804+12.517444）=3.547+40.05008=40.05008≈40.050

計算結果表明，將排序后的前7個數(shù)據(jù)分為一組、后3個數(shù)據(jù)分為另一組，可以使組內離差平方和達到最小值。最后，依據(jù)數(shù)據(jù)對應的省份，分出的兩組是：{省份2，省份3，省份4，省份7，省份8，省份9，省份10}；{省份1，省份5，省份6}。

通過數(shù)據(jù)也可以看到，這樣的分組是合理的。

四、關于“統(tǒng)計與概率”的教學建議

（一）制訂指向核心素養(yǎng)的教學目標

1.教學目標要體現(xiàn)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)

“統(tǒng)計與概率”部分的內容，其核心素養(yǎng)的表示如表3所示。

2.處理好核心素養(yǎng)與“四基”“四能”的關系

教師要引導學生關注統(tǒng)計的全過程，從對“事物”的分類到對“數(shù)據(jù)”的分類，從簡單隨機抽樣到數(shù)據(jù)的整理與描述，使學生經(jīng)歷從生活中的實際問題抽象數(shù)學問題，在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的同時，會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界；在對數(shù)據(jù)處理過程中，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的同時，學會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界；在用數(shù)據(jù)的分析結果解決現(xiàn)實問題過程中，會用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界。

3.教學目標的設定要體現(xiàn)整體性和階段性

教師要依據(jù)核心素養(yǎng)的內涵和在不同學段的表現(xiàn)，結合“統(tǒng)計與概率”的具體教學內容，全面分析主題、單元和課時特征，基于主題、單元整體設計教學目標，圍繞單元目標細化具體課時的教學目標。

（二）整體把握教學內容

教學內容是落實教學目標、發(fā)展學生核心素養(yǎng)的載體。教師要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現(xiàn)數(shù)學學科本質、 對未來學習有支撐意義的、結構化的數(shù)學知識體系。

新課標各領域均有一定變化，教師要理解變化意圖，明確設計理念，將數(shù)學核心素養(yǎng)落實到課堂中，為了學生的終身發(fā)展全力以赴。

（責任編輯：楊強）