化錯(cuò)，從理解到實(shí)踐

摘要：化錯(cuò)教育，化的是差錯(cuò)，育的是人。角是一種比較特殊的圖形。角的不封閉性，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)常常遇到一些似是而非的問(wèn)題?！督堑恼J(rèn)識(shí)》的教學(xué)，要讓化錯(cuò)的過(guò)程充分、舒展，幫助學(xué)生形成容錯(cuò)的品質(zhì)、融錯(cuò)的能力和初步的榮錯(cuò)觀，嘗試“一課三案”，即在找錯(cuò)中“糾錯(cuò)”，在找對(duì)中“融錯(cuò)”，在對(duì)錯(cuò)之外“化錯(cuò)育人”。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；化錯(cuò)教育；《角的認(rèn)識(shí)》；同課異構(gòu)

一、《角的認(rèn)識(shí)》教學(xué)之思：詮釋對(duì)化錯(cuò)的理解

跟隨師父華應(yīng)龍老師研究化錯(cuò)教育二十多年，經(jīng)歷了起、承、轉(zhuǎn)、合，嘗試將自己對(duì)化錯(cuò)的理解進(jìn)行凝練、濃縮，概括為四段話：（1）化錯(cuò)教育的“化”，是指挖掘不同學(xué)生思路中合理、有價(jià)值的因素，打通它們之間的聯(lián)系。（2）化錯(cuò)教育的“錯(cuò)”，并不是錯(cuò)誤，而是學(xué)生認(rèn)知發(fā)展過(guò)程中的“暫時(shí)性正確”，是學(xué)生原生態(tài)學(xué)習(xí)的必然“彎路”，是學(xué)生思維不斷完善的“墊腳石”，是學(xué)生學(xué)習(xí)的豐富養(yǎng)分，是課堂教學(xué)的寶貴資源。（3）化錯(cuò)與糾錯(cuò)、融錯(cuò)關(guān)聯(lián)密切，區(qū)別明顯。如果說(shuō)糾錯(cuò)是“換個(gè)路徑，從頭再來(lái)”，融錯(cuò)就是“調(diào)整路徑，接著想，繼續(xù)走”，化錯(cuò)則是在融錯(cuò)基礎(chǔ)上“跳出對(duì)錯(cuò)，揚(yáng)長(zhǎng)避短”。糾錯(cuò)走的是直線，融錯(cuò)走的是曲線?；e(cuò)不僅走直線，也走曲線；甚至打通所有的直線和曲線，走的是一個(gè)面?；e(cuò)聚力于尋求各種路徑的合理因素，以及這些合理因素之間的關(guān)聯(lián)和印證。（4）化錯(cuò)教育，化的是差錯(cuò)，育的是人。

《角的認(rèn)識(shí)》一課教學(xué)，從教學(xué)內(nèi)容的選擇到教學(xué)方法的預(yù)設(shè)，再到教學(xué)目標(biāo)的定位，一步步都是在詮釋對(duì)化錯(cuò)的理解。

（一）教學(xué)內(nèi)容的選擇：從學(xué)情調(diào)查中提煉典型問(wèn)題

角是一種比較特殊的圖形。角的不封閉性，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)常常遇到一些似是而非的問(wèn)題。教學(xué)前，我們通過(guò)問(wèn)卷的方式調(diào)查了全校四年級(jí)學(xué)生關(guān)于角的疑問(wèn)和困惑，從中提煉了三個(gè)典型問(wèn)題：

問(wèn)題一：指一指，角在哪兒？

日常課堂中，讓學(xué)生指角時(shí)，大多數(shù)會(huì)指著角的頂端，部分會(huì)沿著邊描出角的模樣，少數(shù)能從角的頂點(diǎn)出發(fā)引出兩條射線。我們很少看到學(xué)生借助手勢(shì)或筆等工具“從角的始邊出發(fā)，旋轉(zhuǎn)到終邊”——這樣動(dòng)態(tài)地畫角，有助于在后續(xù)學(xué)習(xí)中深度理解量角器量角的原理并掌握量角器量角的方法。

問(wèn)題二：放大鏡能夠?qū)⒔欠糯髥幔?/p>

對(duì)這個(gè)問(wèn)題，不少學(xué)生雖然知道答案，但時(shí)常會(huì)犯糊涂。究其原因，學(xué)生對(duì)角的本質(zhì)理解膚淺，頭腦中的角一般是“由兩條線段組成的圖形”（下文簡(jiǎn)稱“線段角”）。這與數(shù)學(xué)中角的概念并不一致。數(shù)學(xué)中的角，是一類“線段角”的集合——這類“線段角”有公共頂點(diǎn)，開口方向和大小一樣。這類“線段角”的邊有長(zhǎng)有短，我們用兩條射線抽象統(tǒng)括。這樣一類“有公共頂點(diǎn)，開口方向和大小一樣”的“線段角”，就被抽象成一個(gè)由兩條射線夾成的“射線角”。用放大鏡看這個(gè)“射線角”，看到的只是它的“變身”，而不是角的放大。

問(wèn)題三：“”表示角，還是直線？“”表示角，還是射線？“”表示角嗎？

畫一條直直的線，如果兩端都不畫點(diǎn)，畫的就是直線;如果在一端畫上一個(gè)點(diǎn)，就畫成了射線；如果在兩端都畫上一個(gè)點(diǎn)，就畫成了線段。畫線時(shí)，“點(diǎn)”表示一種數(shù)學(xué)意象——線到此為止、不再延長(zhǎng)。畫線時(shí)，畫不畫點(diǎn)，畫一個(gè)點(diǎn)還是兩個(gè)點(diǎn)，表示的意思是不一樣的。同理，畫角時(shí)，“小圓弧”也表示一種意象——角的一條邊從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置，或兩條邊張開的大小。畫角時(shí)，畫不畫圓弧，表示的意思也會(huì)不一樣。嚴(yán)格意義上，用“”表示角，欠準(zhǔn)確。

以上三個(gè)問(wèn)題及其回答，便是《角的認(rèn)識(shí)》一課的教學(xué)內(nèi)容。

（二）教學(xué)方法的預(yù)設(shè)：獨(dú)立思考+小組討論+全班交流，讓化錯(cuò)的過(guò)程充分、舒展

捷克教育家夸美紐斯在《大教學(xué)論》一書中提出，教學(xué)要找到一種方法，使教師可以少教，學(xué)生可以多學(xué)。化錯(cuò)教育就是這樣一種“讓教師少教，讓學(xué)生多學(xué)”的方法。師生在課堂上，圍繞學(xué)生的差錯(cuò)，溫暖地“容”，智慧地“融”，進(jìn)而自豪地“榮”。

為了讓本節(jié)課中化錯(cuò)的過(guò)程充分、舒展，課前，我們與學(xué)生約定：本節(jié)課主要以獨(dú)立思考、小組討論、全班交流的形式展開。（1）小組討論前，每個(gè)人獨(dú)立思考，有自己的想法后起立；小組成員都起立后，輪流發(fā)言；發(fā)言完畢，組長(zhǎng)組織歸納、總結(jié)小組意見(jiàn)，并推薦發(fā)言人；然后靜息，等待全班交流。（2）全班交流時(shí)，以小組為單位到講臺(tái)前分享;分享時(shí)，不是敘述個(gè)人的想法，而是代表小組表達(dá)集體討論的結(jié)果;其他學(xué)生在理答時(shí)，要明確表示同意、反對(duì)、懷疑、補(bǔ)充等，并具體闡述。

（三）教學(xué)目標(biāo)的定位：形成容錯(cuò)的品質(zhì)、融錯(cuò)的能力和初步的榮錯(cuò)觀

隨著課程改革的深入，教學(xué)目標(biāo)從“雙基”到“三維”，到“四基、四能”，再到核心素養(yǎng)。教學(xué)不僅重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得，也重視運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)，更加強(qiáng)調(diào)正確價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力的形成。

基于以上認(rèn)識(shí)，我們將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：（1）借助不同的“指角”方法，理解角的豐富內(nèi)涵；（2）通過(guò)放大鏡不能放大角，感受數(shù)學(xué)圖形高度的概括力；（3）用符號(hào)表示角，感受數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象性和嚴(yán)密性；（4）在辨析“錯(cuò)中錯(cuò)”“錯(cuò)中對(duì)”“對(duì)錯(cuò)之外”的過(guò)程中，培養(yǎng)批判性思維，形成容錯(cuò)的品質(zhì)、融錯(cuò)的能力和初步的榮錯(cuò)觀。

二、《角的認(rèn)識(shí)》教學(xué)之行：“一課三案”，抵達(dá)對(duì)錯(cuò)之外的“化錯(cuò)育人”

（一）第一種教學(xué)方案：在找錯(cuò)中“糾錯(cuò)”

拋出問(wèn)題一：指一指，角在哪兒？

導(dǎo)入：老師這兒有一把三角尺，你看到角了嗎？請(qǐng)你來(lái)指一指。

學(xué)生指著角的頂端。不少學(xué)生認(rèn)為這樣指的是角的頂點(diǎn)。

提示：抓住角的構(gòu)成要素“頂點(diǎn)和邊”指角，可以更清楚、明確地將角表達(dá)出來(lái)。

拋出問(wèn)題二：放大鏡能夠?qū)⒔欠糯髥幔?/p>

大多數(shù)學(xué)生都知道：放大鏡不能放大角。

追問(wèn)：為什么放大鏡不能放大角？

總結(jié)：角的大小，是指角兩條邊張開的大小。放大鏡無(wú)法改變角兩條邊張開的大小。所以，用放大鏡看角，角的大小不變。

拋出問(wèn)題三：“”表示角，還是直線？“”表示角，還是射線？“”表示角嗎？

指名回答。學(xué)生意見(jiàn)不一致。

當(dāng)有學(xué)生表示這些都不是角時(shí)，追問(wèn)：為什么你認(rèn)為它們不是角？

總結(jié)：數(shù)字和圖形是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言。數(shù)學(xué)圖形中的每一個(gè)符號(hào)都是對(duì)實(shí)際意義的抽象表達(dá)，有特定的含義。畫角時(shí)，應(yīng)該標(biāo)上角的標(biāo)記，這樣有助于清晰表達(dá)“角兩條邊張開的大小”這層含義。

這一種方案基本按照“提出關(guān)鍵問(wèn)題、呈現(xiàn)爭(zhēng)議觀點(diǎn)、暴露思維過(guò)程、揭示正確答案”的過(guò)程展開。這種“識(shí)錯(cuò)、改錯(cuò)”“棄暗投明”的差錯(cuò)處理的方式，被我們稱為糾錯(cuò)，可用圖1表示。

圖1中，OA為學(xué)生最初的思維路徑，OB是教師預(yù)設(shè)的思路（標(biāo)準(zhǔn)答案）。課上，學(xué)生表達(dá)自己的觀點(diǎn)OA后，教師一般會(huì)通過(guò)追問(wèn)，暴露、放大學(xué)生思維過(guò)程中存在的問(wèn)題；在此基礎(chǔ)上，揭示正確思路OB；最后，讓學(xué)生獨(dú)立、完整地“經(jīng)歷”O(jiān)B這一過(guò)程，加深對(duì)標(biāo)準(zhǔn)答案“關(guān)門過(guò)節(jié)”的體驗(yàn)和理解。

（二）第二種教學(xué)方案：在找對(duì)中“融錯(cuò)”

拋出問(wèn)題一：指一指，角在哪兒？

引出：三角尺上有三個(gè)角，你能將它們指出來(lái)嗎？

學(xué)生指著三角尺三個(gè)角的頂端。

追問(wèn)：還有其他的指角方法嗎？說(shuō)說(shuō)你們的想法。

有學(xué)生指頂點(diǎn)，有學(xué)生描邊，有學(xué)生畫射線，等等。

評(píng)價(jià)：大家用不同的方法表示出了自己對(duì)角的獨(dú)特理解，直觀、有創(chuàng)意！掌聲鼓勵(lì)。

拋出問(wèn)題二：放大鏡能夠?qū)⒔欠糯髥幔?/p>

部分學(xué)生搶答：不能。

追問(wèn)：放大鏡沒(méi)有放大角，放大的到底是什么？

總結(jié)：放大鏡放大的是圖的大小，但沒(méi)有改變角的“形”狀，角兩條邊張開的大小始終沒(méi)有變。

拋出問(wèn)題三（部分）：“”表示角，還是直線？

有學(xué)生說(shuō)，是平角；有學(xué)生說(shuō)，沒(méi)有標(biāo)角的標(biāo)記，不能算是角。

組織：同學(xué)們的觀點(diǎn)不一致。這樣，我們暫時(shí)先將它放一放，看看下面這個(gè)圖形?！啊北硎窘牵€是射線？說(shuō)說(shuō)你是怎么想的。

學(xué)生意見(jiàn)比較集中，都認(rèn)為是射線。

再問(wèn)：現(xiàn)在你認(rèn)為“”表示什么？為什么？

有學(xué)生改口：這是一條直線；這是兩條射線。

提問(wèn)：再看看這個(gè)圖形，“”表示什么？

總結(jié)：有的時(shí)候，差錯(cuò)與正確之間并沒(méi)有明顯的界限。差錯(cuò)也叫“差對(duì)”：差一點(diǎn)就對(duì)了。

提醒：畫角時(shí)，要標(biāo)上角的記號(hào)，這樣有助于表達(dá)的完整、清晰，避免不必要的爭(zhēng)議。

第二種方案與第一種方案相比，略有變化，主要體現(xiàn)在：學(xué)生回答問(wèn)題后，教師不是直接進(jìn)行對(duì)錯(cuò)判斷或給出所謂的標(biāo)準(zhǔn)答案，而是鼓勵(lì)學(xué)生充分表達(dá)自己的想法；然后，師生一起耐心、有組織地破解、梳理學(xué)生思維過(guò)程中的正確因素，補(bǔ)充、完善原先的想法。這種方法被我們稱為融錯(cuò)，可用圖2表示。

圖2中，學(xué)生最初的想法OA有問(wèn)題，但不是全錯(cuò)。教師在學(xué)生表達(dá)觀點(diǎn)后，和他們一道辨析，明確OA中正確的部分OC，再由OC“接著想”，最終到達(dá)目的地。路徑OCB與標(biāo)準(zhǔn)答案OB相比，雖然走了不少?gòu)澛罚菍W(xué)生自己冥思苦想出來(lái)的——OB再好，也是別人的。

有些彎路是學(xué)生認(rèn)識(shí)新事物過(guò)程中必須走的。時(shí)間的洗滌、沉淀，會(huì)使得這些彎路漸漸收縮、變直，逐漸靠近最優(yōu)路徑OB，甚至與OB重合。這種經(jīng)歷了“由彎到直”后的OB，包含了學(xué)生豐富的、寶貴的、不可或缺的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，特別有價(jià)值。

（三）第三種教學(xué)方案：在對(duì)錯(cuò)之外“化錯(cuò)育人”

拋出問(wèn)題一：指一指，角在哪兒？

引出：三角尺上有三個(gè)角，誰(shuí)來(lái)指一指？

學(xué)生指著三角尺三個(gè)角的頂端。

追問(wèn)：大家還有其他的指角方法嗎？

聚焦：同學(xué)們的指角方法很多，請(qǐng)分析一下大家的指角方法各有什么優(yōu)點(diǎn)。

總結(jié)：同學(xué)們有的指出了角的關(guān)鍵要素，有的描出了角的樣子，有的把角的邊無(wú)限延伸的特點(diǎn)表示了出來(lái)，還有的動(dòng)態(tài)表示出了角兩條邊張開的大小這一本質(zhì)內(nèi)涵。不同的指角方法，體現(xiàn)了大家對(duì)角內(nèi)涵的豐富認(rèn)識(shí)。學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們要學(xué)會(huì)看到不同甚至對(duì)立觀點(diǎn)背后的合理之處，對(duì)之分析綜合，使之為我所用。這一過(guò)程有助于學(xué)生的認(rèn)知更全面、更嚴(yán)謹(jǐn)、更辯證。

課件出示（或板書）：求同存異，和而不同。

拋出問(wèn)題二：放大鏡能夠?qū)⒔欠糯髥幔?/p>

部分學(xué)生認(rèn)為“不能”，少數(shù)學(xué)生認(rèn)為“能”。

追問(wèn)：其他同學(xué)猜一猜，為什么有同學(xué)認(rèn)為放大鏡將角放大了呢？

總結(jié)：生活中的角和數(shù)學(xué)中的角不同，生活中我們見(jiàn)到的角是由兩條線段組成的圖形；數(shù)學(xué)上的角是由兩條射線組成的圖形。數(shù)學(xué)中的一個(gè)角是對(duì)生活中無(wú)數(shù)個(gè)“開口相同、朝向一致，有公共頂點(diǎn)”的角的抽象，用一個(gè)“數(shù)學(xué)角”（同上文所說(shuō)的“射線角”）表示了一類“生活角”（同上文所說(shuō)的“線段角”）。

延伸：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很多時(shí)候是在不斷地補(bǔ)充、完善、明晰、更替我們已有日常經(jīng)驗(yàn)中不清晰、不科學(xué)的生活概念。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要我們用開放的心態(tài)接受新觀點(diǎn)，完善舊想法。

課件出示（或板書）：知錯(cuò)能改，善莫大焉。

拋出問(wèn)題三（部分）：“”表示角，還是直線？

組織：同學(xué)們的觀點(diǎn)不是很一致。這樣，我們暫時(shí)先將它放一放！看看“”這個(gè)圖形，它表示角，還是射線？

絕大多數(shù)學(xué)生都認(rèn)為是射線。

回看：現(xiàn)在你認(rèn)為“”表示什么？

學(xué)生觀點(diǎn)不一。

提問(wèn)：再看看“”這個(gè)圖形，它表示什么？

總結(jié)：指望改變別人，不如努力改變自己。在學(xué)習(xí)、生活中，我們一方面，要多角度地思考、揣摩他人的可能想法，努力理解他人；另一方面，要盡可能清晰、到位地表達(dá)自己的想法，不讓他人產(chǎn)生誤會(huì)。

課件出示（或板書）：行有不得，反求諸己。

第三種方案不再拘泥于某個(gè)想法到底“是對(duì)，還是錯(cuò)”。一幅畫，要找優(yōu)點(diǎn)，整幅畫都會(huì)圈滿優(yōu)點(diǎn)；要找缺點(diǎn)，整幅畫又將圈滿缺點(diǎn)。凡事都有兩面，往好處想、用成長(zhǎng)型思維看，有助于學(xué)生從你的、我的、他的“對(duì)”中吸取養(yǎng)分，進(jìn)而完善、滋養(yǎng)自己的“對(duì)”。這就是我們所說(shuō)的“化錯(cuò)育人”，可用圖3表示。

圖3中，OB是教師鼓勵(lì)的標(biāo)準(zhǔn)思路，OA是學(xué)生可能存在的、本真的、模糊的想法，其他的線表示不同學(xué)生的思路。路徑不同、路程不同，但相互之間密切關(guān)聯(lián)。

這樣的方案有助于加深學(xué)生對(duì)角本質(zhì)的理解，還能通過(guò)爭(zhēng)議話題的討論，鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，提高學(xué)生的思辨水平，幫助他們?cè)凇皩ふ摇e(cuò)中對(duì)（正確因素）”“剖析‘錯(cuò)中錯(cuò)（導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因）”“跳出‘對(duì)錯(cuò)之外（參與即成長(zhǎng)）”的經(jīng)歷中，獲得關(guān)于角的“對(duì)”與“錯(cuò)”的辯證認(rèn)識(shí)，參悟待人、處事的哲理。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 仲海峰.數(shù)學(xué)概念教學(xué)：淡化末節(jié)，把握本質(zhì)——“角的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中幾個(gè)疑難問(wèn)題的思考感悟［J］.教育研究與評(píng)論（小學(xué)教育教學(xué)），2021（9）.