考慮異質(zhì)性的錦標(biāo)競(jìng)賽機(jī)制設(shè)計(jì)

魏光興,陳永恒

(重慶交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,重慶 400074)

0 引言

錦標(biāo)競(jìng)賽(tournament)以排序定結(jié)果，現(xiàn)實(shí)應(yīng)用非常廣泛，包括環(huán)境規(guī)制[1]、區(qū)域發(fā)展[2]、教育改革[3]和官員晉升[4]等社會(huì)問題，以及減排[5]、眾包[6]和人事晉升[7]等運(yùn)營(yíng)問題,其中都存在異質(zhì)性.無論是競(jìng)賽中的個(gè)人、組織還是區(qū)域等，在資源稟賦、生產(chǎn)效率等方面都有先天差異.這種異質(zhì)性會(huì)使優(yōu)勢(shì)方無需太努力，而劣勢(shì)方即使很努力意義也不大，結(jié)果導(dǎo)致競(jìng)賽不夠激烈，弱化了錦標(biāo)競(jìng)賽的激勵(lì)作用.因此，研究如何根據(jù)異質(zhì)性設(shè)計(jì)相應(yīng)的錦標(biāo)競(jìng)賽機(jī)制，探究異質(zhì)性如何影響錦標(biāo)競(jìng)賽激勵(lì)效果的內(nèi)在原理，是眾多領(lǐng)域共同存在的重要科學(xué)問題.由于發(fā)展不平衡不充分是當(dāng)前的基本國(guó)情，所以研究這一問題對(duì)緩解發(fā)展不平衡不充分與人民美好生活需要之間的社會(huì)主要矛盾具有積極意義.

G. Tullock[8]和E.P. Lazear等[9]率先對(duì)錦標(biāo)競(jìng)賽進(jìn)行研究，期刊JOM(Journal of Management)在2014年刊登專題文章[10]回顧了錦標(biāo)競(jìng)賽研究的發(fā)展歷程.這些研究對(duì)異質(zhì)性有較多關(guān)注.如海江濤等[11]考慮技術(shù)創(chuàng)新的個(gè)體差異，研究了在政府偏袒影響下的固定獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽模型，分別在存在技術(shù)溢出和沒有技術(shù)溢出條件下設(shè)計(jì)了有效激勵(lì)各個(gè)投標(biāo)商積極參與公共產(chǎn)品技術(shù)創(chuàng)新的競(jìng)賽機(jī)制.D.P. Castrillo 等[12]研究發(fā)現(xiàn)實(shí)施傾斜式的獎(jiǎng)金分配(即獎(jiǎng)金隨著獲勝者的身份而變化)，可以提高實(shí)施錦標(biāo)競(jìng)賽的總收益.類似地，M. Dahm等[13]研究了額外獎(jiǎng)金(extra prize)問題(即從數(shù)量固定的總獎(jiǎng)金中扣除一部分用于對(duì)低能力者獲勝的額外獎(jiǎng)勵(lì))，高能力者獲勝則只能得到剩余部分，而低能力者獲勝則可以獲得全部獎(jiǎng)金，這樣能提高競(jìng)賽的公平性和參賽者的總努力程度.Liu Bin等[14]研究了參與競(jìng)賽入門成本存在異質(zhì)性條件的獎(jiǎng)金分配問題.而S.O. Parreiras等[15]研究了在成本滿足連續(xù)分布時(shí)異質(zhì)性的影響，發(fā)現(xiàn)異質(zhì)性不會(huì)改變最高努力程度，而會(huì)降低總努力.此外，實(shí)驗(yàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)不斷發(fā)現(xiàn)異質(zhì)性影響錦標(biāo)競(jìng)賽的證據(jù).如文獻(xiàn)[16-18]的真實(shí)任務(wù)實(shí)驗(yàn)(real-effort experiments)都發(fā)現(xiàn):隨異質(zhì)性增強(qiáng)，錦標(biāo)競(jìng)賽中的高能力者和低能力者的努力程度都會(huì)減少;F. Graff等[19]通過虛擬場(chǎng)景實(shí)驗(yàn) (experiments of virtual reality) 研究發(fā)現(xiàn):異質(zhì)性會(huì)降低同事壓力對(duì)團(tuán)隊(duì)合作的激勵(lì)作用.

這些文獻(xiàn)主要研究參賽者之間的博弈關(guān)系，分析參賽者的努力程度選擇問題.但是，在錦標(biāo)競(jìng)賽中還有競(jìng)賽組織者與參賽者之間的委托代理關(guān)系，委托人就是競(jìng)賽組織者，代理人就是參賽者.競(jìng)爭(zhēng)博弈關(guān)系研究參賽者如何選擇努力水平，這是局部最優(yōu).委托代理關(guān)系進(jìn)一步研究委托人的機(jī)制參數(shù)選擇，這是全局最優(yōu).

對(duì)此，本文用委托代理理論研究考慮異質(zhì)性的錦標(biāo)競(jìng)賽機(jī)制設(shè)計(jì)，分析異質(zhì)性對(duì)錦標(biāo)機(jī)制、努力程度和收益水平等的影響.本文創(chuàng)新之處在于:(i)在研究對(duì)象上，考慮了錦標(biāo)競(jìng)賽中的異質(zhì)性.盡管異質(zhì)性在現(xiàn)實(shí)的錦標(biāo)競(jìng)賽中普遍存在，但是學(xué)術(shù)界較少關(guān)注，沒有研究如何根據(jù)異質(zhì)性設(shè)計(jì)相應(yīng)的錦標(biāo)競(jìng)賽機(jī)制，也沒有分析異質(zhì)性對(duì)錦標(biāo)機(jī)制、努力程度等有何影響.(ii)在研究視角上，用委托代理理論從全局最優(yōu)視角研究異質(zhì)錦標(biāo)競(jìng)賽的機(jī)制設(shè)計(jì).現(xiàn)有文獻(xiàn)分析了參賽者競(jìng)爭(zhēng)博弈關(guān)系，僅從局部最優(yōu)的角度研究了參賽者的努力程度選擇問題.只有進(jìn)一步考慮競(jìng)賽組織者與參賽者之間的委托代理關(guān)系，分析委托人的機(jī)制設(shè)計(jì)問題，才能得到全局最優(yōu).(iii)在研究?jī)?nèi)容上，不僅設(shè)計(jì)了考慮異質(zhì)性的錦標(biāo)競(jìng)賽機(jī)制，而且分析了異質(zhì)性對(duì)錦標(biāo)機(jī)制、努力程度和收益水平等的影響.現(xiàn)有文獻(xiàn)只考慮了參賽者之間的博弈關(guān)系，沒有研究錦標(biāo)競(jìng)賽的機(jī)制設(shè)計(jì)問題，也沒有分析異質(zhì)性對(duì)錦標(biāo)機(jī)制的影響，并且所得努力程度和收益水平只是局部最優(yōu)的.

與針對(duì)特定領(lǐng)域具體問題的應(yīng)用研究不同，考慮異質(zhì)性的錦標(biāo)競(jìng)賽機(jī)制設(shè)計(jì)是具有普適性的基礎(chǔ)理論研究，是在不同領(lǐng)域中的不同問題的背景下共同存在的科學(xué)問題.

1 異質(zhì)錦標(biāo)競(jìng)賽模型描述

1.1 假設(shè)與符號(hào)

1.2 博弈關(guān)系

相應(yīng)地，在競(jìng)賽中失利的概率為1-p(ei|ej)=ej/(ei+ej).可見,獲勝概率取決于雙方的努力，自己越努力越可能獲勝，對(duì)手越努力則自己失利可能性越大.而且，與描述隨機(jī)因素分布情況的參數(shù)λ無關(guān)，由此可假設(shè)λ=1，并不會(huì)影響研究結(jié)論的一般性.于是,參賽者i的期望收益為

(1)

參賽者i通過選擇努力程度來追求最大收益，其最大收益表示為

(2)

1.3 委托代理關(guān)系

(3)

于是，委托人在激勵(lì)相容約束和參與約束下追求最大收益的優(yōu)化模型表示為

i=H,L,j=H,L,i≠j.

2 異質(zhì)錦標(biāo)競(jìng)賽機(jī)制設(shè)計(jì)

2.1 最優(yōu)機(jī)制

根據(jù)文獻(xiàn)[21],設(shè)保留收益w0=0.展開以上優(yōu)化模型的約束條件，轉(zhuǎn)化為

代入?yún)⑴c約束得

根據(jù)cH

根據(jù)1階條件，最優(yōu)差值系數(shù)為

代入取等式的低能力者參與約束得最優(yōu)均值系數(shù)為

于是，最優(yōu)機(jī)制為

(4)

由此可得:

定理1在異質(zhì)錦標(biāo)競(jìng)賽中，最優(yōu)機(jī)制的均值系數(shù)和差值系數(shù)都應(yīng)該隨異質(zhì)度變化而調(diào)整.具體而言，異質(zhì)度和高能力者的邊際努力成本共同決定最優(yōu)機(jī)制，或者異質(zhì)度和低能力者的邊際努力成本共同決定最優(yōu)機(jī)制.其中前者由式(4)的第2個(gè)等式可得,后者由式(4)的第3個(gè)等式得出.

2.2 最優(yōu)努力

把式(4)代入式(2)得，高能力者和低能力者的最優(yōu)努力分別為

(5)

(6)

由此可得:

這在一定程度上與直觀認(rèn)識(shí)相矛盾.先天優(yōu)勢(shì)者的能力較強(qiáng)，具有競(jìng)爭(zhēng)先天優(yōu)勢(shì)，不需要很努力就能贏得競(jìng)賽.而先天劣勢(shì)者的能力較弱，具有競(jìng)爭(zhēng)先天劣勢(shì)，只有很努力才能贏得競(jìng)賽.因此,從直觀上看，應(yīng)該是先天劣勢(shì)者會(huì)更努力.但是，以上分析表明，事實(shí)上是先天優(yōu)勢(shì)者更努力.原因在于2者的努力邊際收益和邊際成本之比不同.無論是先天優(yōu)勢(shì)者還是先天劣勢(shì)者，增加努力的邊際收益體現(xiàn)為贏得競(jìng)賽的可能性變大，邊際成本體現(xiàn)為會(huì)承擔(dān)更多的努力成本.但是，先天優(yōu)勢(shì)者增加努力的邊際收益與邊際成本之比要大于先天劣勢(shì)者，即先天優(yōu)勢(shì)者投入努力的效率更高.因此，先天優(yōu)勢(shì)者的努力程度會(huì)高于先天劣勢(shì)者.

2.2.4 自卑心理:當(dāng)腸造口開放,患者容易感覺到該病不僅對(duì)自身的形象構(gòu)成嚴(yán)重影響,甚至還給家人帶來了較大的麻煩,嚴(yán)重時(shí)甚至還會(huì)導(dǎo)致家庭、社會(huì)關(guān)系破裂,如朋友遠(yuǎn)去、夫妻離婚等,從而導(dǎo)致其產(chǎn)生自卑、自閉心理。

2.3 最優(yōu)收益

一方面，對(duì)參賽者收益，把式(4)～(6)代入式(1)得，高能力者和低能力者的期望收益分別為

(7)

由此可得:

聯(lián)系定理2，這與直觀認(rèn)識(shí)一致.先天優(yōu)勢(shì)者本來不需要很努力就能贏得競(jìng)賽，又比先天劣勢(shì)者更努力，當(dāng)然會(huì)獲得高于保留水平的超額收益.先天劣勢(shì)者本來只有很努力才能贏得競(jìng)賽，而其努力程度卻比先天優(yōu)勢(shì)者低，當(dāng)然只能獲得保留收益.之所以還能獲得保留收益，是因?yàn)橹挥腥绱讼忍炝觿?shì)者才愿意參與錦標(biāo)競(jìng)賽.

另一方面，對(duì)委托人收益，把式(4)～(6)代入式(3)得，委托人的期望收益為

(8)

由此可得:

定理4在異質(zhì)錦標(biāo)競(jìng)賽中，委托人收益由異質(zhì)度和高能力者的邊際努力成本共同決定，或由異質(zhì)度和低能力者的邊際努力成本共同決定.其中前者由式(8)的第1個(gè)等式可得，后者由式(8)的第2個(gè)等式得出.

3 異質(zhì)性對(duì)錦標(biāo)競(jìng)賽的影響

3.1 對(duì)機(jī)制參數(shù)的影響

異質(zhì)性對(duì)機(jī)制參數(shù)的影響，包括均值系數(shù)和差值系數(shù)2個(gè)方面.

證一方面，固定cH，由式(4)可得

?Δw*/?t=-(1+t)3(t3+4t2+6t-1)4/(4cHt2·(t2+t-1)3),

另一方面，固定cL，由式(4)可得

由于異質(zhì)性，所以在錦標(biāo)競(jìng)賽中的各參賽者能力有強(qiáng)有弱.雖然強(qiáng)弱是相對(duì)的，但是弱者變?nèi)鹾蛷?qiáng)者變強(qiáng)對(duì)錦標(biāo)機(jī)制的影響并不相同.一方面，在弱者逐漸變?nèi)醯倪^程中，主導(dǎo)因素始終是弱者.隨著弱者變?nèi)?，錦標(biāo)機(jī)制的均值系數(shù)和差值系數(shù)都會(huì)隨異質(zhì)性的增大而減小.但是，隨著強(qiáng)者變強(qiáng)，錦標(biāo)機(jī)制的均值系數(shù)和差值系數(shù)并不是隨異質(zhì)性的增大而增大，而是先減小后增大.弱參賽者的平均能力降低，引起創(chuàng)造的期望產(chǎn)出減少，要求調(diào)低均值系數(shù).低能力者贏得競(jìng)賽的可能性下降要求調(diào)低差值系數(shù)，以減小競(jìng)賽勝負(fù)的收益差距，縮小能力高低不同的先天差異.另一方面，在強(qiáng)者逐漸變強(qiáng)的過程中，主導(dǎo)因素先是弱者后是強(qiáng)者.當(dāng)異質(zhì)性較小時(shí)，強(qiáng)者變強(qiáng)使弱者地位降低起主導(dǎo)，要求調(diào)低均值系數(shù)來維持對(duì)弱者的吸引力，調(diào)低差值系數(shù)來縮小先天能力差異.當(dāng)異質(zhì)性較大時(shí)，強(qiáng)者變強(qiáng)使強(qiáng)者地位提高起主導(dǎo)，通過調(diào)高均值系數(shù)來保持對(duì)強(qiáng)者參賽的吸引力和調(diào)高差異系數(shù)來維持對(duì)強(qiáng)者努力的激勵(lì).

3.2 對(duì)努力程度的影響

關(guān)于異質(zhì)性如何影響參賽者的努力程度，根據(jù)式(5)和式(6)，有如下結(jié)論.

證根據(jù)式(5),對(duì)高能力者有

計(jì)算得

根據(jù)式(6),對(duì)低能力者有

計(jì)算得

由定理6可見，異質(zhì)性對(duì)參賽者努力程度只有負(fù)向作用，降低了錦標(biāo)競(jìng)賽的競(jìng)爭(zhēng)性.這與R.G. Hammond等[16]和閆威等[17]等的實(shí)驗(yàn)一致,也與黃寶婷等[18]的發(fā)現(xiàn)相同.一方面，有先天優(yōu)勢(shì)的高能力者，由于競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手較弱，所以不需要太努力，對(duì)手越弱，越不需要努力.強(qiáng)者要從錦標(biāo)競(jìng)賽中獲勝不需要很努力，更努力雖然可以進(jìn)一步提高獲勝的概率但是也會(huì)導(dǎo)致更多的努力成本，權(quán)衡的結(jié)果是適當(dāng)降低努力程度.另一方面，處于先天劣勢(shì)的低能力者，由于競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手較強(qiáng)，所以即使很努力獲勝的希望也不大，結(jié)果也不會(huì)太努力，對(duì)手越強(qiáng)，就越不會(huì)努力.弱者要從錦標(biāo)競(jìng)賽中獲勝必須非常努力，但是由此又會(huì)承擔(dān)太多的努力成本.權(quán)衡的結(jié)果也是適當(dāng)降低努力程度，雖然如此獲勝的概率較小,但是承擔(dān)的努力成本也較少.于是，無論是先天優(yōu)勢(shì)還是先天劣勢(shì)，都會(huì)降低努力程度.而且，優(yōu)勢(shì)或劣勢(shì)越顯著，降低程度就越大，異質(zhì)性減弱錦標(biāo)競(jìng)賽競(jìng)爭(zhēng)性的程度也越強(qiáng).

3.3 對(duì)收益水平的影響

一方面，關(guān)于異質(zhì)性對(duì)參賽者收益水平的影響，根據(jù)式(7),有如下結(jié)論:

計(jì)算可得

另一方面，關(guān)于異質(zhì)性對(duì)委托人收益水平的影響，根據(jù)式(8)，有如下結(jié)論.

證根據(jù)式(8)，在cH固定時(shí)，

則

即越弱越低；在cL固定時(shí)有

則

由定理8可見，異質(zhì)性會(huì)如何改變委托人收益，這取決于引起異質(zhì)性的原因.雖然參賽者變?nèi)鹾妥儚?qiáng)都會(huì)擴(kuò)大異質(zhì)度，且刻畫參賽者能力差距的異質(zhì)度是相對(duì)的，但是源于不同原因的異質(zhì)度對(duì)委托人收益的影響是不同的.參賽者變?nèi)跫葧?huì)擴(kuò)大異質(zhì)度從而降低努力程度，又會(huì)直接降低生產(chǎn)效率，2者都會(huì)減少委托人收益.參賽者變強(qiáng)雖然會(huì)擴(kuò)大異質(zhì)度從而降低努力程度，但是會(huì)直接提高生產(chǎn)效率，前者會(huì)減少而后者會(huì)增加委托人收益.當(dāng)參賽者變強(qiáng)的幅度較小時(shí)，前者占主導(dǎo)，參賽者能力小幅變強(qiáng)反而會(huì)減少委托人收益.當(dāng)參賽者變強(qiáng)的幅度較大時(shí)，后者就占主導(dǎo)，促使參賽者能力顯著變強(qiáng)會(huì)增加委托人收益.同樣會(huì)導(dǎo)致異質(zhì)度擴(kuò)大的參賽者變?nèi)鹾妥儚?qiáng)對(duì)委托人的影響并不一樣，參賽者變強(qiáng)并不是一定有利于委托人.

4 結(jié)論

針對(duì)在錦標(biāo)競(jìng)賽中普遍存在的異質(zhì)性問題，分析參賽者之間的博弈關(guān)系、參賽者(代理人)與競(jìng)賽組織者(委托人)之間的委托代理關(guān)系，建立優(yōu)化模型，設(shè)計(jì)最優(yōu)機(jī)制，求解最優(yōu)努力和最優(yōu)收益，研究異質(zhì)性如何影響錦標(biāo)競(jìng)賽的機(jī)制參數(shù)、努力水平和收益高低.研究發(fā)現(xiàn):

首先，異質(zhì)性會(huì)改變錦標(biāo)機(jī)制.雖然參賽者變?nèi)鹾妥儚?qiáng)都會(huì)擴(kuò)大異質(zhì)性，但是2者對(duì)錦標(biāo)機(jī)制的影響并不相同.隨著參賽者變?nèi)酰愘|(zhì)性會(huì)同時(shí)減小錦標(biāo)機(jī)制的均值系數(shù)和差值系數(shù).而隨著參賽者變強(qiáng)，異質(zhì)性會(huì)先減小再增大錦標(biāo)機(jī)制的均值系數(shù)和差值系數(shù).

其次，異質(zhì)性會(huì)減弱錦標(biāo)競(jìng)賽的競(jìng)爭(zhēng)性.雖然高能力者具有先天優(yōu)勢(shì)，但是其努力程度會(huì)高于先天劣勢(shì)者.異質(zhì)性會(huì)同時(shí)降低所有人的努力程度，無論是競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手變得更弱還是變得更強(qiáng)，都會(huì)越不努力.

再次，異質(zhì)性會(huì)改變參賽者的收益.由于有先天優(yōu)勢(shì)又更努力，所以高能力者可以獲得超額收益，而低能力者只能獲得保留收益.而且，異質(zhì)性會(huì)擴(kuò)大先天優(yōu)勢(shì)者的超額收益，但是過大的異質(zhì)性反而會(huì)減少先天優(yōu)勢(shì)者的超額收益.

最后，異質(zhì)性一定會(huì)改變委托人收益.參賽者變?nèi)鯐?huì)降低委托人收益，但是參賽者變強(qiáng)并不一定會(huì)提高委托人收益，只有變得足夠強(qiáng)才會(huì)提高.

這些研究結(jié)論具有普適性，適用于在不同領(lǐng)域中的不同問題，可以為在不同領(lǐng)域中的具體問題應(yīng)用研究提供理論基礎(chǔ).