基于雙指數(shù)跳躍-擴(kuò)散過程的歐式一籃子期權(quán)定價(jià)

楊 芮,張艷慧*,溫 偉

(1.北京工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,北京 100048;2.北京工商大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院,北京 100048)

0 引言

一籃子期權(quán)是一種多資產(chǎn)期權(quán)，是在金融衍生品市場(chǎng)上交易最為活躍的新型期權(quán)之一，其標(biāo)的資產(chǎn)是一組或一籃子商品、證券或貨幣，這些資產(chǎn)可任意組合，根據(jù)投資者的需求做出適當(dāng)?shù)慕M合來對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)，因此一籃子期權(quán)越來越受到投資者的青睞.

1900年L. Bachelier[1]將隨機(jī)游走引入金融市場(chǎng)，提出了關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的隨機(jī)模型,這標(biāo)志著期權(quán)定價(jià)理論的問世.1973年F. Black等[2]假設(shè)股票價(jià)格是連續(xù)的擴(kuò)散過程并且服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，提出了著名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型.實(shí)證分析[3]表明:在Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式中資產(chǎn)價(jià)格的假設(shè)和實(shí)際的金融市場(chǎng)存在不符，重要信息的出現(xiàn)往往會(huì)導(dǎo)致資產(chǎn)價(jià)格發(fā)生跳躍.R.C. Merton[4]在擴(kuò)散過程中加入跳躍，假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格是由幾何布朗運(yùn)動(dòng)和泊松過程共同驅(qū)動(dòng)的，并且跳躍幅度服從正態(tài)分布，但很難得到解析解.文獻(xiàn)[5]提出了雙指數(shù)跳躍-擴(kuò)散模型，跳躍以泊松過程到達(dá)，跳躍幅度用雙指數(shù)分布刻畫，即資產(chǎn)價(jià)格由一個(gè)連續(xù)變動(dòng)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)和一個(gè)不連續(xù)的、跳躍幅度服從雙指數(shù)分布的泊松跳過程組成.雙指數(shù)跳躍-擴(kuò)散模型解釋了非對(duì)稱峰度特征和“波動(dòng)率微笑”現(xiàn)象，又因?yàn)橹笖?shù)分布的無記憶性，所以利率衍生品、路徑依賴型期權(quán)等存在解析解.

目前，研究一籃子期權(quán)定價(jià)的常用方法有求解偏微分方程法[6-7]、Monte Carlo模擬法[8-9]和特征函數(shù)法[10].J.M. Harrison等[11-12]提出了一種求解金融衍生品的定價(jià)方法——鞅定價(jià)方法，他們證明在一定條件下，市場(chǎng)無套利等價(jià)于存在等價(jià)概率鞅測(cè)度，使得市場(chǎng)中任意資產(chǎn)過程在此測(cè)度下為鞅.文獻(xiàn)[13-15]對(duì)用鞅求解期權(quán)價(jià)格作了進(jìn)一步研究.文獻(xiàn)[16-18]研究了利用鞅求解在跳躍-擴(kuò)散模型下的單資產(chǎn)期權(quán)定價(jià)問題.

本文擬建立具有相關(guān)性的多維雙指數(shù)跳躍-擴(kuò)散模型，并利用鞅定價(jià)方法得到關(guān)于雙指數(shù)跳躍-擴(kuò)散模型的一籃子歐式期權(quán)定價(jià)公式，可用于實(shí)證處理一籃子期權(quán)的定價(jià)問題.

1 多維雙指數(shù)跳躍-擴(kuò)散過程

設(shè)Si(t)是第i個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格(i=1,2,…,n),它滿足隨機(jī)微分方程

其中μi為資產(chǎn)Si(t)的預(yù)期收益率,σi是波動(dòng)率,ρki為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)Si(t)和Sk(t)的相關(guān)系數(shù),滿足

W1(t),W2(t),…,Wn(t)是互相獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),Vi,j(j=1,2,…,N(t))是獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量.

設(shè)Yi=lnVi是跳躍幅度,雙指數(shù)跳躍-擴(kuò)散模型的跳躍幅度分布函數(shù)為

fYi(y)=piηi,1e-ηi,1yI{y≥0}+qiηi,2e-ηi,2yI{y<0},ηi,1>1,ηi,2>0,

其中pi(>0)表示資產(chǎn)價(jià)格Si(t)向上跳躍的概率,qi(>0)表示資產(chǎn)價(jià)格向下跳躍的概率,pi+qi=1.ηi,1>1是為了保證E(Vi)<∞和E(Si(t))<∞,本質(zhì)上是要求平均向上跳的尺度不能超過100%,即

由于市場(chǎng)無套利，風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度存在，市場(chǎng)不完全，風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度不唯一，因此可選一個(gè)特殊的風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度P,使得市場(chǎng)內(nèi)所有資產(chǎn)的折現(xiàn)期望在新的測(cè)度P下為鞅[20].在該風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度P[5]下有

(1)

pi≥0,qi≥0,pi+qi=1,λi>0,ηi,1>1,ηi,2>0,ζi=E(eYi-1)=piηi,1/(ηi,1-1)+qiηi,2/(ηi,2+1)-1.

引理1當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格滿足隨機(jī)微分方程(1) ，則資產(chǎn)價(jià)格的方程為

(2)

證證明方程(2)滿足隨機(jī)微分方程(1).資產(chǎn)價(jià)格Si(t)的連續(xù)隨機(jī)過程為

(3)

在第j次跳時(shí),Ji(t)=Ji(t-)Vi, j,則

Ji(t)-Ji(t-)=Ji(t-)(Vi, j-1).

方程Ji(t)-Ji(t-)=Ji(t-)(Vi, j-1)在非跳躍時(shí)刻也成立,故

(4)

由關(guān)于跳過程的Ito公式可知

(5)

Ji(t)是純跳過程，而Xi(t)連續(xù)，故(Xi,Ji)(t)=0,將式(3)和式(4)代入式(5)得

其微分形式為

引理1得證.

2 歐式一籃子期權(quán)定價(jià)公式

基于第1節(jié)建立的雙指數(shù)跳躍-擴(kuò)散模型,本文得到如下主要結(jié)果.

定理1若資產(chǎn)價(jià)格Si(t)(i=1,2,…,n)服從雙指數(shù)跳躍-擴(kuò)散模型(1)，則歐式一籃子看漲期權(quán)價(jià)格C(t,S1(t),S2(t),…,Sn(t))為

其中Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù),λ為n個(gè)資產(chǎn)的跳躍強(qiáng)度,

證在概率測(cè)度P下，貼現(xiàn)看漲期權(quán)價(jià)格是鞅，即一籃子看漲期權(quán)價(jià)格C(t,S1(t),S2(t),…,Sn(t))滿足

C(t,S1(t),S2(t),…,Sn(t))=E(e-r(T-t)·

記

整理得

則X服從正態(tài)分布,且

(6)

由全概率公式知,

(7)

定理1得證.

定理2若資產(chǎn)價(jià)格Si(t)(i=1,2,…,n)服從雙指數(shù)跳躍-擴(kuò)散模型(1),則歐式一籃子看跌期權(quán)價(jià)格P(t,S1(t),S2(t),…,Sn(t))為

其中Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù),λ為n個(gè)資產(chǎn)的跳躍強(qiáng)度,d1和d2如定理1定義.

證在概率測(cè)度P下，貼現(xiàn)看跌期權(quán)價(jià)格是鞅，即一籃子看跌期權(quán)價(jià)格P(t,S1(t),S2(t),…,Sn(t))滿足

所以

(8)

由全概率公式知,

(9)

將式(9)代入式(8)，整理得

定理2得證.

注1當(dāng)n=1時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格服從1維雙指數(shù)跳躍-擴(kuò)散模型，定理1和定理2為基于雙指數(shù)跳躍-擴(kuò)散模型的單資產(chǎn)歐式期權(quán)價(jià)格公式，即風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格S(t)滿足隨機(jī)微分方程

歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)在到期日時(shí)的收益分別為(S(t)-K)+和(K-S(t))+,則歐式看漲期權(quán)價(jià)格為

歐式看跌期權(quán)價(jià)格為

其中Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù),

注2當(dāng)N(t)=0時(shí) ，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格服從多維Black-Scholes模型，定理1和定理2為基于Black-Scholes模型的一籃子歐式期權(quán)價(jià)格公式，即風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格Si(t)滿足隨機(jī)微分方程

基于Black-Scholes模型的一籃子歐式看漲期權(quán)價(jià)格為

基于Black-Scholes模型的一籃子歐式看跌期權(quán)價(jià)格為

其中Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù) ，

3 結(jié)論

Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式是基于連續(xù)變化的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的，而跳躍-擴(kuò)散模型是基于不連續(xù)市場(chǎng)的期權(quán)定價(jià)模型的,它更適應(yīng)價(jià)格突變對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的影響，因此在資產(chǎn)實(shí)價(jià)問題中研究了跳風(fēng)險(xiǎn)因素.雙指數(shù)跳躍-擴(kuò)散模型在解決路徑依賴型期權(quán)方面更易于處理，容易得到解析解，定價(jià)結(jié)果接近實(shí)際.

由于一籃子期權(quán)的資產(chǎn)之間是存在相關(guān)性的，本文不是將雙指數(shù)跳躍-擴(kuò)散模型平行推廣到多維，而是利用多維雙指數(shù)跳躍-擴(kuò)散過程得到了具有相關(guān)性的標(biāo)的資產(chǎn)滿足雙指數(shù)跳躍-擴(kuò)散過程的價(jià)格公式.本文研究在資產(chǎn)價(jià)格服從雙指數(shù)跳躍過程下一籃子歐式期權(quán)的定價(jià)問題，它是通過測(cè)度變換最后利用鞅定價(jià)方法得到的.在期權(quán)定價(jià)中，鞅測(cè)度的引入對(duì)于掌握定價(jià)方法、優(yōu)化組合、降低風(fēng)險(xiǎn)都是非常重要的，可將期權(quán)定價(jià)的明確評(píng)估簡(jiǎn)單化.