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    稱彩球:小學(xué)生早期代數(shù)思維發(fā)展的一個案例研究*

    2022-05-27 02:35:10
    教學(xué)月刊(小學(xué)版) 2022年14期
    關(guān)鍵詞:彩球后測天平

    □ 田 野

    現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)各套教材都不約而同地把“未知數(shù)與方程”這個代數(shù)內(nèi)容放在高年級進行教學(xué),這是因為代數(shù)內(nèi)容的學(xué)習對小學(xué)生來說有一定的難度,且已成為學(xué)生進一步學(xué)習數(shù)學(xué)的一個障礙。如何應(yīng)對挑戰(zhàn)?其中一個方法是進行早期代數(shù)思維的教學(xué)。大量研究顯示,如果在正式學(xué)習代數(shù)之前,進行代數(shù)思維的滲透和相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習,就會大大減輕小學(xué)生學(xué)習代數(shù)的難度,從而更順暢地用代數(shù)的思維方式來解決問題。

    在小學(xué)低年級進行早期代數(shù)思維的萌發(fā)[1],既可以結(jié)合現(xiàn)行教材的相關(guān)內(nèi)容,如“找規(guī)律”教學(xué)中函數(shù)關(guān)系的滲透、“數(shù)的運算”教學(xué)中運算互逆關(guān)系的學(xué)習、“圖形代數(shù)”教學(xué)中數(shù)量關(guān)系的推理等,也可以設(shè)置專門的數(shù)學(xué)拓展課。與前者相比,后者目標更聚焦,有利于學(xué)生深度學(xué)習和深刻體驗?!胺Q彩球”就是為小學(xué)生代數(shù)思維發(fā)展而設(shè)計的系列拓展課中的內(nèi)容。

    【前測準備】

    為了解學(xué)生的學(xué)習基礎(chǔ),我們準備了5道前測題,每題2 分,共10 分,這5 題都來自浙教版教材(是未學(xué)內(nèi)容的后續(xù)習題)。杭州市勝利山南小學(xué)二年級學(xué)生70 人進行測試,前測題和測試結(jié)果如表1。

    表1 學(xué)生前測情況匯總表

    根據(jù)結(jié)果,我們不難看出,解決第1 題、第2 題這類可以直接看出數(shù)量關(guān)系的簡單題型,學(xué)生可以用算術(shù)思維直接解決問題,題目的得分率就比較高。而解決第3題至第5題這類需要發(fā)現(xiàn)隱含關(guān)系并運用關(guān)系推理的題型,學(xué)生需要具有一定的代數(shù)思維能力,因此這些題的得分率都不高。特別是第3 題,得分率最低,不到本題分值的35%。由此得出,關(guān)系推理對于學(xué)生來說確實有一定的難度。因此我們把這節(jié)課的目標聚焦到關(guān)系推理的學(xué)習上。

    【教學(xué)目標】

    (1)通過觀察與操作彩球活動,讓學(xué)生感知數(shù)量的協(xié)變和對應(yīng)關(guān)系。

    (2)在思考與操作中,讓學(xué)生體驗關(guān)系推理,并用推理的方法來解決問題。

    【學(xué)習材料】

    天平(平衡秤)、彩球、學(xué)習單。

    【教學(xué)過程】

    (一)任務(wù)1:選彩球比輕重

    教師呈現(xiàn)5 個大小相同的彩球,提問:哪個最重?哪個最輕?兩兩比較,比幾次能比出輕重關(guān)系?

    學(xué)生掂一掂,稱一稱,畫一畫,記錄稱重結(jié)果。教師引導(dǎo)學(xué)生觀察與思考:怎樣比較輕重?

    經(jīng)過交流與反饋,學(xué)生發(fā)現(xiàn)了多種方法。

    (1)把記錄結(jié)果按球的顏色重新排列就容易比出輕重了。黃球在天平下沉的一頭有3次,說明它比另外3 個球都要重,所以是最重的(如圖1)。同樣,綠球比其余2個都重,紅球比紫球重,說明紫球最輕(如圖2)。從圖1、圖2中還可以看出紫球在天平翹起的那頭有3次,說明它比其他3個球都要輕。

    圖1

    圖2

    通過比較學(xué)生還發(fā)現(xiàn):①顏色相同的球同樣重;②4種顏色的球比輕重,兩兩相比,要比6次。

    (2)從其中一個結(jié)果開始,連續(xù)比較。如從黃球開始,發(fā)現(xiàn)它比綠球重;再找綠球,發(fā)現(xiàn)它比紅球重;再找紅球,發(fā)現(xiàn)它比紫球重。所以黃球最重,其次是綠球、紅球,最輕是紫球。

    (設(shè)計意圖:比較球的輕重,實際上是在進行數(shù)量關(guān)系的推理,是比較簡單的直接推理,為后續(xù)的基于等量的代數(shù)推理活動“熱身”。)

    (二)任務(wù)2:利用天平移彩球

    (1)教師出示天平,然后往天平的左右托盤里一個一個地加上彩球,天平時而左邊下沉,時而右邊下沉,直到呈現(xiàn)如圖3所示的狀態(tài),天平平衡了。

    圖3

    (2)教師引導(dǎo)學(xué)生觀察與思考:你發(fā)現(xiàn)了什么?學(xué)生匯報,教師不作評價,目的是交流,由學(xué)生獨立思考判斷是對還是錯。

    (3)呈現(xiàn)任務(wù):用這11個球,還可以怎樣放,天平仍舊保持平衡?小組合作,畫出彩球平衡圖。(只能觀察,不能動手嘗試)

    (4)交流與反饋。

    第一類是把左右兩邊的球交換位置,即把原來是右邊的球放到左邊,把原來是左邊的球放到右邊。第二類是根據(jù)彩球的重量關(guān)系來放置。

    受任務(wù)1的啟發(fā),學(xué)生重新排列了圖中的彩球(如圖4),發(fā)現(xiàn)將彩球一一對應(yīng)后,左邊還剩1 個紅球,右邊還剩2 個紫球。因為左右兩邊同樣重,所以將同樣的彩球?qū)?yīng)抵消之后,剩下的1個紅球與2 個紫球同樣重。根據(jù)這樣的關(guān)系,可以把右邊的1個紅球替換成左邊的2個紫球(如圖5)。

    圖4

    圖5

    (5)操作驗證。讓學(xué)生動手在天平中驗證二類推理情況的可行性。

    (設(shè)計意圖:在問題解決中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)關(guān)系。需要說明的是,教師不要引導(dǎo)學(xué)生先發(fā)現(xiàn)關(guān)系再進行代換推理,而是要讓學(xué)生面對一個真實任務(wù),體驗問題解決的真實過程,即在解決問題時先讓學(xué)生感到彩球這么多無從下手,然后通過觀察,發(fā)現(xiàn)隱藏在其中的對應(yīng)關(guān)系,進而用關(guān)系推理來解決問題。在這個過程中學(xué)生自然地感受到解決問題時發(fā)現(xiàn)關(guān)系的必要性,獲得推理后的成功感。)

    (三)任務(wù)3:保持平衡放彩球

    教師出示任務(wù):如果在天平的一邊已經(jīng)放好了這些球(如圖6),要使天平平衡,右邊可以放哪些球?

    圖6

    (1)獨立思考,在學(xué)習單上畫一畫。

    (2)在小組中交流想法,說一說為什么這樣放。

    (3)操作驗證。

    (設(shè)計意圖:應(yīng)用等量代換進行關(guān)系推理,是本課的一個重要目標,也是學(xué)生需要重點體驗的內(nèi)容。學(xué)生通過思考與動手操作,主動應(yīng)用彩球之間存在的重量比例關(guān)系,“創(chuàng)造”出多種結(jié)果,深刻地體會了等量代換與關(guān)系推理的過程。)

    (四)活動小結(jié)(略)

    【后測結(jié)果與討論】

    一節(jié)60 分鐘的數(shù)學(xué)拓展課很快就過去了(如果是40 分鐘,解決任務(wù)1 和任務(wù)2 或任務(wù)2 和任務(wù)3 即可)。學(xué)生看上去在玩玩說說做做,很輕松,很愉快,那么,他們除了開心之外,思維有沒有提升呢?我們進行了后測。

    為避免教學(xué)后存在的記憶與暗示的影響,根據(jù)遺忘曲線我們延遲后測。我們在周四進行前測與上課,后測放在雙休日之后的周一,實驗班與對照班(期間按正常進行教材學(xué)習)同時進行后測,結(jié)果如下(見表2)。

    表2 學(xué)生前、后測情況匯總表

    (一)總體水平有明顯上升

    從后測結(jié)果來看,各題的正確率都有提升,總分在教學(xué)前后的差異顯著性系數(shù)0.007<0.01,差異極其顯著,說明教學(xué)對學(xué)生有明顯的促進作用。進一步對比數(shù)據(jù),我們發(fā)現(xiàn)在前測中得分最高的第1題和第2 題,顯著性系數(shù)分別為0.118 和0.844,都大于0.05,說明它們在教學(xué)前后差異不顯著。這兩題都是反映了單一對象的直接對應(yīng)關(guān)系,沒有涉及等量之間的代換??磥恚虒W(xué)對于學(xué)生解決簡單對應(yīng)問題沒有明顯促進作用。之所以最后的總分在教學(xué)前后差異明顯,主要原因是在后三題。

    (二)代數(shù)思維提升有成效

    后三題的增量都比較明顯。其中,第4題、第5題在前測中得分率都落后于第2題,后測中則明顯反超。特別是第5 題的正確率從74.5%上升到94.3%,教學(xué)前后測增量明顯。這一題沒有具體數(shù)量,學(xué)生只能通過尋找關(guān)系,即將圖形對應(yīng)后發(fā)現(xiàn)1個圓柱體與3個立方體同樣重來解決。同樣,第3題、第4 題都需要學(xué)生先發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系,然后利用關(guān)系進行推理以解決問題。這三題前后測的差異顯著性系數(shù)都小于0.01,差異極其顯著,說明學(xué)生的代數(shù)思維生長對解決問題有著明顯的提升作用。

    第3 題的正確率是教學(xué)前后差異最顯著的。解決這個問題既要有較強的關(guān)系發(fā)現(xiàn)能力,也要有較強的關(guān)系推理能力。圖7中通過上面兩個圖式,發(fā)現(xiàn)1個蘋果與2個梨同樣重,然后利用這個關(guān)系,推理出1個菠蘿與3個蘋果同樣重,或者1 個菠蘿與6 個梨同樣重。最后把菠蘿、梨和蘋果建立聯(lián)系,進一步進行關(guān)系推理。顯然,在本課教學(xué)中,任務(wù)2 和任務(wù)3 正是讓學(xué)生有了這兩方面的體驗,有助于學(xué)生觸類旁通。

    圖7

    (三)部分學(xué)生代數(shù)思維開始內(nèi)化

    雖然后三題都和代數(shù)有關(guān),但是我們也知道,在解決代數(shù)類問題時,不一定會用到代數(shù)思維,比如用“枚舉法”(用學(xué)生的說法就是“湊數(shù)”)解答,這實際上還是算術(shù)思維。在前測中,如用圖8所示算法的這位同學(xué)把數(shù)據(jù)寫在符號的上方,然后嘗試計算驗證。在前測卷中,不少學(xué)生的卷面有數(shù)據(jù)改動的痕跡,可見他們是用“枚舉法”來解答的。顯而易見,這種方法需要學(xué)生有較強的數(shù)感,數(shù)感不強的學(xué)生則要多次嘗試才能“湊”對,因此也導(dǎo)致正確率不高。

    圖8

    在后測中,我們驚喜地發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)對于“等量代換”有了新的領(lǐng)悟,能從“常量的代換”拓展到“變量的代換”。如用圖9所示算法的這位學(xué)生把看成是50+☆的結(jié)果,整體代入+☆,即50+☆×2=130,然后再用逆運算解決問題。用相同的“變量代換”來解決問題的學(xué)生有10人,占總?cè)藬?shù)的14.3%。

    圖9

    圖10

    查看這13 人的前測卷,發(fā)現(xiàn)當時學(xué)生主要還是用枚舉法來計算的,不過這些學(xué)生的數(shù)感都很強,都是一步到位用40來表示☆,然后得到正確結(jié)果。我們進一步對這13 位學(xué)生進行了訪談,雖然學(xué)生無法講清是怎么想到這樣做的,但每位學(xué)生在解釋自己算法時都講到了“把××代進去”“把××換成××”等語言,看得出學(xué)生對于“代”和“換”的印象非常深刻,已經(jīng)達到了內(nèi)化的程度。數(shù)感強的學(xué)生是不是代數(shù)思維也很強,這可能是一個研究的視角。

    從前、后測的結(jié)果來看,教學(xué)成效還是比較明顯的。當然,我們深知并不是因為上了“稱彩球”這一課學(xué)生的代數(shù)思維才開始提升的,事實上,我們的教材設(shè)計、平時的課堂教學(xué)一直在進行代數(shù)思維的滲透,只是現(xiàn)在我們提供了一個機會,讓平時零散的思維珍珠有了穿線的機會,讓思維的項鏈得以閃亮。這才是我們設(shè)計專項系列課的目的,也希望本文能引發(fā)更多的教師、專家學(xué)者來研究該課題。

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