稱彩球：小學(xué)生早期代數(shù)思維發(fā)展的一個案例研究*

□ 田 野

現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)各套教材都不約而同地把“未知數(shù)與方程”這個代數(shù)內(nèi)容放在高年級進行教學(xué)，這是因為代數(shù)內(nèi)容的學(xué)習對小學(xué)生來說有一定的難度，且已成為學(xué)生進一步學(xué)習數(shù)學(xué)的一個障礙。如何應(yīng)對挑戰(zhàn)？其中一個方法是進行早期代數(shù)思維的教學(xué)。大量研究顯示，如果在正式學(xué)習代數(shù)之前，進行代數(shù)思維的滲透和相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習，就會大大減輕小學(xué)生學(xué)習代數(shù)的難度，從而更順暢地用代數(shù)的思維方式來解決問題。

在小學(xué)低年級進行早期代數(shù)思維的萌發(fā)[1]，既可以結(jié)合現(xiàn)行教材的相關(guān)內(nèi)容，如“找規(guī)律”教學(xué)中函數(shù)關(guān)系的滲透、“數(shù)的運算”教學(xué)中運算互逆關(guān)系的學(xué)習、“圖形代數(shù)”教學(xué)中數(shù)量關(guān)系的推理等，也可以設(shè)置專門的數(shù)學(xué)拓展課。與前者相比，后者目標更聚焦，有利于學(xué)生深度學(xué)習和深刻體驗?！胺Q彩球”就是為小學(xué)生代數(shù)思維發(fā)展而設(shè)計的系列拓展課中的內(nèi)容。

【前測準備】

為了解學(xué)生的學(xué)習基礎(chǔ)，我們準備了5道前測題，每題2 分，共10 分，這5 題都來自浙教版教材（是未學(xué)內(nèi)容的后續(xù)習題）。杭州市勝利山南小學(xué)二年級學(xué)生70 人進行測試，前測題和測試結(jié)果如表1。

表1 學(xué)生前測情況匯總表

根據(jù)結(jié)果，我們不難看出，解決第1 題、第2 題這類可以直接看出數(shù)量關(guān)系的簡單題型，學(xué)生可以用算術(shù)思維直接解決問題，題目的得分率就比較高。而解決第3題至第5題這類需要發(fā)現(xiàn)隱含關(guān)系并運用關(guān)系推理的題型，學(xué)生需要具有一定的代數(shù)思維能力，因此這些題的得分率都不高。特別是第3 題，得分率最低，不到本題分值的35%。由此得出，關(guān)系推理對于學(xué)生來說確實有一定的難度。因此我們把這節(jié)課的目標聚焦到關(guān)系推理的學(xué)習上。

【教學(xué)目標】

（1）通過觀察與操作彩球活動，讓學(xué)生感知數(shù)量的協(xié)變和對應(yīng)關(guān)系。

（2）在思考與操作中，讓學(xué)生體驗關(guān)系推理，并用推理的方法來解決問題。

【學(xué)習材料】

天平（平衡秤）、彩球、學(xué)習單。

【教學(xué)過程】

（一）任務(wù)1：選彩球比輕重

教師呈現(xiàn)5 個大小相同的彩球，提問：哪個最重？哪個最輕？兩兩比較，比幾次能比出輕重關(guān)系？

學(xué)生掂一掂，稱一稱，畫一畫，記錄稱重結(jié)果。教師引導(dǎo)學(xué)生觀察與思考：怎樣比較輕重？

經(jīng)過交流與反饋，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了多種方法。

（1）把記錄結(jié)果按球的顏色重新排列就容易比出輕重了。黃球在天平下沉的一頭有3次，說明它比另外3 個球都要重，所以是最重的（如圖1）。同樣，綠球比其余2個都重，紅球比紫球重，說明紫球最輕（如圖2）。從圖1、圖2中還可以看出紫球在天平翹起的那頭有3次，說明它比其他3個球都要輕。

圖1

圖2

通過比較學(xué)生還發(fā)現(xiàn)：①顏色相同的球同樣重；②4種顏色的球比輕重，兩兩相比，要比6次。

（2）從其中一個結(jié)果開始，連續(xù)比較。如從黃球開始，發(fā)現(xiàn)它比綠球重；再找綠球，發(fā)現(xiàn)它比紅球重；再找紅球，發(fā)現(xiàn)它比紫球重。所以黃球最重，其次是綠球、紅球，最輕是紫球。

（設(shè)計意圖：比較球的輕重，實際上是在進行數(shù)量關(guān)系的推理，是比較簡單的直接推理，為后續(xù)的基于等量的代數(shù)推理活動“熱身”。）

（二）任務(wù)2：利用天平移彩球

（1）教師出示天平，然后往天平的左右托盤里一個一個地加上彩球，天平時而左邊下沉，時而右邊下沉，直到呈現(xiàn)如圖3所示的狀態(tài)，天平平衡了。

圖3

（2）教師引導(dǎo)學(xué)生觀察與思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生匯報，教師不作評價，目的是交流，由學(xué)生獨立思考判斷是對還是錯。

（3）呈現(xiàn)任務(wù)：用這11個球，還可以怎樣放，天平仍舊保持平衡？小組合作，畫出彩球平衡圖。（只能觀察，不能動手嘗試）

（4）交流與反饋。

第一類是把左右兩邊的球交換位置，即把原來是右邊的球放到左邊，把原來是左邊的球放到右邊。第二類是根據(jù)彩球的重量關(guān)系來放置。

受任務(wù)1的啟發(fā)，學(xué)生重新排列了圖中的彩球（如圖4），發(fā)現(xiàn)將彩球一一對應(yīng)后，左邊還剩1 個紅球，右邊還剩2 個紫球。因為左右兩邊同樣重，所以將同樣的彩球?qū)?yīng)抵消之后，剩下的1個紅球與2 個紫球同樣重。根據(jù)這樣的關(guān)系，可以把右邊的1個紅球替換成左邊的2個紫球（如圖5）。

圖4

圖5

（5）操作驗證。讓學(xué)生動手在天平中驗證二類推理情況的可行性。

（設(shè)計意圖：在問題解決中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)關(guān)系。需要說明的是，教師不要引導(dǎo)學(xué)生先發(fā)現(xiàn)關(guān)系再進行代換推理，而是要讓學(xué)生面對一個真實任務(wù)，體驗問題解決的真實過程，即在解決問題時先讓學(xué)生感到彩球這么多無從下手，然后通過觀察，發(fā)現(xiàn)隱藏在其中的對應(yīng)關(guān)系，進而用關(guān)系推理來解決問題。在這個過程中學(xué)生自然地感受到解決問題時發(fā)現(xiàn)關(guān)系的必要性，獲得推理后的成功感。）

（三）任務(wù)3：保持平衡放彩球

教師出示任務(wù)：如果在天平的一邊已經(jīng)放好了這些球（如圖6），要使天平平衡，右邊可以放哪些球？

圖6

（1）獨立思考，在學(xué)習單上畫一畫。

（2）在小組中交流想法，說一說為什么這樣放。

（3）操作驗證。

（設(shè)計意圖：應(yīng)用等量代換進行關(guān)系推理，是本課的一個重要目標，也是學(xué)生需要重點體驗的內(nèi)容。學(xué)生通過思考與動手操作，主動應(yīng)用彩球之間存在的重量比例關(guān)系，“創(chuàng)造”出多種結(jié)果，深刻地體會了等量代換與關(guān)系推理的過程。）

（四）活動小結(jié)（略）

【后測結(jié)果與討論】

一節(jié)60 分鐘的數(shù)學(xué)拓展課很快就過去了（如果是40 分鐘，解決任務(wù)1 和任務(wù)2 或任務(wù)2 和任務(wù)3 即可）。學(xué)生看上去在玩玩說說做做，很輕松，很愉快，那么，他們除了開心之外，思維有沒有提升呢？我們進行了后測。

為避免教學(xué)后存在的記憶與暗示的影響，根據(jù)遺忘曲線我們延遲后測。我們在周四進行前測與上課，后測放在雙休日之后的周一，實驗班與對照班（期間按正常進行教材學(xué)習）同時進行后測，結(jié)果如下（見表2）。

表2 學(xué)生前、后測情況匯總表

（一）總體水平有明顯上升

從后測結(jié)果來看，各題的正確率都有提升，總分在教學(xué)前后的差異顯著性系數(shù)0.007<0.01,差異極其顯著，說明教學(xué)對學(xué)生有明顯的促進作用。進一步對比數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)在前測中得分最高的第1題和第2 題，顯著性系數(shù)分別為0.118 和0.844，都大于0.05，說明它們在教學(xué)前后差異不顯著。這兩題都是反映了單一對象的直接對應(yīng)關(guān)系，沒有涉及等量之間的代換?？磥恚虒W(xué)對于學(xué)生解決簡單對應(yīng)問題沒有明顯促進作用。之所以最后的總分在教學(xué)前后差異明顯，主要原因是在后三題。

（二）代數(shù)思維提升有成效

后三題的增量都比較明顯。其中，第4題、第5題在前測中得分率都落后于第2題，后測中則明顯反超。特別是第5 題的正確率從74.5%上升到94.3%，教學(xué)前后測增量明顯。這一題沒有具體數(shù)量，學(xué)生只能通過尋找關(guān)系，即將圖形對應(yīng)后發(fā)現(xiàn)1個圓柱體與3個立方體同樣重來解決。同樣，第3題、第4 題都需要學(xué)生先發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系，然后利用關(guān)系進行推理以解決問題。這三題前后測的差異顯著性系數(shù)都小于0.01，差異極其顯著，說明學(xué)生的代數(shù)思維生長對解決問題有著明顯的提升作用。

第3 題的正確率是教學(xué)前后差異最顯著的。解決這個問題既要有較強的關(guān)系發(fā)現(xiàn)能力，也要有較強的關(guān)系推理能力。圖7中通過上面兩個圖式，發(fā)現(xiàn)1個蘋果與2個梨同樣重，然后利用這個關(guān)系，推理出1個菠蘿與3個蘋果同樣重，或者1 個菠蘿與6 個梨同樣重。最后把菠蘿、梨和蘋果建立聯(lián)系，進一步進行關(guān)系推理。顯然，在本課教學(xué)中，任務(wù)2 和任務(wù)3 正是讓學(xué)生有了這兩方面的體驗，有助于學(xué)生觸類旁通。

圖7

（三）部分學(xué)生代數(shù)思維開始內(nèi)化

雖然后三題都和代數(shù)有關(guān)，但是我們也知道，在解決代數(shù)類問題時，不一定會用到代數(shù)思維，比如用“枚舉法”（用學(xué)生的說法就是“湊數(shù)”）解答，這實際上還是算術(shù)思維。在前測中，如用圖8所示算法的這位同學(xué)把數(shù)據(jù)寫在符號的上方，然后嘗試計算驗證。在前測卷中，不少學(xué)生的卷面有數(shù)據(jù)改動的痕跡，可見他們是用“枚舉法”來解答的。顯而易見，這種方法需要學(xué)生有較強的數(shù)感，數(shù)感不強的學(xué)生則要多次嘗試才能“湊”對，因此也導(dǎo)致正確率不高。

圖8

在后測中，我們驚喜地發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)對于“等量代換”有了新的領(lǐng)悟，能從“常量的代換”拓展到“變量的代換”。如用圖9所示算法的這位學(xué)生把看成是50+☆的結(jié)果，整體代入+☆，即50+☆×2=130，然后再用逆運算解決問題。用相同的“變量代換”來解決問題的學(xué)生有10人，占總?cè)藬?shù)的14.3%。

圖9

圖10

查看這13 人的前測卷，發(fā)現(xiàn)當時學(xué)生主要還是用枚舉法來計算的，不過這些學(xué)生的數(shù)感都很強，都是一步到位用40來表示☆，然后得到正確結(jié)果。我們進一步對這13 位學(xué)生進行了訪談，雖然學(xué)生無法講清是怎么想到這樣做的，但每位學(xué)生在解釋自己算法時都講到了“把××代進去”“把××換成××”等語言，看得出學(xué)生對于“代”和“換”的印象非常深刻，已經(jīng)達到了內(nèi)化的程度。數(shù)感強的學(xué)生是不是代數(shù)思維也很強，這可能是一個研究的視角。

從前、后測的結(jié)果來看，教學(xué)成效還是比較明顯的。當然，我們深知并不是因為上了“稱彩球”這一課學(xué)生的代數(shù)思維才開始提升的，事實上，我們的教材設(shè)計、平時的課堂教學(xué)一直在進行代數(shù)思維的滲透，只是現(xiàn)在我們提供了一個機會，讓平時零散的思維珍珠有了穿線的機會，讓思維的項鏈得以閃亮。這才是我們設(shè)計專項系列課的目的，也希望本文能引發(fā)更多的教師、專家學(xué)者來研究該課題。