立體幾何中的動態(tài)問題探究

黃治元

立體幾何中的動態(tài)問題主要涉及點、線的移動或是平面的翻折所形成的線線角、線面角問題，以及所形成的軌跡、最值問題，立體幾何動態(tài)問題的解決需要較高的空間想象能力和化歸處里能力，既要善于在運動中找到不變量做到動中求靜，又要善于發(fā)現運動的本質與共性，力爭找出解決問題的通性通法.

1 利用最小角定理解決立體幾何中的動態(tài)問題

最小角定理平面的一條斜線和它在平面內的射影所成角（即直線與平面所成角），就是它和平面內所有直線所成角中的最小角.

2 利用最大角定理解決立體幾何中的動態(tài)問題

最大角定理如圖3，設點P是二面角α一l一β的半平面α內的半圓弧ABC上一動點，OB ⊥l于點O，則直線OP與平面β所成角的最大值等于二面角α一l一β的大小，

簡證 點P沿半圓弧從A移動到B時，點P到平面β的距離h逐漸增大，則直線O與平面β所成角正弦值h/OP增大（OP長度不變），從而直線OP與平面β所成角逐漸增大，當點P位于點B處時，直線OP與平面β所成角達到最大值，即為二面角a-l-β的大小，

評注此結論可以解決某平面內運動直線與另一相交平面所成角最值問題，

例2如圖4，己知三棱錐A -BCD的所有棱長均相等，點E滿足DE= 3EC.點P在棱AC上運動，設E與平面BCD所成角為θ，則sinθ的最大值為____.

解析由最大角定理，sinθ的最大值即為二面角A -CD-B的正弦值，由正四面體熟知的結論，知二面角A一CD -B的正弦值為2√2/3，所以sinθ的最大值為2√2/3，

例3如圖5，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練，己知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射擊線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小，若AB=15m，AC= 25m，

3 利用阿波羅尼斯圓解決立體幾何中的動態(tài)問題

阿波羅尼斯圓平面內到兩個定點A，B的距離之比等于常數λ（λ≠1）的點P的軌跡是圓，稱該圓為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.

簡證 如圖7，在線段AB及其延長線上取點

結束語 立體幾何中的動態(tài)問題是指空間中某些點、線、面的位置不確定或可變的一類開放性問題，其解決的過程實質是數學建模的過程，把問題回歸到最本質的定義、定理或構建的模型中.23E49A37-AAD7-4A24-8D70-596D25FA183E