小處且莫輕縱過

吳國揚 陳紀韋華

方程是代數(shù)學的核心內容，對方程的研究推動了整個代數(shù)學的發(fā)展，一元一次方程是最簡單的代數(shù)方程，也是所有代數(shù)方程的基礎，在小學階段，用算數(shù)方法解應用題是數(shù)學課的重要內容，也學習了簡單方程的內容，對方程有了初步的認識，會用方程表示簡單情境問題中的數(shù)量關系，會解簡單的方程，已經歷了入門階段，七年級《一元一次方程》這一章內容，承接課標中第二學段的簡易方程，對后續(xù)進一步學習二元一次方程、不等式、分式方程、一元二次方程等更為復雜的方程不等式以及整個數(shù)學學習有至關重要的基礎性作用，其中涉及的方程思想、數(shù)學建模、閱讀能力、數(shù)學運算、化歸與轉化等數(shù)學思想方法素養(yǎng)對一個人的影響又要大于具體的數(shù)學知識，而且數(shù)學思想方法素養(yǎng)的培養(yǎng)與感悟有助于學生從整體上認識問題的本質.因此方程及其預備知識（整式的加減）應該作為七年級的核心內容.

1問題的由來

“勢如破竹，數(shù)節(jié)之后，皆迎刃而解”，《一元一次方程》章節(jié)起始課該如何設計，如何高立意、新立意？學生將面對的問題和困難在哪里，如何突破？只有對學情進行客觀的分析，才能明確地認識到教什么，就本章而言，教學設計的著落點應該在于有意識讓學生體會從算術方法到方程思想的承接與差異，有意識讓學生體會“從算術到方程是數(shù)學的進步”，真正理解方程的數(shù)學本質，做好從算術到代數(shù)的過渡.

2 學生從算術方法到方程思想過渡時的疑難分析

“方程的出現(xiàn)明顯地使代數(shù)方法超越了古老的算術方法”，從數(shù)學應用價值上看，通過對貼近實際生活的問題探究，突出方程模型應用的廣泛性、有效性和普適性，在更高層次上提高學生分析問題和解決問題的能力，創(chuàng)新精神和實踐意識;從數(shù)學教育價值上看，方程思想是代數(shù)素養(yǎng)中重要的一個核心內容，其中包括符號意識、用字母代替數(shù)（文字語言、符號言語、圖形語言之間互譯）、數(shù)學運算（代數(shù)結構恒等變形、化歸與轉化）、模型化思想等，然而在平時教學時，我們發(fā)現(xiàn)七年級新生對方程的接受是比較緩慢、不適應的，以下題為例：

例1（雞兔同籠）雞兔同籠，共有35個頭，94只腳，問雞兔各有幾只？

解法1（算術解）假設所有的35只都是雞，那么共有35x2=70只腳，而實際上有94只腳，那么多出來的94-70= 24只腳，就是因為每只雞比兔子少了2只腳，因此兔子的數(shù)量為（94- 70）÷2 =12只，雞的數(shù)量為35-12= 23只，

解法2（抬腳法）假如雞和兔子都抬起兩只腳，還剩下94-35x2= 24只腳，那么剩下的腳是兔子的腳，而且這時每只兔子有兩只腳在地上，因此兔子的數(shù)量有24÷2 =12只，那么雞的數(shù)量為35-12= 23只.抬腳法的實質是解二元一次方程組的過程，

解法3 （方程解）設雞有x只，那么兔子有（35 -x）只，則依據(jù)題意有：2x+4（35 -x）= 94，解得：x= 23，故雞有23只，兔子有12只，

對于解法1，我們需要先假設，當假設與己知發(fā)生矛盾時再糾正;對于解法2，需要對情況有清晰的理解;對于解法3，我們引入一個未知數(shù)x參與運算，由等量關系列出方程，再解方程，求出方程中未知量x的值，雖然學生在小學高年級也學習了簡單的列方程解應用題，但對于本題，大部分學生仍然偏向于解法1，究其原因是綜合性的算術方法形成強烈的思維定勢，經過長期潛移默化的訓練給學生帶來了負遷移，學生潛意識里著重利用應用題中的己知量（包括過程中求出的量），通過一系列程序性、特殊性、假設性、連續(xù)性的運算得出答案，此過程學生從算術方法到方程思想過渡時產生的疑難表現(xiàn)在：

（1）思維上的轉變

算術解法的思維過程相對復雜，大致上是以逆向思維為主，方程解法在思維上是一種正向思維，體現(xiàn)在對等號的理解，用算術解時，算式的功用是一種思考的記錄，書寫的順序是從左往右，所列算式在等號左邊，計算結果在等號右邊，等號的作用更像是箭頭的作用，是計算結果的標記，算術解對等號的理解是單向的，是計算性的工具，而方程解對等號的理解更深一層，等號是左右兩邊相等，左右兩邊結構對等，整個式子上升為代數(shù)結構（等式），兩邊可以根據(jù)性質運算，而且正是對等號的認識不同，算術解中等號左右兩邊的思維量也是不對等，左邊的思維更復雜，在情境復雜的應用題中，更不好理解，方程解中等號兩邊的思維量是對等的，對情境更復雜的問題，把思維量分擔到等號的左右兩邊，降低了思維過程的復雜性，

因此從思維層次來說，學生應用算術解慣于逆向思考，慣于綜合性過程性思考問題，難以迅速體會，過渡到方程思想這一過程中，不習慣用字母表示量，缺乏符號意識，缺乏應用分步分類的代數(shù)思維來降低思維量，分析性的代數(shù)思維亂且繁瑣.

（2）已知數(shù)和未知數(shù)的地位割裂開來

由于思維定勢的強烈作用，學生在解決應用題時，特別關注已知數(shù)，總是通過“套模式”來“利用己知數(shù)列出算式”求得未知數(shù)，將己知數(shù)與未知數(shù)割裂，未知數(shù)無法參與運算，然而，己知數(shù)與未知數(shù)是相對而言的，數(shù)學是符號抽象的學科，數(shù)或式都是表示事物的量，已知數(shù)無非就是己知數(shù)的量，而未知數(shù)是暫時未知數(shù)的量，用字母表示待求而己，也正是由于認識上的偏差，解應用題時，執(zhí)著于算術解，甚至在硬性規(guī)定用方程時也只是表面的模仿，列出含x的算式而非等式方程，并非經歷找等量關系列方程這種分析性的代數(shù)思維的過程.

（3）對解方程的步驟感到繁瑣

由于小學階段根深蒂固的算術思維，很多學生運用算術解的能力可以說是到了熟能生巧的地步，“題型+套路+技巧”學生解題程序倒背如流，例如題中的解法2，對于算術解每步的演算簡而快，認為方程解需要“設、列、解、答”等主要步驟稍顯麻煩，對解方程小學高年級雖然有簡易方程的解，但是建立在等式性質為基礎的解法，沒有形成系統(tǒng)化、程序化（去分母、去括號、移項、系數(shù)化為1）解方程，因此在起始階段學生對計算也是感覺陌生繁瑣，

基于以上的分析，學生對列方程解應用題產生強烈的畏難情緒，容易造成屢試屢敗的情況，嚴重影響學生后續(xù)學習的信心和興趣，也是該學段教學的一個瓶頸.

3“《一元一次方程》章節(jié)起始課”的教學策略：一題雙解多法

方程思想的培養(yǎng)，代數(shù)核心素養(yǎng)的內化不是一時半會能解決的，是伴隨著學生的學習過程不斷深化，不斷升華的，“小處且莫輕縱過”，《一元一次方程》章節(jié)起始階段，不應急于掌握方程的定義，基于學生小學方程學習的實際情況，教學時應采取合適的策略，讓學生體會“從算數(shù)到方程是數(shù)學的進步”，才有利于實現(xiàn)從算術方法到方程思想的平穩(wěn)過渡，基于人教版數(shù)學課本的例題，我們可以重組設計起始課的教學片段：

問題1一輛客車和一輛卡車同時從A地出發(fā)沿同一公路同方向行駛，客車的行駛速度是70km/h，卡車的行駛速度是60km/h，客車比卡車早1h經過B地.A，B兩地間的路程是多少？

師生活動：（1）引導學生審視問題，根據(jù)自己的解題經驗用算術解和方程解解決問題： 算術解：1÷（1/60一1/70）= 42 km;

方程解：設4，B兩地間的路程為x km，根據(jù)題意，得x/60一x/70=1，解得x=42.

（2）請學生分別說明算術解和方程解的式子代表的含義，說說兩種方法的優(yōu)缺點;并探究方程解是否有其他解法，例如：x/60=1+x/70或x/60一1=x/70.

設計意圖比較兩種方法的優(yōu)缺點，并讓學生對代數(shù)思維從不了解到發(fā)現(xiàn)了解，

問題2 一臺計算機己使用1700h，預計每月再使用150h，經過多少月這臺計算機的使用時間達到規(guī)定的檢修時間2450h？

問題3某校女生占全體學生數(shù)的52%，比男生多80人，這個學校有多少學生？

師生活動：（1）再一次引導學生從“一題雙解多法”角度解決問題：

問題2的算術解：2450 -1700= 750，750÷150=5月;

方程解：設經過x月，根據(jù)題意得l700+150x=2450，解得x=5;或150x= 2450-1700.

問題3的算術解：1 - 52%= 48%，則80÷（52% -48%）= 2000人;

方程解：設這個學校有x名學生，根據(jù)題意，得52%X -（1 - 52%）x= 80，解得x=2000;或[52% - （l-52%）]x= 80.

（2）再一次對問題2、問題3辨析上述方法的優(yōu)劣，并著重考查學生對兩種方法的選擇順序，考查學生是否對方程思想優(yōu)越的認識并帶入解題方法的選擇順序中.

設計意圖比較問題1，問題2，問題3三個情境，感受代數(shù)思維的分析性、順向性，算術思維的綜合性、連續(xù)性，

問題4把一些圖書分給某班學生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本;如果每人分4本，則還缺25本，這個班有多少學生？

師生活動：（1）在復雜情境中，引導學生審視問題，從“一題雙解多法”角度解決問題：

算術解：20+25= 45，4-3=1，45÷1= 45名;

方程解：（法1）設這個班有x名學生，依題意得3x+20= 4x -25（對圖書數(shù)“算兩次”），解得x=45;

（法2）設共有圖書y本，則y-20/3=y+25/4（對 學生數(shù)“箅兩次”），解得y=155，則有45名學生.

（2）讓學生發(fā)表對方程法的優(yōu)越性的認識，教師適時歸納總結，算術解也不是一無是處，但方程解對復雜情境中更有利于解決問題，

設計意圖認識代數(shù)分析性思維，方程中分步分類思考問題的方法——“算兩次”思想：將一個量用兩種方式表示，形成對代數(shù)思維優(yōu)勢的深入認識，

從以上的分析，《一元一次方程》章節(jié)起始課的教學策略上采取的是一題雙解多法，即既用算術解又用方程解，同時探討一解多法，聯(lián)系地、統(tǒng)一地看待算術解與方程解，幫助學生從不同的情境中，經歷對代數(shù)素養(yǎng)的認知發(fā)展，從不了解到了解，從認識方程思想到初步應用方程思想，從應用方程思想到深入認識代數(shù)思維，并內化為代數(shù)素養(yǎng)，尤其是復雜情境中認識到從算術到方程的進步，轉變思維的方式，靈活選擇合適的方法，

“連雨不知春去，一晴方覺夏深”，代數(shù)素養(yǎng)不像代數(shù)知識，是隱形的，是內化的，“方程起始課”的低起點是立足于學生的小學學情，高立意是從知識發(fā)展到能力升華到學科核心素養(yǎng)，這個過程中不去刻意追求，是一種“潤物細無聲”的感知，感知不同情境問題中蘊含的數(shù)量關系，能夠積極地運用方程思想、分析性的代數(shù)思維對不同情境問題做出分析，并能有效地解決問題.

4 結束語

總之，對于《一元一次方程》章節(jié)起始課不必急著讓學生探究方程的概念和方程的解，不必急著讓學生探究等式的性質以及解方程，應該站在“大方程視野下”從人教版教材“閱讀材料”中“方程的史話”，從數(shù)學文化、人類認知規(guī)律的角度上介紹方程的產生和發(fā)展，提高學生學習方程的興趣，繼而可以采用“一題雙解多法”，從簡單到復雜情境應用入手，通過類比、比較、辨別、甄選等思維方式，讓學生體會算術思維和代數(shù)思維的異同點，讓學生體會方程模型是解決問題的一種普適性模型，讓學生體會代數(shù)思維是如何產生、如何思考，“勞而無功，弊在推舟于陸，若有所得，要在求之于本”，數(shù)學教育之本不是檢驗學生是否掌握學校數(shù)學課程內容，而是培養(yǎng)學生是否掌握面對未來世界所需要的數(shù)學核心素養(yǎng)，一元一次方程的學習之本不僅僅是解方程能力的培養(yǎng)，應該還包括從算術方法到方程思想的過渡，并升華為代數(shù)素養(yǎng)，能力是素養(yǎng)的載體，一元一次方程乃至后續(xù)其他類型方程的學習之本，不僅僅是讓學生掌握知識和能力，而且應該讓學生體會到從算術到方程是數(shù)學的進步，讓學生體會代數(shù)核心素養(yǎng)，例如：符號意識、代數(shù)結構及其運算、數(shù)學建模、應用意識等，素養(yǎng)的獲得是一個終身的過程，因此在方程的章節(jié)起始階段，花一些時間為學生打開一扇認識代數(shù)思維之門還是相當必要的.（本文系莆田市教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度立項課題“基于情境問題視角下初中學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)研究”（課題編號：PTGFKT20059）的研究成果）