設(shè)值法與判別式法聯(lián)袂巧證兩類不等式

方志平

在證明一些不等式的問(wèn)題時(shí)，我們根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)設(shè)值，可轉(zhuǎn)化或構(gòu)造成一元二次方程，再利用判別式△>0，往往能出奇制勝，屢建奇功！而且解法新穎，賦有創(chuàng)意，獨(dú)辟蹊徑，本文列舉幾例闡述設(shè)值法與判別式法聯(lián)袂在不等式證明中的奇思與妙用，旨在拋磚引玉，以饗讀者.

1 巧證代數(shù)不等式

評(píng)注本題關(guān)鍵是將條件變?yōu)椋▁- a）（y -b）= ab形式后，將x-a與v-b視為一元二次方程的兩根，其積為ab，于是我們?cè)僭噲D尋找兩根和，構(gòu)造出一個(gè)一元二次方程，由判別式△>0，問(wèn)題則迎刃而解，評(píng)注本題也可利用基本不等式或三角換元等多種方法證明，但借用設(shè)值（a+2）2+（b+2）2=y，條件代換構(gòu)造出一元二次方程，再巧用判別式法證明，思維獨(dú)特，賦有創(chuàng)意，別有風(fēng)味，評(píng)注由本題證明的結(jié)論tanAtanBtanC≥8，不難聯(lián)想到在非直角三角形中一個(gè)常用恒等式：tanA+tanB+tanC=tan AtanB tanC，條件sinA= 2sinB.sinC中的三角式，盡可能化為正切形式，通過(guò)設(shè)值t=tanA tanBtanC，巧妙構(gòu)造出一個(gè)一元二次方程，給本題的解決帶來(lái)了轉(zhuǎn)機(jī)，此題的解法充分彰顯了設(shè)值法與判別式法聯(lián)袂的神奇魅力！

綜上，設(shè)值法與判別式法聯(lián)袂巧證代數(shù)不等式、三角不等式問(wèn)題，關(guān)鍵在于根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)設(shè)值，構(gòu)造出一元二次方程，再巧用根的判別式進(jìn)行求證，