基于GeoGebra的一道課本習(xí)題的探究

王恩普

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，既有著無(wú)可替代的代數(shù)表達(dá)形式，又具備著更為直觀的幾何表達(dá)形式，而我們面對(duì)一些復(fù)雜的數(shù)形關(guān)系和復(fù)雜多變的幾何位置關(guān)系時(shí)，很難抽象出其本質(zhì)，難以被感官直接感知，更難被理解和深化，而信息技術(shù)，恰恰是解決這個(gè)問(wèn)題的最好手段之一，它可以幫助我們探索規(guī)律啟發(fā)思路，為解決問(wèn)題提供直觀，便于我們進(jìn)一步解決問(wèn)題，下面我們通過(guò)一道課本習(xí)題來(lái)談一談GeoGebra如何助力我們揭秘“真身”.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

蘇教版選修2-1第33頁(yè)第11題：

準(zhǔn)備一張圓形紙片，在圓內(nèi)任取不同于圓心的一點(diǎn)F，將紙片折起，使圓周過(guò)點(diǎn)F（如圖1），然后將紙片展開(kāi)，就得到一條折痕，（為了看清楚，可把直線，畫出來(lái)），這樣繼續(xù)折下去，得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，跟學(xué)生交流的時(shí)候，由于操作中的條件限制，不是反映的很清楚，畢竟這個(gè)輪廓是要在大量的直線中形成的，而不去動(dòng)手，又無(wú)法在頭腦中有這樣的想象，畢竟，這是個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，如果我們連基本的輪廓都不清楚，更無(wú)法準(zhǔn)確說(shuō)明它是什么曲線了，其實(shí)這時(shí)候部分學(xué)生還認(rèn)為，折痕圍成的軌跡是圖1中的線段CD的中點(diǎn)的軌跡，面對(duì)這些無(wú)法感知的困難，來(lái)看看GeoGebra（以下簡(jiǎn)稱GGB）給我們帶來(lái)了什么.

2 感知結(jié)果

如圖2，在GGB中，我們進(jìn)行下面的步驟：

步驟1首先點(diǎn)擊上方的工具欄中的第五個(gè)工具箱，在工具箱中選擇“圓（圓心和一點(diǎn)）”在繪圖區(qū)畫一個(gè)圓，在代數(shù)區(qū)顯示為圓c，默認(rèn)以C為圓心，B為半徑.（也可以先用工具欄中的的第二個(gè)工具箱中的“描點(diǎn)”工具，在繪圖區(qū)畫出兩個(gè)點(diǎn)A，B，這時(shí)候在下面的指令區(qū)輸入：circle（A，B），即可得到以A為圓心，B為半徑的圓）

步驟2由于B點(diǎn)是控制圓的半徑的變量，我們可以選擇隱藏，只需要在代數(shù)區(qū)中點(diǎn)B前面的藍(lán)點(diǎn)點(diǎn)擊一下便可隱藏，然后再選用“描點(diǎn)”工具在圓內(nèi)畫一個(gè)定點(diǎn)F.

步驟3這里需要說(shuō)明的是，原題中的翻折過(guò)程中的直線，就是圓上動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)F所成線段的中垂線，所以我們?cè)趫A上再取個(gè)動(dòng)點(diǎn)，注意圓上的動(dòng)點(diǎn)是這樣構(gòu)造的，點(diǎn)擊第二個(gè)工具箱的右下角的小箭頭，選擇其中的“對(duì)象上的點(diǎn)”，點(diǎn)擊繪圖區(qū)的圓周，即可得到圖中的點(diǎn)C.（此方法得到的點(diǎn)只能在圓周上移動(dòng)，也可使用指令：描點(diǎn)（c）.即可構(gòu)造圓c上的動(dòng)點(diǎn)）

步驟4選擇第三個(gè)工具箱右下角的下拉箭頭選擇“線段”，再點(diǎn)擊繪圖區(qū)的點(diǎn)C和點(diǎn)F，構(gòu)造線段C.再選擇第四個(gè)工具箱中的“中垂線”，在繪圖區(qū)點(diǎn)擊線段（F，即可作出線段C的中垂線.

步驟5在繪圖區(qū)右鍵點(diǎn)擊中垂線，選擇“跟蹤”，這時(shí)候我們?cè)趫A上拖動(dòng)點(diǎn)C，就會(huì)發(fā)現(xiàn)多條折痕包圍成了圖2中的形狀——橢圓，

人工折紙?jiān)趺匆策_(dá)不到的視覺(jué)感知，GGB完成了，而且過(guò)程操作簡(jiǎn)單，清晰直觀，也讓我們可以比較容易的下結(jié)論，真正做到了“可見(jiàn)”.

3 結(jié)論證明

有了上面的結(jié)果，接下來(lái)我們可以大膽的將證明的方向指向橢圓，求軌跡的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為證明橢圓就是我們所求軌跡，且圖中的A，F(xiàn)分別是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，下面給出證明過(guò)程，

證明首先，記圓心為A，半徑為r，定點(diǎn)為F，C為圓上的動(dòng)點(diǎn)，由圖3知所求軌跡上的任一點(diǎn)應(yīng)該是橢圓與每一條中垂線的切點(diǎn).設(shè)切點(diǎn)為Q，且設(shè)E是線段（F的中垂線上的任一點(diǎn)，則EC= CF，所以EF+ EA= EC+ EA，由題意知E在橢圓外（或上），所以EF+ EA≥EC+ EA，當(dāng)且僅當(dāng)E在橢圓上時(shí)取等號(hào)，同時(shí)當(dāng)A，E，C三點(diǎn)共線時(shí)EC+EA最小，且此時(shí)EC+ EA=r，即EF+ EA=r，則有此時(shí)的E即為此時(shí)的切點(diǎn)Q，綜上有QF+ QA=r，所以Q點(diǎn)的軌跡為以E，A為焦點(diǎn)的橢圓，

點(diǎn)評(píng)如果我們直接去證明所求軌跡是橢圓時(shí)，是比較困難的，但是如果我們知道了是一個(gè)怎樣的橢圓時(shí)，然后結(jié)合橢圓的定義，再來(lái)說(shuō)明圖中呈現(xiàn)的橢圓即為所求，此處便豁然開(kāi)朗了.

4 嘗試探索

探索1原題中的F為圓內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，如果F就在圓心，按照同樣的折法，折痕圍成一個(gè)怎樣的輪廓呢？我們來(lái)看下GGB給我們呈現(xiàn)的結(jié)果：

從圖4中可以清晰地發(fā)現(xiàn)，所求軌跡是以原來(lái)的圓心為圓心，r/2為半徑的圓，這里的證明相對(duì)簡(jiǎn)單、清晰，此處就不再給出證明過(guò)程，由此，我們發(fā)現(xiàn)隨著P點(diǎn)位置的變化，題中的輪廓也發(fā)生了變化，而當(dāng)F點(diǎn)的位置移到圓上的時(shí)候，由于無(wú)法圍成一個(gè)輪廓，此處不再討論，

探索2原題中的定點(diǎn)F如果位于圓外時(shí)，按照同樣的折法，折痕圍成一個(gè)怎樣的輪廓呢？按照題設(shè)的條件，GGB展示結(jié)果如圖5：

從圖5不難看出，結(jié)果呈現(xiàn)的是以F，A為焦點(diǎn)的雙曲線，如果是以題中的折痕形成的輪廓來(lái)看，是圓內(nèi)部的上述雙曲線的一支，下面我們來(lái)證明為什么此時(shí)的雙曲線即為所求的輪廓（靠近焦點(diǎn)A的那一支）.

證明如圖6，首先，記圓心為A，半徑為r，定點(diǎn)為F，C為圓上的動(dòng)點(diǎn)，由圖知所求軌跡上的任一點(diǎn)應(yīng)該是雙曲線與每一條中垂線的切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為Q，且設(shè)E是線段CF中垂線上的任一點(diǎn)，則EC= EF，所以EF - EA= E（： - EA，由題意知E在雙曲線外（或上），所以EF - EA≤EC - EA，當(dāng)且僅當(dāng)E在雙曲線上時(shí)取等號(hào)，同時(shí)當(dāng)A，E，C三點(diǎn)共線時(shí)，EC - EA最大，且此時(shí)EC - EA=r，即EF - EA=r，則此時(shí)的E即為切點(diǎn)Q，綜上有QF - QA=r，所以g點(diǎn)的軌跡為以E，A為焦點(diǎn)的雙曲線的一支（靠近A點(diǎn)）.

點(diǎn)評(píng)上述證明過(guò)程是類比前面證明橢圓的過(guò)程，通過(guò)中垂線的性質(zhì)，構(gòu)造出到兩定點(diǎn)的距離之差，進(jìn)而利用雙曲線的定義驗(yàn)證所觀察的結(jié)論，這些問(wèn)題解決的前提是GGB給我們提供的直觀感知，

探索3蘇教版選修2-1第14題：

將一張長(zhǎng)方形紙片ABCD的一只角斜折，使點(diǎn)D總是落在對(duì)邊AB上，然后展開(kāi)紙片，得到一條折痕，（為了看清楚，可把直線，畫出來(lái)），這樣繼續(xù)下去，得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？

和上面一樣，我們先通過(guò)GGB來(lái)觀察折痕所圍成的輪廓，由圖7知，輪廓是以D為焦點(diǎn)，AB為準(zhǔn)線的拋物線，同樣，我們來(lái)驗(yàn)證結(jié)論的正確性，

如圖8，過(guò)E作線段AB的垂線，交線段ED的中垂線于點(diǎn)F，顯然FD= FE，則點(diǎn)F在以D為焦點(diǎn)，AB為準(zhǔn)線的拋物線上;另一方面，在中垂線上任取異于點(diǎn)F的G點(diǎn)，記G到AB的距離為d，則有GD= GE>d，所以G點(diǎn)不在拋物線上，而折痕與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即為F.綜上可知，這些折痕圍成的輪廓是以D為焦點(diǎn)，AB為準(zhǔn)線的拋物線，

點(diǎn)評(píng)借助于GGB，我們看到了形的特征，進(jìn)而我們又在“數(shù)”上給與了驗(yàn)證，讓我們從中又感受了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

5 技術(shù)釋疑

在問(wèn)題提出中提到有學(xué)生認(rèn)為折痕是由線段CF的中點(diǎn)形成的軌跡，通過(guò)上面的圖形驗(yàn)證以及結(jié)論證明，我們知道文首問(wèn)題的最終軌跡并非來(lái)自于中點(diǎn)，那么又會(huì)產(chǎn)生新的疑問(wèn)：隨著C點(diǎn)的移動(dòng)，線段CF中點(diǎn)的軌跡是什么呢？

圖9和圖10僅僅選取了點(diǎn)F在圓內(nèi)和圓外的兩種形式，可以看到隨著C點(diǎn)的移動(dòng)，CF中點(diǎn)最終形成的軌跡都是AF的中點(diǎn)為圓心，初始圓半徑的一半為半徑的圓，只是F點(diǎn)的位置決定了圓的位置，這里的證明比較容易，只需要取AF的中點(diǎn)和E相連，再連接A（，這里就不再進(jìn)行證明，

點(diǎn)評(píng)在這樣的探索中我們不僅真正地了解了折痕圍成的輪廓，還認(rèn)識(shí)了中點(diǎn)的軌跡，讓我們很清晰地辨識(shí)出它們之間的差異.

6 結(jié)束語(yǔ)

當(dāng)然我們還可以借助于GGB進(jìn)行更多的探索，如果把文中的圓換成橢圓，或者換成雙曲線，或者換成拋物線，折痕又是什么呢？在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們會(huì)遇到許許多多的“不可見(jiàn)”，它們無(wú)法被感知，無(wú)法被呈現(xiàn)，而GGB正是發(fā)揮了它們的可視化優(yōu)勢(shì)，揭秘“真身”，揭示本質(zhì)，突破數(shù)學(xué)因高度抽象概括的特性而帶來(lái)的“難以意會(huì)、無(wú)法言傳”之障礙，為我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及探索提供了極大可能，