排列問題 一一擊破

孫杰

排列的定義包含兩個(gè)方面的含義：一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”，也就是說排列問題是與位置有關(guān)。因此，在研究排列問題時(shí)，（1）注意整體分類，不重不漏;（2）局部分步，確保連續(xù)性和獨(dú)立性;（3）觀察順序;（4）辯證地看待“元素”與“位置”。同時(shí)必須掌握常見排列問題的策略。

一、特殊優(yōu)先，一般在后

對(duì)于某些元素（或位置）的排法受到限制問題，用特殊優(yōu)先、一般在后的方法。列式求解時(shí)，優(yōu)先考慮這些元素，叫元素分析法;也可優(yōu)先考慮被限制的位置，叫位置分析法。在操作時(shí)，針對(duì)實(shí)際問題，有時(shí)“元素優(yōu)先”，有時(shí)“位置優(yōu)先”。

例11名老師與4名學(xué)生排成一排照相，老師不站兩端的排法有多少種？

解析：老師不站在兩端，只能站在中間3個(gè)位置，優(yōu)先排老師有A1/3種排法，再任意排學(xué)生有A1種排法，共有A3·A1=72（種）排法，這是元素分析法。

也可采用位置分析法，兩端先排學(xué)生有A種排法，其他任意排有A3種排法，共有A·A3=72（種）排法。

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)排列中有特殊元素或特殊位置時(shí)，可先處理特殊元素，也可先處理特殊位置，依據(jù)具體情況而定。但必須注意選擇的方法不同，可能解題難易程度大相徑庭。

練習(xí)1.甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，要求甲、乙均不與丙相鄰，有多少種不同的排法？

解析：填格法、特殊元素優(yōu)先法。將5個(gè)位置標(biāo)號(hào)1，2，3，4，5，下面分類考慮：

（1）丙站在1號(hào)位，則甲、乙可站在3、4、5號(hào)位，丁、戊站在其余位置上，有A23A2=12（種）排法，類似地，當(dāng)丙站在5號(hào)位時(shí)，也有12種排法;（2）當(dāng)丙站在2號(hào)位置時(shí)，甲、乙只能站在4、5號(hào)位，丁、戊站在其余位置上，有A2A2=4（種）排法，類似地，當(dāng)丙站在4號(hào)位時(shí)，也有4種排法;（3）當(dāng)丙站在3號(hào)位置時(shí)，甲、乙可站在1、5號(hào)位，丁、戊站在其余位置上，有A2A2=4（種）排法。

綜上可知，共有36種排法。

二、元素相鄰，整體處理

對(duì)于某些元素要求相鄰排列的問題，一般采用大元素法，即可先將相鄰元素捆綁成整體并看作一個(gè)元素再與其他元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素進(jìn)行自排，也叫“捆綁法”。

例2“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時(shí)代中國特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員、面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動(dòng)態(tài)、緊跟時(shí)代脈搏的熱門APP。該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”“視聽學(xué)習(xí)”兩個(gè)學(xué)習(xí)板塊和“每日答題”“挑戰(zhàn)答題”“四人賽”、“雙人對(duì)戰(zhàn)”四個(gè)答題板塊。某人在一次學(xué)習(xí)過程中把六個(gè)板塊全部學(xué)完，則“閱讀文章”與“每周答題”兩大板塊相鄰的學(xué)習(xí)方法有（）。

A.192種

B.240種

C.432種

D.528種

解析：由題意可知，將“閱讀文章”與“每周答題”兩大板塊捆綁在一起，再與其他四個(gè)板塊排列，故滿足“閱讀文章”與“每周答題”兩大板塊相鄰的學(xué)習(xí)方法有A2·A5=240（種），選B。

點(diǎn)評(píng)：解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，即把相鄰元素看作一個(gè)整體和其他元素一起排列，同時(shí)要注意捆綁元素的內(nèi)部排列。

練習(xí)2.在某場(chǎng)新冠肺炎疫情防控視頻會(huì)議中，甲、乙、丙、丁4位疫情防控專家輪流發(fā)言，其中甲必須排在前兩位，丙、丁必須排在一起，則4位專家的不同發(fā)言順序共有（）。

A.12種

B.8種

C.6種

D.4種

解析：當(dāng)甲排在第一位時(shí)，有A2A2=4（種）發(fā)言順序;當(dāng)甲排在第二位時(shí)，共有A2=2（種）發(fā)言順序。所以共有4+2=6（種）不同的發(fā)言順序，選C。

三、元素間隔，分位插入

對(duì)于某幾個(gè)互不相鄰元素的排列問題，可先將其他元素排成一排，然后將不相鄰的元素插入到這些排好的元素之間的空隙或兩端，這就是解決互不相鄰問題的“插空”法。

例37個(gè)人排成一排準(zhǔn)備照一張合影，其中甲、乙要求相鄰，丙、丁要求分開，則不同的排法有（）。

A.480種

B.720種

C.960種

D.1200種

解析：由題意知，甲、乙要求相鄰，則把甲和乙看成一個(gè)元素，與除丙和丁以外的3個(gè)元素進(jìn)行全排列，其中甲和乙之間還有一個(gè)排列，從形成的5個(gè)空中選2個(gè)排列丙和丁，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有A1A2A2=960（種）排法。故選C。

點(diǎn)評(píng)：如果某些元素要求不相鄰，就要分成兩步，先排上沒有要求的元素，再把有要求的去插空排列。應(yīng)注意：①必須分清“誰插入誰”的問題，要先排無限制條件的元素，再插入必須間隔的元素;②數(shù)清可插的位置;③判斷是否以排列形式插入。

練習(xí)3.永州是一座有著兩千多年悠久歷史的湘南古邑，民俗文化資源豐富。在一次民俗文化表演中，某部門安排了《東安武術(shù)》零陵漁鼓》《瑤族傘舞》《祁陽小調(diào)》《道州調(diào)子戲》《女書表演》6個(gè)節(jié)目，其中《祁陽小調(diào)》與《道州調(diào)子戲》不相鄰，則不同的安排種數(shù)為（）。

A.480 B.240 C.384D.1440

解析：第一步，將《東安武術(shù)》《零陵漁鼓》《瑤族傘舞》《女書表演》4個(gè)節(jié)目排列，有A=24（種）排法;第二步，將《祁陽小調(diào)》《道州調(diào)子戲》插入前面的4個(gè)節(jié)目的間隙或者兩端，有A=20（種）插法。所以共有24x20=480（種）不同的安排方法。選A。

四、定序排列，轉(zhuǎn)化入座

例4書架上原有6本書，再放上3本，但要求原有的順序保持不變，則不同的放法有多少種？

解析：9本書占有9個(gè)位置，其中后放的3本書占有3個(gè)位置，優(yōu)先考慮有A，種放法，剩下的6個(gè)位置按原來的順序放原來的6本書，故共有A=504（種）放法。

點(diǎn)評(píng)：順序排列的方法需要轉(zhuǎn)化，把不要求順序的元素在所有可能位置任意排列，再把剩余的按一定順序的元素“對(duì)號(hào)入座”，后一步“對(duì)號(hào)入座”僅有一種排法。

練習(xí)4.用1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)字排列成不重復(fù)的五位數(shù)，其中1，2，3按1在最前，3在最后，2在1與3之間，這樣的數(shù)字有多少個(gè)？

解析：這是要求1，2，3按一定順序的排列，先在5個(gè)位置任選2個(gè)排上4，5，有A種方法，剩余的1，2，3在剩余的3個(gè)位置從小到大“對(duì)號(hào)人座”排列，共有1種方法。

這樣的數(shù)字有A=20（個(gè)）。

五、正難則反，化難為簡(jiǎn)

當(dāng)問題正面考慮，情況比較復(fù)雜時(shí)，我們就要改變思維方向，通常利用正難則反原則，這也是解決排列應(yīng)用題時(shí)常用的策略。

例5 將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法有多少種？

解析：由題意，考慮其反面：（1）恰有1個(gè)數(shù)字與標(biāo)號(hào)相同，則填法有AA種;（2）恰有2個(gè)數(shù)字與標(biāo)號(hào)相同，則填法有，種;（3）有3個(gè)數(shù)字與標(biāo)號(hào)相同，則填法有1種。故每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法有A—AA—1=9（種）。

點(diǎn)評(píng)：本題直接考慮，情況比較復(fù)雜，利用間接法，簡(jiǎn)單明了。

練習(xí)5.5名同學(xué)站成一排，其中甲不站在首位，有多少種不同的站法？

解析：不考慮特殊情況，有A種方法，當(dāng)甲站在首位，有A種方法，故共有A—A=96（種）站法。

（責(zé)任編輯徐利杰）