數(shù)學文化背景下的計數(shù)原理試題賞析

楊秋野

近幾年高考數(shù)學試卷出現(xiàn)以數(shù)學文化為背景的新穎題型，這類試題蘊含著濃厚的數(shù)學文化氣息，它將數(shù)學知識、方法、文化融為體，以原有數(shù)學知識為基礎(chǔ)，引人人文、科技、生活、數(shù)學史等方面的文化背景，有效地，考查了同學們在新情景下對數(shù)學知識的理解，為同學們的數(shù)學認知拓展眼界，提高大家的學習興趣。下面從四個方面賞析數(shù)學文化背景下的計數(shù)原理試題。

一、以人文藝術(shù)為文化背景

例1 數(shù)學與文學之間存在著許多奇妙的聯(lián)系。詩中有回文詩，如：“云邊月影沙邊雁，水外天光山外樹”，倒過來讀，便是“樹外山光天外水，雁邊沙影月邊云”，其意境和韻味讀來真是一種享受！

數(shù)學中也有回文數(shù)，如：88，454，7 337， 43 534等都是回文數(shù)，無論從左往右讀，還是從右往左讀，都是同一個正整數(shù)，我們稱這樣的數(shù)為“回文數(shù)”。

二位的回文數(shù)有11，22， 33，44， 55，66，77，88，99，共9個;

三位的回文數(shù)有101，111，121，131，969，979，989，999，共90個;

四位的回文數(shù)有1 001，1111，1 221，.9 669，9 779，9 889，9 999，共90個。

由此推測：十位的回文數(shù)總共有個

解析：一、二位回文數(shù)有9個，三、四位回文數(shù)有90個，五、六位回文數(shù)有900個，七、八位回文數(shù)有9000個，九、十位回文數(shù)有90 000個。

點評：數(shù)學表面給人的印象是嚴謹、嚴肅，沒有什么美感可言，其實，數(shù)學也有它的藝術(shù)性，它能夠通過語言文學、美術(shù)、音樂、建筑等方面來展示自身的藝術(shù)。在高考數(shù)學試卷中，設(shè)置數(shù)學與藝術(shù)相結(jié)合的數(shù)學問題，能夠改變同學們對數(shù)學的認識，增加大家對數(shù)學學習的興趣，

練習1：設(shè)aj，a2，，a，，是1，2，……，n的個全排列，把排在a;左邊且小于a;的數(shù)的個數(shù)稱為a;的順序數(shù)（i=1，2，……，n）。

例如在排列6，4，5，3，2，1中，5的順序數(shù)是1，而3的順序數(shù)是0。則在由1，2，……，8這八個數(shù)字構(gòu)成的全排列中，同時滿足：8的順序數(shù)為2，7的順序數(shù)為3，5的順序數(shù)為3，這樣的不同排列種數(shù)是。

解析：依題意知，在8的左邊有2個比8小的數(shù)，在7的左邊有3個比7小的數(shù)，在5的左邊有3個比5小的數(shù)。由于8是最大的數(shù)，則8必排在左起的第3位，而7必須排在左起的第5位，5只能在7的右邊，若6在5的右邊，則5與7必相鄰，共有2X4！ =48（種）排法;若6在5的左邊，則5必在左起的倒數(shù)第二位，共有4X4！ =96（種）排法。所以共有48+96=144（種）排法。

二、以科學技術(shù)為文化背景

例2 （2022年山東德州高三期末卷）某研究機構(gòu)采訪了“一帶一路”沿線20國的青年，讓他們用一個關(guān)鍵詞表達對中國的印象，使用頻率前12的關(guān)鍵詞為：高鐵、移動支付、網(wǎng)購、共享單車、一帶一路、無人機、大熊貓、廣場舞、中華美食、長城、京劇、美麗鄉(xiāng)村。其中使用頻率排前四的關(guān)鍵詞“高鐵、移動支付、網(wǎng)購、共享單車”也成為了他們眼中的“新四大發(fā)明”。從這12個關(guān)鍵詞中選擇3個不同的關(guān)鍵詞，且至少包含一個“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞的選法種數(shù)為（用數(shù)字作答）。

解析：把12個關(guān)鍵詞分為兩組：高鐵、移動支付、網(wǎng)購、共享單車一組，余下的為一組。從這12個關(guān)鍵詞中選擇3個不同的關(guān)鍵詞，且至少包含一個“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞的情況，有C+CC+CC=164（種）。

點評：數(shù)學與科技類相融合的問題主要包括數(shù)學與生物學、地球及環(huán)境、前沿科學等問題相結(jié)合，通過數(shù)學與科技相結(jié)合，能夠體現(xiàn)出數(shù)學在科技發(fā)展中的重要地位，提高同學們對數(shù)學的重視度。本題從這12個關(guān)鍵詞中選擇3個不同的關(guān)鍵詞，分為包含1個、2個、3個“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞的情況，通過計算可得答案。

練習2：（2022年湖北省黃石市有色第—中學高三期末）在2021年中俄聯(lián)合軍演的某一項演練中，中方參加演習的有5艘軍艦，4架飛機;俄方有3艘軍艦，6架飛機。若從中俄兩方中各選出2個單位（1架飛機或1艘軍艦都作為一個單位，所有的軍艦兩兩不同，所有的飛機兩兩不同），且選出的4個單位中恰有1架飛機的不同選法共有（）。

A.51種B. 224種C. 240種 D.336種

解析：不同的選法有： CCCC+CCCC=5X4X3X1 + 10X1X3X660 + 180 = 240（種）。選C。

三、以社會生活為文化背景

例3 （2022年廣東清遠市高三期末卷）為了做好新冠肺炎疫情常態(tài)化防控工作，推進疫苗接種進度，降低新冠肺炎感染風險，某醫(yī)院準備將3名醫(yī)生和6名護士分配到3所學校，設(shè)立疫苗接種點，免費給學校老師和學生接種新冠疫苗。若每所學校分配1名醫(yī)生和2名護士，則不同的分配方法共有種。

解析：

故不同的分配方法共有90X6=540（種）。

點評：新冠肺炎疫情防控期間，志愿者的涌現(xiàn)體現(xiàn)出人間的大愛與溫情。本題以社會熱點問題—新冠肺炎疫情防控為背景，將社會熱點問題與數(shù)學問題有機結(jié)合，旨在考查同學們對問題情境的數(shù)學閱讀能力和理解能力，引導大家關(guān)注民生，體現(xiàn)數(shù)學文化立德樹人的理念。

練習3：文化和旅游部在2021年圍繞“重溫紅色歷史、傳承奮斗精神”“走進大國重器。感受中國力量”“體驗美麗鄉(xiāng)村、助力鄉(xiāng)村振興”這三個主題中，避選出“建黨百年紅色旅游百條精品線路”。這些精品線路中包含中共一大會址、嘉興南湖、井岡山、延安、西柏坡5個傳統(tǒng)紅色旅游景區(qū);還有港珠澳大橋、北京大興國際機場2個展現(xiàn)改革開放和新時代發(fā)展成就的景區(qū);以及中國天眼、“兩彈一星”紀念館、湖南十八洞村、浙江余村、貴州花茂村5個展示科技強國和脫貧攻堅成果的景區(qū)。為安排旅游路線，從上述12個景區(qū)中選3個景區(qū)，則必須含有傳統(tǒng)紅色旅游景區(qū)以及展示科技強國和脫貧攻堅成果景區(qū)的不同，選法種數(shù)為（）。

A. 220 B. 150 C. 50D. 100

解析：從12個景區(qū)中選3個景區(qū)，共有Ci2=220（種）選法。

不含傳統(tǒng)紅色旅游景區(qū)的選法種數(shù)為C=35，不含展示科技強國和脫貧攻堅成果景區(qū)的選法種數(shù)為C;=35。

所以所求的不同選法種數(shù)為220—35—35=150。

故選B。

四、以數(shù)學史為文化背景

例4 算盤是中國古代的一項重要發(fā)明?，F(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖2中算盤表示整數(shù)51）。如果撥動圖1算盤中的三枚算珠，那么可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為（）。

2A. 16 B. 15

C. 12D.10

解析：由題意，撥動三枚算珠，有4種撥法：

①個位撥動三枚，有2種結(jié)果，3、7;

②十位撥動一枚，個位撥動兩枚，有4種結(jié)果，12、16、52、56;

③十位撥動兩枚，個位撥動一枚，有4種結(jié)果，21、25、61、65;

④十位撥動三枚，有2種結(jié)果，30、70。

綜上，撥動題圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為2+4+4+2=12。

故選C。

點評：數(shù)學史是數(shù)學文化的重要組成部分，是高考數(shù)學題目中涉及數(shù)學文化類題型的主要組成形式，其中包含數(shù)學家的故事，數(shù)學史上的重大事件和歷史上的經(jīng)典數(shù)學問題。通過對近些年數(shù)學文化類考題的統(tǒng)計分析來看，以阿基米德、楊輝、歐拉等歷史名人所創(chuàng)造的定理為背景而設(shè)計的數(shù)學題較多，同時以《九章算術(shù)》、《算法統(tǒng)宗》等數(shù)學著作中的素材為背景的數(shù)學問題也較多，值得關(guān)注。

練習4：羅馬數(shù)字是歐洲在阿拉伯數(shù)字傳人之前使用的一種數(shù)碼，它的產(chǎn)生標志著一種古代文明的進步。

羅馬數(shù)字的表示法如表1。

其中“I”需要1根火柴，“V”與“X”需要2根火柴，若為0，則用空位表示。如123表示為11，405表示為MV。如果把6根火柴以適當?shù)姆绞饺糠湃雸D3的表格中，那么可以表示的不同的三位數(shù)的個數(shù)為（）。

A.87 B. 95C. 100 D. 103

解析：用6根火柴表示數(shù)字，所有搭配情況如下。

1根火柴和5根火柴，1根火柴可表示的數(shù)為1;5根火柴可表示的數(shù)為8，和0一起，能表示的數(shù)共有4個（108，180，801，810）。

2根火柴和4根火柴，2根火柴可表示的數(shù)為2、5;4根火柴可表示的數(shù)為7，和0一起，能表示的數(shù)有CX4=8（個）。

3根火柴和3根火柴，3根火柴可表示的數(shù)為3、4、6、9，和0一起，能表示的數(shù)分為兩類：除0外的兩個數(shù)字相同，可表示的數(shù)有CX4=8（個）;除0外的兩個數(shù)字不同，則有CX4=24（個）。所以共有8+24=32（個）。

1根火柴、1根火柴和4根火柴，即有1、1、7組成的數(shù)，共有3個（117，171，711）。

1根火柴、2根火柴和3根火柴，即由1，2或5中的一個數(shù)，3、4、6、9中的一個數(shù)字組成三位數(shù)，共有CCA=2X4X3X2=48（個）。

2根火柴、2根火柴、2根火柴，即由2或5組成的三位數(shù)，分為兩類：三個數(shù)字都相同，共有2個（222，555）;三個數(shù)字中的兩個數(shù)字相同，則有CX3=6（個）。

共有2+6=8（個）。

綜上可知，可組成的三位數(shù)共有4+8+32+3+48+8=103（個）。

故選D。

總之，數(shù)學不僅是“科學的數(shù)學”，而且是“文化的數(shù)學”，在學習中同學們要注意品味數(shù)學的文化價值，弘揚中華傳統(tǒng)文化，認識到學習數(shù)學不只是學習知識，更重要的是豐富心靈、完善人格，從而領(lǐng)悟到中國數(shù)學文化的數(shù)學美。

（責任編輯徐利杰）